3.5圆内接四边形（分层作业，6大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 3.5 圆内接四边形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对角互补求角 题型02 圆内接四边形的外角性质 题型03 直径与半圆中的求角 B组 能力进阶 题型01 四点共圆及应用 题型02 求四边形外接圆的半径 C组 思维拔高 题型 圆内接四边形·创新性问题 对角互补求角题型01 1．如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形，两对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：C． 2．如图，点、、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求得，根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、、在上， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，掌握圆周角定理是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 4．如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为_________． 【答案】##25度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，根据圆内接四边形的对角互补求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可． 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， ∵平分 ， 故答案为:. 5．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则______． 【答案】## 【分析】设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设， 则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是的直径， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴，则是等边三角形 ∴，则 ∴ 在中， 在中， ∵是的直径， ∴当取得最小值时，的面积最小， ∴当时，的面积最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接和，，在的延长线上． (1)若，求的度数． (2)求证：平分． 【答案】(1) (2) 证明：四边形为的内接四边形， ∴， 又， ， ， ， 即平分． 【分析】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，关键是利用弧的度数求圆周角，结合等腰三角形与外角性质证角平分线，易错点是弧与圆周角的对应关系混淆； （1）由弧的度数得圆周角，结合等腰求，再用同弧所对圆周角相等求； （2）利用圆内接四边形外角等于内对角，结合同弧圆周角相等证． 【详解】（1）解： 为等腰三角形， ， ， ， ， （2）略 7．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 8．（2026·陕西西安·模拟）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】 （）∵ ∴， ∴ 即， 又∵四边形是的内接四边形， ∴四边形是“婆氏四边形”； （） （）存在， 【分析】本题主要考查围绕“婆氏四边形”(对角线互相垂直的圆内接四边形)展开，核心考查圆的性质(圆内接四边形对角互补、圆周角定理、垂径定理)、特殊四边形判定(平行四边形、矩形、正方形的判定逻辑)、几何计算与最值(勾股定理、全等三角形判定与性质、二次函数最值)，并紧扣“婆氏四边形”定义串联各知识点，综合考查圆、四边形、三角形的性质与判定及几何最值问题的解决能力． （）根据圆周角定理即可得出，从而可得，继而证明结论． （）根据垂径定理和圆周角定理可得，，设，则，，在中解直角三角形即可； （）先作，由垂径定理得；再利用结合圆周角定理，推导得，进而证，得到； 设，则，进而得到，在中用勾股定理表示半径 ；最后化简表达式为，当时，的长取最小值，且最小值为，即可解答． 【详解】（）略 （）解∵， ∴，为直径， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理， ，即： 解得，即； （）存在，； 理由：过点作于点，于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的长取最小值，且最小值为， ∴半径的最小值为， ∴圆形景观区面积的最小值（平方米） 圆内接四边形的外角性质题型02 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，结合可得． 【详解】解：四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 故选C． 2．（25-26九年级上·浙江金华·联考）如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出的大小． 先根据圆周角定理得出的大小，然后利用圆内接四边形对角互补的性质，得出的大小，从而得出的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　）    A．50° B．60° C．80° D．90° 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：，则∠DBC=2∠EAD=80°． 【详解】如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°． ∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M． ∵AO⊥CD，∴，∴∠DBC=2∠EAD=80°． 故选C．    【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题． 4．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数是_______． 【答案】##120度 【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：四边形内接于， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________． 【答案】140° 【解析】略 6．如图．已知四边形ABCD内接于⊙O，DB=DC，延长BA至点E，求证：AD是△ABC的外角∠EAC的角平分线． 【答案】 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCB＝∠EAD， ∵DB＝DC， ∴∠DCB＝∠DBC，又∠DBC＝∠DAC， ∴∠DCB＝∠DAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴AD是△ABC的外角∠EAC的角平分线． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠DCB＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠DBC，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代换得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键. 7．已知如图，AD是的外角的平分线，与的外接圆O交于点D (1)求证：DB＝DC (2)如果DB＝5，BC＝6，求圆O的半径. 【答案】 (1)证明：∵AD是的外角的平分线， ∴∠EAD=∠DAC, ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠DAB+∠DCB=180， ∵∠DAB+∠EAD=180， ∴∠DCB=∠EAD ∵∠DBC=∠DAC, ∴∠DCB=∠DBC, ∴DB=DC; (2). 【分析】（1）由角平分线证得∠EAD=∠DAC,由四点共圆证得∠DCB=∠EAD，由此得到∠DCB=∠DBC,即可证得DB=DC; （2）作DF⊥BC于F求出DF、BF，再连接OB利用勾股定理求出半径r. 【详解】（1）略． (2)作DF⊥BC于F， ∵DB=DC,BC=6， ∴BF=CF=3，DF过点O, ∴DF=, 连接OB，设半径OB=r，则OF=4-r， 在Rt△OBF中， , ∴， 解得. 【点睛】此题考查圆的知识，圆内接四边形的性质，垂径定理，在圆中利用垂径定理，得到半径、弦的一半、弦心距三者构成的直角三角形，利用勾股定理求得某条线段的长度. 8．在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 如图，连接，在上截取，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（）由等腰三角形的性质得，即得，再根据等边三角形的性质可得，，进而即可求解； （）连接，在上截取，连接，可证，得到，，可证点共圆，得到，，进而得到，即得到，即可得，即可证，得到，即可求证； （）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，不妨设，则，，由点关于直线的对称点为，可得，，设，，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 即； （2）略 （3）解：如图，以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨设，则，， ∴，， ， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴或， 设，， 当时， 由和得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴； 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 当时，同理可得， 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，圆内接四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，轴对称的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 直径与半圆中的求角题型03 1．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径对直角求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 2．（2025·湖北荆州·模拟）如图，是半圆O的直径，C，D，E三点依次在半圆O上，若，则的度数为（   ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用圆内接四边形对角互补可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 4．（25-26九年级·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，折叠的性质，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键，设点关于的对称点为，连接，圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，进而求出的度数，三角形的外角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设点关于的对称点为，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故选C 5．如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是________．    【答案】##130度 【分析】利用直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算，利用圆内接四边形的性质求得的度数． 【详解】解：为的直径 四边形内接于 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 6．（26-27九年级上·浙江宁波·月考）如图，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，以为边，在的左上方作等边，以为圆心，为半径作，在优弧上取点，连接，，，，先求出，，进而可判断点、、、四点共圆，在上，利用正弦定义求出，利用勾股定理求出，当三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，以为边，在的左上方作等边，以为圆心，为半径作，在优弧上取点，连接，，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴点在上， ， ∵为直径， ， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴点、、、四点共圆，在上， ， ∵，， 在中，， 在中，， ， 当三点共线时，，有最小值，的最小值为． 7．（24-25九年级上·江苏·月考）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， 是圆的直径， ， ， ， 是的中点； (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质及圆内接四边形的性质，关键是有圆周角定理得到． （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆内接四边形的性质推出，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 8．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 【答案】64cm2 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】解：连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF=FC=4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：(a)2=42+(a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8， ∴正方形面积为 故答案为：64cm²． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 四点共圆及应用题型01 1．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 【答案】 （1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∴A、E、C、F四点共圆； （2）证明：由（1）可知，圆的直径是AC， 连接AC交BD于O， ∵ABCD是平行四边形， ∴O为圆心，OB=OD， ∴OM=ON， ∴BM=ND.    【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆； （2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】 （1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ， ②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上， 点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程： ①______________；②______________． 【结论应用】 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；    【拓展延伸】 （4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）    【答案】（1）①圆的内接四边形的对角互补；②； （2）； （3）证明：， ， ∵点E与点C关于的对称， ， ， ， ， ∴A，D，B，E四点共圆； （4） 【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可； （2）由【提出问题】可知A，B，C，D共圆，从而． （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到即可证明结论； （4）在上取一点M，使得，连接，证明、是等边三角形，再证明即可求出． 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆的内接四边形的对角互补； ②，（①___圆的内接四边形的对角互补） ， ， 故答案为：①圆的内接四边形的对角互补；②； （2）由【提出问题】可知，且在线段同侧， ∴A，B，C，D共圆， ∵是同弧所对的圆周角， ， 故答案为：． （3）略 （4）如图，连接，在上取一点M，使得． ， 是等边三角形，   ，， 是等边三角形， ， ， A、B、C、D四点共圆， ， ， ， ， 四边形的周长， ， 当最大时，四边形的周长最大， 当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大， 为的外接圆的直径， ， ， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂【材料阅读】，掌握圆的相关性质并能灵活运用． 求四边形外接圆的半径题型02 1．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 3．如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形，可得是同圆中的内接正三角形，延长AO交圆于点E，，，计算出圆的直径，从而得到半径的长． 【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED， ∵为四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴的角平分线经过圆心， ∴， ∵AE是直径， ∴（直径所对圆周角是），是直角三角形； ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求四边形外接圆的半径，圆内接四边形对角互补，等边三角形性质，圆的基本性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 4．（25-26九年级·新疆乌鲁木齐·联考）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 5．如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，以及矩形的外接圆： （1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得，，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线，根据勾股定理可得，即可得到，解方程即可． 熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 所以 故； （2）解：由题可知： ∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2， ∴，，， 则， ∴， 由（1）知 ∴． 7．（25-26九年级·月考）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键． 通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径． 【详解】解：如图，平移至，连接，， 、， ， ，且， 四边形是矩形， ，，，， 在中，，即正方形对角线， 正方形的外接圆直径等于其对角线长， 正方形外接圆半径为：． 8．【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】 ∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：略 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 圆内接四边形·创新性问题题型 1．如图，四边形为的内接四边形，，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解直角三角形；连接交于点，先证明得出，，根据四边形为的内接四边形，进而得出，结合已知条件得出，是等腰直角三角形，设，进而解即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，    ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 2．如图，四边形为菱形，为对角线，在射线，上分别有动点E，F，在射线上有动点P，连接，已知，，记，，若，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，过点作于点，过点作于点，根据四边形为菱形，得出，从而得，，求出，则，结合，得出，根据角平分线的性质得出，从而得出，根据，得出点四点共圆，得出，根据，得出，，证出，从而得，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，从而算出，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了四点共圆，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 3．如图，四边形内接于⊙O，交的延长线于点E，若平分，，则等于（　　） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据角平分线的定义得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明，根据等腰三角形的判定定理得出，根据勾股定理计算，进而得到答案． 【详解】 如图，连接． ∵平分， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键． 4．如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则______． 【答案】 【分析】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【详解】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 5．在平面直角坐标系中，已知，动点P在的图象上运动（不与O重合），连接，过点P作，交x轴于点Q，连接．    (1)求线段长度的取值范围； (2)试问：点P运动过程中，是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】（1）由知，，当时，取最小时，进而可求解． （2）分三种情况：①当点P在第三象限时；②当点P在第一象限的线段上时；③当点P在第一象限的线段的延长线上时；用四点共圆即可求解． 【详解】（1）解：作，如图所示：    则， ∵点P在的图象上， ∴， ， ， ， ． （2）①当点P在第三象限时，如图2，      由，可得Q、P、O、A四点共圆， ∴； ②当点P在第一象限的线段上时，如图3， 由可得，点Q、P、O、A四点共圆， ∴，则， ； ③当点P在第一象限的线段的延长线上时， 由可得，， ∴点Q、P、O、A四点共圆， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及四点共圆、三角函数，结合图象，利用分类讨论思想是解题的关键． 6．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)6 (3)4 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 8．已知是的高，点E是平面内的一点． (1)如图1，点E在线段上，，，若，求的度数； (2)如图2，点E在线段的延长线上，的平分线与的延长线交于点F，连接、．若，，求证：； (3)如图3，，，，，点F是平面内一点，满足与互补，点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转90°得到点，当取得最小值时，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点F作交的延长线于点M， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． (3) 【分析】（1）根据已知条件结合等边对等角，线段和差关系得到，从而求得结果； （2）过点F作交的延长线于点M，通过导角利用三角形内角和定理，角平分线性质证得，，从而得出是等腰直角三角形，继而证得结论； （3）由已知条件可得点A，D，C，F四点共圆，从而得出点F的运动轨迹，再确定出点的运动轨迹是与夹角为的直线l，将直线l绕点A逆时针旋转得，过点B作交于点N，确定出，最后利用勾股定理和解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 略 （3）解：∵，点F是平面内一点，满足与互补， ∴， ∴点A，D，C，F四点共圆， ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆， 如图，取的中点O，连接，，， ∵点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转得到点， ∴点的运动轨迹是与夹角为的直线l， ∵，， ∴， 如图，将直线l绕点A逆时针旋转得，过点B作交于点N， 在中，， ∴， ∴的最小值为点B到的垂线段距离，即，此时、、共线， ∵，， ， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， 当点，O，F三点共线时，有最大值， ∴． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.5 圆内接四边形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对角互补求角 题型02 圆内接四边形的外角性质 题型03 直径与半圆中的求角 B组 能力进阶 题型01 四点共圆及应用 题型02 求四边形外接圆的半径 C组 思维拔高 题型 圆内接四边形·创新性问题 对角互补求角题型01 1．如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点、、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为_________． 5．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则______． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接和，，在的延长线上． (1)若，求的度数． (2)求证：平分． 7．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 8．（2026·陕西西安·模拟）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 圆内接四边形的外角性质题型02 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·联考）如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　）    A．50° B．60° C．80° D．90° 4．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数是_______． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________． 6．如图．已知四边形ABCD内接于⊙O，DB=DC，延长BA至点E，求证：AD是△ABC的外角∠EAC的角平分线． 7．已知如图，AD是的外角的平分线，与的外接圆O交于点D (1)求证：DB＝DC (2)如果DB＝5，BC＝6，求圆O的半径. 8．在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 直径与半圆中的求角题型03 1．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖北荆州·模拟）如图，是半圆O的直径，C，D，E三点依次在半圆O上，若，则的度数为（   ） A．110° B．120° C．130° D．140° 3．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是________．    6．（26-27九年级上·浙江宁波·月考）如图，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为_________． 7．（24-25九年级上·江苏·月考）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 8．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 四点共圆及应用题型01 1．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 2．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 3．【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ， ②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上， 点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程： ①______________；②______________． 【结论应用】 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；    【拓展延伸】 （4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）    求四边形外接圆的半径题型02 1．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级·新疆乌鲁木齐·联考）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 5．如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 7．（25-26九年级·月考）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 8．【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 圆内接四边形·创新性问题题型 1．如图，四边形为的内接四边形，，，，则（   ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形为菱形，为对角线，在射线，上分别有动点E，F，在射线上有动点P，连接，已知，，记，，若，则的长为________． 3．如图，四边形内接于⊙O，交的延长线于点E，若平分，，则等于（　　） A． B．6 C． D． 4．如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则______． 5．在平面直角坐标系中，已知，动点P在的图象上运动（不与O重合），连接，过点P作，交x轴于点Q，连接．    (1)求线段长度的取值范围； (2)试问：点P运动过程中，是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． 6．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 7．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 8．已知是的高，点E是平面内的一点． (1)如图1，点E在线段上，，，若，求的度数； (2)如图2，点E在线段的延长线上，的平分线与的延长线交于点F，连接、．若，，求证：； (3)如图3，，，，，点F是平面内一点，满足与互补，点E是直线上一点，将E点绕点A顺时针旋转90°得到点，当取得最小值时，直接写出的最大值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $