福建省莆田第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

莆田二中2026-2027学年高二10月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 2．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 4．已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 5．等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 6．已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（    ） （参考数据：） A．1429 B．1472 C．1519 D．1571 8．已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 10．下列结论正确的是（   ） A．已知向量，，则向量在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则直线 11．已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知与共线，则___________． 13．已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 14．已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 16．如图，在正方体中，，，分别是，的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 17．已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前n项和. 18．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 19．记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 莆田二中2026-2027学年高二10月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C B D B A ACD AC 题号 11 答案 ABD 1．D【详解】根据等差数列的定义可得：首项，公差， 所以通项公式为：，当时，. 2．A【详解】. 3．C【详解】因为，为方程的两根，所以.又数列是等差数列，所以.故选：C. 4．C又等比数列奇数项的符号相同，所以，则，故． 5．B6．D【详解】因为，所以，则公比，则，得，因为，所以. 7．B【详解】由题可知，设，解得.即，故数列是首项为，公比为1.1的等比数列. 所以，则，所以. 8．A【详解】因为，，三点在直线上，且，所以.又因为为等差数列，所以因为，所以.所以. 所以.. 所以. 所以. 9． ACD【详解】 选项A：设等差数列的公差为，由，可得：，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 10．AC【详解】A，向量在上的投影向量，故A正确；B，由，则四点不共面，故B不正确；C，是空间的一组基底，不共面，且， 令，显然无解，也是空间的一组基底，故C正确；D，由题设，而直线与平面的位置关系不定，则或，故D不正确. 10． ABD【详解】因为，，所以，即，故A正确； 由，得．①，同时②，①＋②得：，所以，故B正确； ，，故，随着的增大，不是单调递减，故C错误； 令，解得，即当时，为负数，，当时，，所以当取得最小值时，n的值为7，故D正确． 12．【详解】因为与共线，所以存在，，所以，解得，所以. 13．【详解】，，当时，，，，，.，即； ；当时，，符合题意；数列的通项公式..；. 14．29【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3，即数列由，个3，，个3，等依次构成，当时，，当时， ，所以使成立的的最小值为. 15． (1)(2) 【详解】（1）因为 ，又，所以，所以； （2）因为， ，所以，. 16．【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，所以直线与所成角的余弦值为． （2）设平面的法向量为，则得取，则，得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为． 17．【详解】(1)(2) （1）根据题意，数列的前n项和为，且，即，也就是，所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则，（2）由（1）可得：，所以，可得，两式相减得 所以； 18、 (1)(2)1 【详解】（1）∵，∴当时，，两式相减得，∴当时，，当时，，满足上式，∴． （2）由（1）得，∴， ∴，∵，∴，又因对，恒成立，故，得，∴实数的最小值为1． 19． (1)(2)(3) 【详解】（1）令，则，化简得，又，所以由题意于是两式相减可得化简可得因为，所以，所以，所以为首项为3，公差为2的等差数列.所以数列的通项公式为. （2）由上可知，当为奇数时，设，则，.当为偶数时，设，则，所以当为偶数,. （3）由上可知，当为偶数时，设，,,即考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上，最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即.当为奇数时，设，.，化简得考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即.综上所述， 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $