湖南长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期月考（二）数学试题

高三数学二 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，则集合的真子集个数是 A．3 B．4 C．7 D．8 3．若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为15尺，则春分时节的日影长为 A．6尺 B．6.5尺 C．7尺 D．7.5尺 4．如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为 A． B． C． D． 5．已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中的系数为 A． B．135 C． D．28 6．若，则的最大值为 A． B． C． D． 7．已知，，，则 A． B． C． D． 8．已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是 A．当时，函数在上单调递增 B．函数在上单调，当且仅当 C．若函数在上存在单调递减区间，则 D．若不等式的解集为且，则函数的单调递减区间为 10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则 A． B． C．内切圆半径的最大值为 D．外接圆半径的最小值为1 11．已知，，是函数的三个零点，则 A． B． C．若，，成等差数列，则 D．若，，成等差数列，则，，成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，且，则________． 13．若关于的方程在区间上有2个不同的解，，则________． 14．已知函数，且恒成立，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 教育部《关于实施学生体质强健计划的意见》提出要保障中学生每日综合体育活动时间，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长．某中学对本校学生体育锻炼情况开展调研：有的学生每日综合体育活动时间不足1小时，这部分学生体质健康测试不达标的概率为；每日综合体育活动时间不少于1小时的学生，体质健康测试不达标的概率为． （1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该学生体质健康测试不达标的概率； （2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中体质健康测试不达标的人数，求的分布列和数学期望． 16．（本小题满分15分） 如图，是半径为2的圆的一条直径，为半圆弧上的一个三等分点（），平面，，为的中点，于点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在两个不同的零点，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，求证：． 19．（本小题满分17分） 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的2倍，其中，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为． （1）求双曲线的离心率； （2）求数列的通项公式； （3）定义：无穷递减等比数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且．设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $