湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考6数学试题

高三数学 命题人、审题人：高三数学备课组 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A=(xl|xl≤2}，B=(x∈Zx2<10),则A∩B的元素个数为 A.3 B.4 并 C.5 D.6 园 2.若(1+)之=2，则在复平面内x对应的点位于 如 A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 前 3.已知向量a,b,c在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长 煎 长 为1，则1a+b+cl= 岗 斋 A.8 B.4√3 C.2√13 D.2√/15 4.已知实数a<b,则“m>0"是“g<士m"的 bb+m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 北 5.小明在某个不透明的盒子中放人4红4黑共8个球，随机摇晃后，小明 从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中 取出2个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为 A c号 n号 数学试题(T6)第1页（共8页） 6.已知椭圆G:菁+号-1和双曲线C:若若=1a>0,6>0)有公共焦 点F1,F2(F1为左焦点)，C与C2在第三象限交于点M,直线MF2交y 轴于点N,且FN平分∠MFF2,则C2的离心率为 A多 R号 C 2 -x2十4x,x≤4， 7.设函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=t有四个 11og2(x-4)|,x>4, 实根x1,x2,x,x4(<x2<x3<x4),则下列结论正确的是 A.x2十x3=9 B.0<t≤4 C.n-4 4一4<一x D.十0+2十2的最小值为16 8.已知数列{an}是公比为g(g>0且g≠1)的等比数列，点A:在圆T:(x -a:)2+y2=a(i=1,2,3)上，且满足|A3A1:|A3A2|=2:√3，若 AA3是圆D(G=1,2)的切线，则g= A日 B号 C.2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.对于函数f(x)=c0s2x和g(）=0s(2x一)，下列说法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的零点 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 10.已知点F(2,0),直线1：x=8,O为坐标原点，动点P到点F的距离是 点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P,则称该直线 为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是 冬点P的轨迹方程是十造=1 B.直线x一2y一10=0是“最远距离直线” C满足|OP|=√5的点P有且仅有4个 D.若点P形成的轨迹为曲线T,且矩形ABCD内接于曲线Γ，则矩形 ABCD面积的最大值为16√3 数学试题(T6)第2页（共8页） 11.如图，在三棱锥O-ABC中，侧棱OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB =OC=3,P为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面的距离 分别为d1,d2,d,直线OP和三条侧棱所成的角分别为∠1，∠2，∠3， 直线OP和三个侧面所成的角分别为a,β，Y,则 A.该三棱锥的外接球半径为3)3 B.sin2∠1+sin∠2+sin∠3=1 C.sin2a+sin28+sin2y=1 D.当d十d+d=5时，P点的轨迹长度为√2π 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若指数函数f(x)满足f(2)一2f(1)=3,则f(3)= 13.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不 同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算 两次原理，又称为富比尼原理.由等式(1+x)m(1十x)”=(1十x)m+"利 用算两次原理可得CC路十CC路1十C%C%2十…十CC”= (结果用组合数表示) 14.草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC,点P 在边BC上，且|PB=2PC,小闵同学在该区域玩耍，他在P处放置了 一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°， 则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 m2. 数学试题（①6）第3页（共8页） 西、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说朋、证明过程或演 算步骤、 15.(本小题满分13分) 记数列(a,)的前n项和为Sn,且a1=1,a。=Sn-1(1≥2). (1)求数列a}的通项公式： 1 一，n为奇数， (2)设b=〈 an+l 求数列6。的前2n项和B2a. am,n为偶数， 数学试题(T6)第4页（共8） 16.（本小题满分15分) 幸福农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13)件次品，从中一 次任取10件，其中次品恰有X件 (1)若n=3,求取出的产品中次品不超过1件的概率； (2)记f(n)=P(X=3),则当n为何值时，f(n)取得最大值 数学试题(T6)第5页（共8页） 17.（本小题满分15分) 如图，在三棱台ABC-A,B1C中，平面AA1CC⊥平面ABC,AA1= AiC=CC=2,AC=4,A B=22,AB=BC. (1)求证：AB⊥AC; (2)求平面ABC1与平面BCC1夹角的余弦值 A C B 数学试题(T6)第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C菩+兰-1(。6>0)过点1,2)，离心率为2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P(4,0),过椭圆C的右焦点F的直线L交椭圆于A,B两点，点 A在x轴上方. (i)求证：∠APF=∠BPF; (ⅱ)设点M在椭圆C上，MF平分∠AMB,点N是△FMP的外接 圆与椭圆C的另一个交点（异于M,且NA十NB=得，求 1√3 cos∠ANB的值， 数学试题(T6)第7页（共8页） 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(x十1) (1)求f(x)的图象在点(e一1，f(e一1)的切线方程； ②V≥0，afx)牛轻，求实数a的取值范围 (3)请阅读下列两段材料： 材料1：n阶导数定义：设函数y=f(x)的n一1阶导数-1(x) (n≥2，n∈N)仍是可导函数，则-1(x)的导数[f-1(x)]Y称为 f(x)的n阶导数，记为(x),即(x)=[f-1(x)]'. 材料2：一般地，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德逼近函数定义 为：R)=8++8,且满足f0》=K0了(0) R'(0),f'(0)=R'(0),…,fm+w(0)=Rm+m(0). 请根据以上材料回答下列问题： 记R(x)为f(x)在x=0处的[1,1]阶帕德逼近函数，当x≥0时，求 函数g(x)=f(x)一R(x)的最小值；并证明：Hn∈N*,e< 1+》片<c.(其中e=2.71828为自然对数的底数。 数学试题(T6)第8页（共8页）高三数学参考答案 题号 1 2 5 5 6 7 8 10 11 答案 0 D B B 0 BD ACD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 3.C【解析】如图，建立直角坐标系，则a=(2,2)-(0,2)=(2,0),b=(1,4)一(0,2)=(1,2)，c=(6,3)一(3,1)=(3,2)， 0 所以a+b+c=(6,4),那么|a十b+c=√62+4=√52=2√13 4D【解折]已知a<6,若m>0,当a=-2,6=-1,m=1时，6十m=0,无意义，故充分性不成立：若号<号牛，则 号州合->0，因为a<6,所以6-心0，音4=1,6=2，m=-3时，满足委求，但光时m0,故必安性不成 立；所以“m>0”是“2<十m”的既不充分也不必要条件。 bb十m 5.B【解析】用A表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用B表示丢掉的小球为红球，B2表示丢掉的小球为 黑球，则P(B)=P(B),PAB)是=司，P(A品)-=号，由全概率公式可得P(A)=P(B)PA1B) +PB,)PA1风)=合×号+号×号-是，所以PBA-PB2含X7= P(A) 3 3· 14 6.B【解析】由题可知，F1F2|=2c=2, (MF+MF2|=4,(IMFI=2-a, 即c=1,a2+=1, 得 MF|-MFI=2a,MF2|=2+a. 设|NF2|=m,因为FN平分∠MFF2,由角平分线定理可知， 源-即2+”m22。参理得m=牛会 NFFF 在△MF,F2中，设∠MF2F1=0,根据余弦定理，有： M Cos 0-F FMFME _4+(MFI+MF D(IME:I-IMF D4+4X2d1+2 2F1F2·MF2 2FF2·MF2 2X2×(2+a)2+a1 又因为在RANO中，ms=∠NF0=R-六-行会 故可得2计积-行2理得5a-2-0… 解得a=号，故C的离心率e==日=号 -a-a-2 7.D【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象知：0<<2<x2<4<x<5<x4, y=fx 对于A,x2十x<9,A不对； v=4 对于B,因为方程f(x)=t有四个实根，所以0<t<4,B不对； v=t 对于C,由log2(x3一4)川=|log2(x4一4)1，则-log2(x3一4)=log2(x4-4), 即log2(x3-4)十1og2(x4-4)=0,则(x3-4)(x4-4)=1, 数学参考答案(T6)一1 由对装均准不等式v历<n6a≠证明聪).可得会》品》)>1 又0<x-4<1<x4-4,.ln(x-4)<0<ln(x4-4),所以ln(x-4)-ln(x4-4)<0, 从西有4一<血名C不对： 对子D,由二次函教对恭性可知，山十=4，又由一4一)=1得，一十4， 所以++2+合=4+2(+4)+2=14+2+号a-40≥14+2V名42-0=16， 当且仅当2=1 =4=2(x一4)，即x=6时，等号成立，此时fx4)=1<4,故选D. 8.D【解析】如图，设点O,O2,O3分别为圆T1,T2,Γ3的圆心， 依题意不妨设a1=1,a2=q,a3=q, 由题意知q>1,因为A,A3是圆T(=1,2)的切线， 0 根据勾股定理可得A3A12=|AO2-1,|A3A212=|AO2|2-q, 对以价公-8号周为成A李国c1子-上 故可设点A3(qcos0+q,qsin0)(cos0≠-1)，又O(1,0),O2(q,0), 代入化满得号牛器等等司青 整理得(q-4g十3)(cos0+1)=0,则q一4q十3=0，解得q=3或q=1(舍去). 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AB【解析】对于f:因为f)=c0s2红，可得最小正周期T-受=元，)m=1, 令f)=c0s2x=0,得零点为x=晋+经(k∈Z, 令2x=(∈2ZD,解得x经（∈D,故对称轴为直线x-受(E2D: 对于g:周为g)=c0s(2x-吾），可得最小正周期T-=,g(m=1, 令g)=as(2x-晋）=0，得零点为x-登+经(k∈， 令2z-吾=kx(∈ZD,解得z=吾十经(k∈Z),故对称轴为直线x=吾十经（∈Z): 综上可得，f(x)和g(x)的最小正周期和最大值相同. 10.ACD【解析】设动点P(,),由题得V2)+可=1x-81, 两边平方得(x-2)2+y=子（红一8），展开得2-4x+4十-苦-4x十16， 移项合并得3千+y=12,两边除以12得酷+能-1，故A正确： 联立后+=1与x-2y一10=0，由直线方程得x=2十10， 代入箱周方程得20心+造-1，化简得4y十30)十63=0. 16 判别式△=302一4×4×63=一108<0，方程无实数解，故B错误； 由10P=V得2+=15，联2后+益-1， 数学参考答案(T6)-2 由椭圆方程得3x2+4y2=48,将y=15-x2代入得3x2+4(15一x)=48, 化简得x=12,解得x=士2√3，对应y2=3,y=土√3， 即(23W3),(23,-√3)，(-25w3),(-2√3，-√3)，共4个点，故C正确； 设指国后+益-1上第一象限内点A4ecos.25sn(0c(0,受)》， 矩形面积S=4×|4cosl×|2W3sinl=32W3cos0sin0=16√3sin20, 当0=于，即sin20=1时，Sx=163,故D正确. 11.ACD【解析】对于A,由三条侧棱OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC,则该三棱锥可补成 正方体， 如图1所示，该三棱锥的外接球也就是补成的正方体的外接球， 0 则外接球半径R=日V3+3+了-3，故A正确； 2 图1 对于B,过P作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图2所示的长方体， 则直线OP与OA所成角为∠AOP记为∠1， 与OB所成角为∠BOP记为∠2，与OC所成角为∠COP记为∠3， 则sin∠1=A-=VAAg+A,B OP OP sin∠2=BP=B暖+BC OP OP 图2 sin∠3=CB-YCC+G& OP OP 则m∠1+sr∠2+sm∠3-AA士A成士BCG十CG十C=282器-2，妆B错； Op2 对于C,直线OP与平面BOC,平面AOC,平面AOB所成角分别为∠C2OP,∠AOP,∠B2OP, 则n∠GOp-8部m∠AOP8部，sn∠OP8器， OP 故前a十ta7-i∠CoP+m∠AOP+sr∠a0OP-A严+8票+GP_O+8S+O-8器-1， Ope Op 故C正确； 对于D,在该长方体中，+d十d=OP2=5,则OP=√5，故P点的轨迹为以O为球心，半径为√5的球面被三角形 面ABC所藏得的国益，设点0到平西ABC的E离为d,则Vo=号5m·d号×号×(G)1一3空， 由V0=Vos,可符254日×号×3X3X3,解得d5, 则截面圆半径r=√OP2一正=√5-3=√2， 设△ABC内切圆率径为r,则由S-号×(3v2)=名×9V巨，解得，-， 因为厄，所以轨连为三段圆孤， 如图，设M,N分别为其中一段圆孤的两个端，点，O,为点O在底面ABC的投影，则ON=√2， 由对称性易得∠0AN=晋，由正孩定理，△ABC的外接圆丰径O,A=3区=6， 2sin号 在△0AN中，由余孩定理，0N=0A+AN-2,OA·AN,os否， 数学参考答案(T6)一3 即2=6+AN0-2V6ANX,解得AN-2或AN=2(由对称性，此时AC>32,故含去)， 所以∠八OA=吾，所以益MN对应的周心角为胥，其长度为号， 所以P点的轨途长度为3X号=V区x,故D正瑞 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.27【解析】设指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)，由f(2)-2f(1)=3得a2-2a=3,解得a=-1(舍去)或a=3,所 以f(x)=3,则f(3)=33=27. 13.Cm【解析】(1十x)"(1十x)”展开式中x的系数为CC路+CC1十C%C2+…+CC%,(1十x)m+m展开式中x 的系数为C+m,因为等式左右两边相等，故x的系数也相等，即CC十CC1十CC2十…十CC=C%m 14.125√3【解析】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大， 则光线必须经过AB,AC边，如图，在正△ABC中，∠EPF=晋，BP=20,CP=10, 设∠BPF=∠CEP=O, 由正弦定理得：sin0 PC CE 一，则CE- 10sin(5-0） sin( sin PB sn(-0) sn0:则BF BE 20sin 0 n(管-） S=So底SAm-Sae-A8-合BF,BP,si血晋-号CP,CE:sm号 4 3.30·20n020sim晋810→ 10sin(5-0） 4 sn(-) sin sin子 =255-10w3.,09-255. in() sn(g-)】 sin 0 =225√3-25√3 4sin 0 ≤125√3， sm(-0) sin 0 当且仅当4sin0」 sin() sin 0 一，即tan0=3,即0时取等号， 6 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为125√3m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)在数列{an}中，a1=1,an=S.-1(n≥2)，则a2=a1=1, …2分 当n≥2时，a+1=Sn=an十Sw-1=2an, 则数列{an}是以a2=1为首项，2为公比的等比数列，…4分 因此，当n≥2时，an=a2·2m2=22,而a1=1不满足上式， 1,n=1, 所以数列{an}的通项公式为a,= …6分 2-2,n22. 1 (2)由(1)得bn= 2,n为奇数， …7分 2-2,n为偶数， 数学参考答案(T6)一4 则6+6十十叶，=1+是++ 11 4m441 22m-21 …9分 3 1 6+b十6+…+b.=1+2+24+…+22=1-4=4"-1 1-43 .11分 B=g+号-1+考- 。。。。。。。。。。。。。。。。。 3 33 …13分 16.【解析】(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A, 则P(A)=P(X=0)+P(X=1). … …2分 因为PX-0》-等-名NX=D--是 C838’ 6分 所以PA品+器-2 故取出的产品中次品不超过1件的概率是号 …7分 (2图为fm)=P(X=3)=CC4,所以fn+1)=CC C 28 ………………………9分 -男88， 则(n+1D13-m0>6a-2)(20-0,解得8 13分 故当8时，f>1:当心8时，<1， f(n) f(n) 所以当n=6时，f(n)取得最大值.…。 …15分 17.【解析】(1)取AC的中点O,连接BO,AO,CO, 因为BA=BC,O为AC中点，所以BO⊥AC,… …2分 又因为平面AACC⊥平面ABC,平面AACC∩平面ABC=AC,BOC平面ABC, 所以BO⊥平面AACC,而ACC平面AACC,则AC⊥BO.… …4分 因为A1C∥AO,A1C=AO=AA1,所以四边形A1AOC1是菱形，AC⊥A1O,…5分 而AO∩BO=O,A1O,BO汇平面A1OB,因此AC⊥平面AOB,…6分 因为A1BC平面A1OB,所以A1B⊥AC.… …7分 (2)取AC的中，点M,则OM⊥AC, 由平面AAC,C⊥L平面ABC,平面AACC∩平面ABC=AC,OMC平面AACC, 则OM⊥平面ABC,又OBC平面ABC,所以OM⊥OB, 则OB,OC,OM两两垂直，依题可建立如图所示空间直角坐标系Oxy%, … …9分 在平面AACC内作A1H⊥AC于H,连接BH. B 因为平面AACC⊥平面ABC,所以AH⊥平面ABC 在梯形ACCA中，由题意AH=1,AH=√3. 在Rt△AHB中，BH=√AB-A1亚=√5. 在Rt△OHB中，OB=√B-O平=2， B A(0,-2,0),C(0,2,0),B(2,0,0),C(0,1w3), BC=(-2,1W3),AB=(2,2,0),BC=(-2,2,0),… …11分 数学参考答案(T6)-5 设平面ABC的法向量m=(x1,M,), AB·n1=2x1十2y=0, BC·m=-2十y十3名=0， 取x=1,得m1=(1,-1,W月).…12分 设平面BCC的法向量2=(x2,y2,), BC·n2=-2x2十2h=0, 则 BC·=-2x十%十√3a=0, 取x2=√3，得2=(W3W3,1),… …13分 以m为万要 因此平面ABC和BCC夫角的余弦值是√O5 35· …15分 18.【解析11)由描圆C号+苦=1。>6>0)的离心率为号， 得2公开气则8， …2分 由祸国C过点1,2），得宁+品=1，解得心=4，心=3， …4分 所以精国C的标准方程是写+号1 5分 (2)(i)记A(x1,y),B(x22),依题意，少>0,2<0， 设直线AB的方程为l:x=my十1，代入椭圆方程得：(3m2+4)y2十6my-9=0, 则有十为=一3 9 3m+41h=一3m+40, …7分 设AP与BP的斜率分别为k1,k2, -18m118m =2my2-3(y+2)-3m2+4T3m2+4 则6+=产十一1”3号易7号》号-0， …9分 所以∠APF=∠BPF. …10分 （I)设T(%)满足A4=1AF=1AT BMIBFIBTI' 则爱)物=包，m分 B 数学参考答案(T6)-6 将x=my+1,x2=m2十1代入②， 并化简得6十-2x（1+mX）-2%X十2mX十1=0③，…12分 y1十y2 yM1十y2 y1十y2 将(2(1)中①代入③得：6+6-5x一元十4=0， 即(-昌了+(6一品)广=品+是义直线AB和直线x=4的交点为R,品》。 图此满足A==的T点都在以R为直径的圆上，…… …14分 又RP,EMN者在以FR为直径的国上，则会-品-会别NP是∠ANB的商手分线， 则SAaw+SAww=SAABN,|NA|NF|sin,∠ANF+|NB|INF|sin∠BNF-|NA|INB|sin∠ANB, 于是n<ANYF+sm<BNE_sn∠ANB_2sin∠ANFcos∠ANE NB NANF NF 则+=2NF-源餐得o∠ANF-号. 1 ………………16分 所以cos∠ANB=2cos∠ANF-1=2: …17分 19.【解析】(1).f(x)=ln(x+1),.x>-1,f(e-1)=lne=1, 又f(x)=f(e-1)=,… …1分 初线方程1-[一(e一1D]即切线方程为：y-日+ 2分 （@):adc+D<法在区同[0，+o)内返底立， 令(o)=aln(z+）2C五20》，aea……3分 注意到h(0)=0,则(x)=二元十a-2)x十a-2 (x+1)2 …4分 当a≤2时，h'(x)≤0恒成立， 所以h(x)在区间[0，十∞)内单调递减，则h(x)≤h(0)=0符合题意.… 6分 当a>2时，令m(x)=-x2+(a-2)x+(a-2), ma=2+y)=0,藏当xc(042+)时，m(>0,即(>0， 2 则)在区间(0，a一2+/云4)内单调递增，故(>h(0)=0,与巴知矛盾。 2 所以实数a的取值范围是(-∞，2]， …8分 (3)由题意得R(x)=a十ax 1+b1x …9分 K(D.-- 1 由f(0)=R(0),得a=0, 所以R)=平场x则K)=a十6 由f(0)=R'(0),得a1=1,R(x)=1+b,), 1 所以R(x)=一 2b1 (1+bx)3, 数学参考答案(T6)-7 由(0)=R0,得6=2，则R()=,工=22 1+ x十2' ………11分 故g)-n+1)2-h+1)-2+2>0, 则g-ia-结-a++0, 所以g()在区间[0，十o∞)内单调递增，所以g(x)m=g(0)=0. …13分 当>0时，g>g0)=0,即n(十1》一2千2>0，袋理得(2+号)n(+1D>1,…14分 由2)可知当x公0a=2时，l+1）<对(（侵+号)hc+11+…15分 当>0时，1<(2+号)l(x+1)<1+4千 ◆x-得1<(a+2)h(1+)<1+and+D 即e<1+})"<e*点. …17分 数学参考答案(T6)-8