湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学二参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A C A B C D ABD ABC ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14．0 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．【解析】（1）因为折叠前，且，故，所以． 2分 又平面平面两平面的交线为， 4分 因为平面，且，所以平面． 6分 （2）由（1）可知点为点在平面上的垂足，因此为在平面上的射影， 故为直线与平面所成的角． 9分 在中，，，所以． 11分 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 13分 16．【解析】（1）由得． 2分 由正弦定理，． 4分 又， 所以， 所以． 6分 （2）由，及（1）可得，故． 9分 因为，所以， 所以，． 所以，． 12分 所以． 15分 17．【解析】当，时，， 1分 ，， 3分 若前4次结果始终交替，则进行第5次后停止，因此． 4分 故随机变量的分布列为 2 3 4 5 5分 （2）（ⅰ）事件表示前次试验中任意相邻两次结果均不同，即前次结果严格交替， 7分 可能序列只有，． 每种序列中均有个，个，故． 10分 （ⅱ）事件表示前次结果严格交替， 11分 两种可能序列的概率分别为，． 13分 故． 14分 结合（ⅰ），． 15分 18．【解析】（1）由， 故． 4分 （2）（ⅰ）， 可得， 5分 因此， 7分 在内分母恒正，故当时，；当时，， 所以在处取得最小值， 9分 此时． 11分 （ⅱ）由（ⅰ），题设对任意恒成立，当且仅当， 即， 13分 因此，即， 15分 因为，故，解得， 所以实数的取值范围为． 17分 19．【解析】由离心率，得，， 又，所以，， 则，． 设过点的直线方程为， 代入椭圆方程，得． 设点，的横坐标分别为，， 所以，． 2分 又，， 故， 4分 代入韦达定理，得． 5分 （2）设，， 先考虑且相关直线的斜率均有意义的情形，令，， 6分 由（1）可知， 8分 令，利用化简得， 9分 整理得， 10分 故轨迹方程为或； 当且时，直接检验可知，故无新增点． 在直线上，由题意应有当时，相应焦点弦经过椭圆的点，此时，，，中有直线斜率不存在，故这两个点也应删去；双曲线上只需由删去两个顶点． 所以点的轨迹为． 11分 （3）解法一（坐标法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为，则，， 六边形中有两条边长为，另有四条边长为， 故． 13分 令，则， 令，则， 所以()2， 15分 当，即，时等号成立， 由，，得，因为r＞0，故， 17分 所以，． 解法二（圆上角度法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为，轴正半轴与的夹角为，则， 由，，，得， 圆上六个交点相邻所对的圆心角中，有两个为，四个为． 因此． 13分 令，则，所以， 整理得． 15分 当且仅当等号成立， 由的取值范围，得，所以，此时， 所以． 故，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二 本试卷共6页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知，均为单位向量，且，则 A．1 B．2 C． D． 3．已知复数在复平面内对应的点为，则 A． B． C． D． 4．已知．若，则 A．5 B．9 C．7 D．11 5．若，则的值为 A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点在上运动，以为直径作圆，则下列直线中始终与该圆相切的是 A． B． C． D． 7．已知边长为2的正方形纸片，沿对角线折叠，使平面与平面所成的二面角为．折叠后，点，分别为，的中点，则的值为 A． B． C． D． 8．现从集合中随机选取3个不同的数，已知所选的3个数中恰有1个偶数，则这3个数的和大于12的概率为 A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4．令．则下列结论正确的是 A．数据，，…，的平均数为11 B．数据，，…，的方差为16 C．在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D．将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 10．已知函数，．则下列结论正确的是 A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 11．若数列满足，且对任意正整数，，．记．则下列结论正确的是 A．对任意正整数， B．对任意正整数， C．对任意正整数， D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，其中，则__________． 13．已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，则的面积__________． 14．已知函数，若过点可以作曲线的四条不同的切线，四个切点的横坐标依次为，，，，且，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图，在三角形纸片中，点在线段上，且，，．沿折痕将折起，使点到达点，且平面与平面垂直． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（本小题满分15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且 （1）证明：； （2）若，，求的面积． 17．（本小题满分15分） 独立重复进行至多次试验，每次试验只有，两种结果，且每次出现的概率为，出现的概率为．从第2次试验开始，每完成一次试验，就将本次结果与前一次结果进行比较：若两次结果相同，则立即停止试验；若两次结果不同，则继续进行下一次试验．若直到第次试验结束仍未停止，则再进行第次试验，并在第次试验结束后停止．记实际进行的试验次数为随机变量． （1）当，时，求随机变量的分布列． （2）设为正整数． （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，证明：． 18．（本小题满分17分） 已知函数， （1）证明： （2）设，定义， （ⅰ）求函数的最小值； （ⅱ）若对任意，都有，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，坐标原点为． （1）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．记直线，的斜率分别为，，求关于的表达式． （2）点不在轴上，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点．记，其中，，，分别表示相应直线的斜率，求满足的点的轨迹． （3）圆与（2）中轨迹相交于六个点，按圆周顺序依次记为，，…，．记六边形的周长为，求的最大值，并求取得最大值时的值．（用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $