3.5 圆内接四边形【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

3.5 圆内接四边形【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 圆内接四边形是「圆的基本性质」一章里承上启下的一节：它把圆心角、圆周角的知识收拢成「对角互补」这一条简洁结论，又为后面研究正多边形、弧长与扇形面积搭好了台阶。本节的核心是圆内接四边形的对角互补，以及由此推出的「外角等于内对角」。复习时首先要盯住「圆内接」这个前提，再练熟它与圆周角定理的配合使用。 本卷按基础、能力、拔高三个层次编排。基础题以对角互补、外角等于内对角的直接应用为主，读题量小、解法一两步；能力题把结论放进圆周角定理、勾股定理、平面直角坐标系与折叠等情境中；拔高题以「弦与角互推」的分类讨论和综合说理为主。全卷只调用本章及此前学过的工具——全等三角形、勾股定理与 30°直角三角形的性质，压轴题也不例外。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形。若 ∠A＝80°，则 ∠C 的度数是（　　） A．80°　B．90°　C．100°　D．110° 2．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，延长 BC 到点 E。若 ∠DCE＝65°，则 ∠A 的度数是（　　） A．115°　B．65°　C．125°　D．25° 3．如图，在圆内接四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C 的度数之比为 4∶3∶5，则 ∠D 的度数是（　　） A．80°　B．100°　C．110°　D．120° 4．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连结 AC、BD。若 ∠ABD＝42°，则 ∠ACD 的度数是（　　） A．42°　B．48°　C．58°　D．84° 5．下列各组角中，能成为一个圆内接四边形的四个内角的一组是（　　） A．60°，70°，110°，120°　B．90°，90°，90°，90° C．55°，125°，85°，95°　D．80°，90°，90°，100° 6．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O。若 ∠ABC＝120°，∠ACB＝30°，则 ∠BDC 的度数是（　　） A．15°　B．20°　C．30°　D．60° 7．如图，⊙C 经过原点 O，且与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，点 A 的坐标为 (0，3)。M 是弧 OB 上一点（不与 O、B 重合），若 ∠BMO＝120°，则 ⊙C 的半径是（　　） A．　B．　C．　D． 8．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，点 B 在劣弧 AC 上。若圆心角 ∠AOC＝130°，则 ∠ABC 的度数是（　　） A．65°　B．115°　C．130°　D．50° 9．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，且 AB＝CD。若弧 AB 所对的圆心角为 64°，则 ∠CBD 的度数是（　　） A．16°　B．24°　C．32°　D．64° 10．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB＝AD，∠BAD＝60°。若 ⊙O 的半径为 4，点 C 是弧 BD（不含点 A 的那一段）上一动点，则 AC 长的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O。若 ∠A＝65°，则弧 BCD 的度数为　　　　　。 12．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O。若 ∠A 比 ∠C 大 40°，则 ∠A 的度数是　　　　　。 13．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC 是 ⊙O 的直径，AC＝10，BC＝6，AD＝6。则 AB 的长为　　　　　，CD 的长为　　　　　。 14．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，延长 AD、BC 相交于点 E。若 DC＝DE，∠ADC＝110°，则 ∠A 的度数是　　　　　。 15．如图，将 ⊙O 沿弦 AB 折叠，折叠后的弧恰好经过圆心 O。若 ⊙O 的半径为 2，则弦 AB 的长为　　　　　。 16．如图，⊙O 的半径为 3，弦 AB＝，点 C 是 ⊙O 上一点（不与 A、B 重合），则 ∠ACB 的度数是　　　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连结 AC、BD。 (1) 求证：∠ACB＝∠ADB＝90°； (2) 若 AB＝10，BC＝6，求 AC 的长； (3) 若 AC 平分 ∠BAD，求 CD 的长。 18．（7 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，BA＝BC，∠ABC＝100°。 (1) 求 ∠D 的度数； (2) 求 ∠ADB 的度数。 19．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，点 E 在 BC 的延长线上。 (1) 求证：∠DCE＝∠A； (2) 若 ∠DCE＝72°，∠CBD＝28°，求 ∠BDC 的度数。 20．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠BCD＝90°，AB＝AD。 (1) 求证：BD 是 ⊙O 的直径； (2) 若 AB＝6，求 ⊙O 的半径。 21．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB＝AD，AC 与 BD 相交于点 E。 (1) 求证：△ABC≌△ADC； (2) 求证：AC 垂直平分 BD。 22．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC 是 ⊙O 的直径，AC＝4。 (1) 求证：∠ABC＝∠ADC＝90°； (2) 若 ∠BAC＝30°，求 BC 的长； (3) 在 (2) 的条件下，若 AB＝AD，求 △BCD 的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 圆内接四边形【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 圆内接四边形是「圆的基本性质」一章里承上启下的一节：它把圆心角、圆周角的知识收拢成「对角互补」这一条简洁结论，又为后面研究正多边形、弧长与扇形面积搭好了台阶。本节的核心是圆内接四边形的对角互补，以及由此推出的「外角等于内对角」。复习时首先要盯住「圆内接」这个前提，再练熟它与圆周角定理的配合使用。 本卷按基础、能力、拔高三个层次编排。基础题以对角互补、外角等于内对角的直接应用为主，读题量小、解法一两步；能力题把结论放进圆周角定理、勾股定理、平面直角坐标系与折叠等情境中；拔高题以「弦与角互推」的分类讨论和综合说理为主。全卷只调用本章及此前学过的工具——全等三角形、勾股定理与 30°直角三角形的性质，压轴题也不例外。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形。若 ∠A＝80°，则 ∠C 的度数是（　　） A．80°　B．90°　C．100°　D．110° 【答案】C 因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，所以它的两组对角分别互补，即 ∠A＋∠C＝180°。由 ∠A＝80° 得 ∠C＝180°－80°＝100°。 2．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，延长 BC 到点 E。若 ∠DCE＝65°，则 ∠A 的度数是（　　） A．115°　B．65°　C．125°　D．25° 【答案】B 因为 ∠BCD 与 ∠DCE 互为邻补角，所以 ∠BCD＝180°－∠DCE。又四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠A＋∠BCD＝180°，两式比较得 ∠A＝∠DCE＝65°。这就是「圆内接四边形的一个外角等于它的内对角」。 3．如图，在圆内接四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C 的度数之比为 4∶3∶5，则 ∠D 的度数是（　　） A．80°　B．100°　C．110°　D．120° 【答案】D 设 ∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x。由对角互补得 ∠A＋∠C＝180°，即 4x＋5x＝180°，解得 x＝20°，所以 ∠B＝3x＝60°。再由 ∠B＋∠D＝180° 得 ∠D＝180°－60°＝120°。 4．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连结 AC、BD。若 ∠ABD＝42°，则 ∠ACD 的度数是（　　） A．42°　B．48°　C．58°　D．84° 【答案】A ∠ABD 与 ∠ACD 都是弧 AD 所对的圆周角。同弧所对的圆周角相等，所以 ∠ACD＝∠ABD＝42°。 5．下列各组角中，能成为一个圆内接四边形的四个内角的一组是（　　） A．60°，70°，110°，120°　B．90°，90°，90°，90° C．55°，125°，85°，95°　D．80°，90°，90°，100° 【答案】B 圆内接四边形的两组对角分别互补。逐组检验：A 中 60°＋110°＝170°，不符合；C 中 55°＋85°＝140°，不符合；D 中 80°＋90°＝170°，不符合；只有 B 的四个内角都是 90°，两组对角都互补，符合要求。 6．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O。若 ∠ABC＝120°，∠ACB＝30°，则 ∠BDC 的度数是（　　） A．15°　B．20°　C．30°　D．60° 【答案】C 在 △ABC 中，∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－120°－30°＝30°。又 ∠BDC 与 ∠BAC 都是弧 BC 所对的圆周角，所以 ∠BDC＝∠BAC＝30°。 7．如图，⊙C 经过原点 O，且与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，点 A 的坐标为 (0，3)。M 是弧 OB 上一点（不与 O、B 重合），若 ∠BMO＝120°，则 ⊙C 的半径是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 因为 OA⊥OB，所以 ∠AOB＝90°，弦 AB 是 ⊙C 的直径。点 A、O、M、B 都在 ⊙C 上，四边形 AOMB 内接于 ⊙C，所以 ∠BAO＝180°－∠BMO＝180°－120°＝60°。在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，于是 ∠ABO＝30°，得 AO＝AB，所以 AB＝2AO＝6，⊙C 的半径为 AB＝3。 8．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，点 B 在劣弧 AC 上。若圆心角 ∠AOC＝130°，则 ∠ABC 的度数是（　　） A．65°　B．115°　C．130°　D．50° 【答案】B ∠AOC＝130° 是劣弧 AC 所对的圆心角，所以弧 AC＝130°，不含点 B 的那段弧（弧 ADC）为 360°－130°＝230°。圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，所以 ∠ABC＝×230°＝115°。 9．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，且 AB＝CD。若弧 AB 所对的圆心角为 64°，则 ∠CBD 的度数是（　　） A．16°　B．24°　C．32°　D．64° 【答案】C 由 AB＝CD 得弧 AB 与弧 CD 的度数相等，所以弧 CD 也为 64°。∠CBD 是弧 CD 所对的圆周角，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，所以 ∠CBD＝×64°＝32°。 10．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB＝AD，∠BAD＝60°。若 ⊙O 的半径为 4，点 C 是弧 BD（不含点 A 的那一段）上一动点，则 AC 长的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 由 AB＝AD，∠BAD＝60° 得 △ABD 是等边三角形，弧 BD 的度数为 120°。点 C 在弧 BD 上移动时，AC 始终是 ⊙O 的一条弦，而圆中最长的弦是直径，所以 AC≤8。当 AC 取到直径时，点 C 恰好在弧 BD 的中点处（此时点 A 与该中点互为对径点），符合「点 C 在弧 BD 上」的条件。所以 AC 长的最大值是 8。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O。若 ∠A＝65°，则弧 BCD 的度数为　　　　　。 【答案】130° ∠A 所对的弧是弧 BCD，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，所以弧 BCD＝2∠A＝2×65°＝130°。 12．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O。若 ∠A 比 ∠C 大 40°，则 ∠A 的度数是　　　　　。 【答案】110° 由对角互补得 ∠A＋∠C＝180°；又已知 ∠A－∠C＝40°。两式相加得 2∠A＝220°，所以 ∠A＝110°。 13．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC 是 ⊙O 的直径，AC＝10，BC＝6，AD＝6。则 AB 的长为　　　　　，CD 的长为　　　　　。 【答案】AB＝8，CD＝8 因为 AC 是 ⊙O 的直径，点 B、D 都在 ⊙O 上，所以 ∠ABC＝∠ADC＝90°。在 Rt△ABC 中，AB＝＝＝8；在 Rt△ADC 中，CD＝＝＝8。 14．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，延长 AD、BC 相交于点 E。若 DC＝DE，∠ADC＝110°，则 ∠A 的度数是　　　　　。 【答案】55° 因为 ∠CDE 与 ∠ADC 互为邻补角，所以 ∠CDE＝180°－110°＝70°。在 △DCE 中，DC＝DE，所以 ∠DCE＝∠CED＝×(180°－70°)＝55°。又 ∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 在顶点 C 处的外角，它等于内对角 ∠A，所以 ∠A＝55°。 15．如图，将 ⊙O 沿弦 AB 折叠，折叠后的弧恰好经过圆心 O。若 ⊙O 的半径为 2，则弦 AB 的长为　　　　　。 【答案】 设点 P 是圆心 O 关于弦 AB 的对称点，则折叠后的弧是 ⊙P 的一段弧，⊙P 的半径仍为 2。因为折叠后的弧经过点 O，所以 PO＝2。又弦 AB 是 OP 的垂直平分线，所以圆心 O 到弦 AB 的距离等于 PO＝1。由勾股定理，AB＝2×＝。 16．如图，⊙O 的半径为 3，弦 AB＝，点 C 是 ⊙O 上一点（不与 A、B 重合），则 ∠ACB 的度数是　　　　　。 【答案】60° 或 120° 作 OD⊥AB 于点 D，则 AD＝AB＝。在 Rt△OAD 中，OD＝＝＝，于是 OD＝OA，得 ∠OAD＝30°，∠AOD＝60°，所以圆心角 ∠AOB＝120°。点 C 可能落在优弧 AB 上，也可能落在劣弧 AB 上：当点 C 在优弧 AB 上时，∠ACB＝×120°＝60°；当点 C 在劣弧 AB 上时，∠ACB＝×(360°－120°)＝120°。所以 ∠ACB 的度数是 60° 或 120°。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连结 AC、BD。 (1) 求证：∠ACB＝∠ADB＝90°； (2) 若 AB＝10，BC＝6，求 AC 的长； (3) 若 AC 平分 ∠BAD，求 CD 的长。 【答案】(1) 证明见解析；(2) AC＝8；(3) CD＝6 (1) 因为 AB 是 ⊙O 的直径，点 C、D 都在 ⊙O 上，所以 ∠ACB 与 ∠ADB 都是直径 AB 所对的圆周角，都等于 90°，即 ∠ACB＝∠ADB＝90°。 (2) 由 (1) 知 ∠ACB＝90°。在 Rt△ACB 中，AC＝＝＝8。 (3) 因为 AC 平分 ∠BAD，所以 ∠BAC＝∠DAC。于是弧 BC 与弧 CD 的度数相等，它们所对的弦也相等，即 CD＝BC＝6。 18．（7 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，BA＝BC，∠ABC＝100°。 (1) 求 ∠D 的度数； (2) 求 ∠ADB 的度数。 【答案】(1) ∠D＝80°；(2) ∠ADB＝40° (1) 因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，所以 ∠D 与 ∠ABC 是对角，∠D＝180°－∠ABC＝180°－100°＝80°。 (2) 在 △ABC 中，BA＝BC，所以 ∠BAC＝∠BCA＝×(180°－100°)＝40°。又 ∠ADB 与 ∠ACB 都是弧 AB 所对的圆周角，所以 ∠ADB＝∠ACB＝40°。 19．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，点 E 在 BC 的延长线上。 (1) 求证：∠DCE＝∠A； (2) 若 ∠DCE＝72°，∠CBD＝28°，求 ∠BDC 的度数。 【答案】(1) 证明见解析；(2) ∠BDC＝44° (1) 因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，所以 ∠A＋∠BCD＝180°。又 ∠DCE 与 ∠BCD 互为邻补角，所以 ∠DCE＋∠BCD＝180°，比较两式得 ∠DCE＝∠A。 (2) 由 (1) 得 ∠A＝∠DCE＝72°。因为 ∠CAD 与 ∠CBD 都是弧 CD 所对的圆周角，所以 ∠CAD＝∠CBD＝28°，于是 ∠BAC＝∠A－∠CAD＝72°－28°＝44°。又 ∠BDC 与 ∠BAC 都是弧 BC 所对的圆周角，所以 ∠BDC＝∠BAC＝44°。 20．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠BCD＝90°，AB＝AD。 (1) 求证：BD 是 ⊙O 的直径； (2) 若 AB＝6，求 ⊙O 的半径。 【答案】(1) 证明见解析；(2) 半径为 (1) ∠BCD＝90° 是弦 BD 所对的圆周角，而 90° 的圆周角所对的弦是直径，所以 BD 是 ⊙O 的直径。 (2) 因为 BD 是 ⊙O 的直径，点 A 在 ⊙O 上，所以 ∠BAD＝90°。在 Rt△ABD 中，AB＝AD＝6，由勾股定理得 BD＝＝。所以 ⊙O 的半径为 BD＝。 21．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB＝AD，AC 与 BD 相交于点 E。 (1) 求证：△ABC≌△ADC； (2) 求证：AC 垂直平分 BD。 【答案】(1)(2) 证明见解析 (1) 由 AB＝AD 得弧 AB 与弧 AD 的度数相等，所以 ∠ACB＝∠ACD。又 ∠ABC 与 ∠ADC 都是弧 AC 所对的圆周角，所以 ∠ABC＝∠ADC。在 △ABC 和 △ADC 中，∠ABC＝∠ADC，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，所以 △ABC≌△ADC。 (2) 由 (1) 得 BC＝DC。又 AB＝AD，所以点 A 与点 C 到 B、D 两点的距离分别相等，它们都在线段 BD 的垂直平分线上，因此直线 AC 就是线段 BD 的垂直平分线，即 AC 垂直平分 BD。 22．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC 是 ⊙O 的直径，AC＝4。 (1) 求证：∠ABC＝∠ADC＝90°； (2) 若 ∠BAC＝30°，求 BC 的长； (3) 在 (2) 的条件下，若 AB＝AD，求 △BCD 的面积。 【答案】(1) 证明见解析；(2) BC＝2；(3) (1) 因为 AC 是 ⊙O 的直径，点 B、D 都在 ⊙O 上，所以 ∠ABC 与 ∠ADC 都是直径 AC 所对的圆周角，都等于 90°。 (2) 在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，所以 ∠ACB＝60°。由 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，得 BC＝AC＝2。 (3) 由 (2) 得 AB＝＝＝。由 AB＝AD 得 AD＝。在 Rt△ADC 中，CD＝＝＝2，且 ∠ACD＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°，所以 ∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝60°＋60°＝120°。过点 B 作 BH⊥DC，交 DC 的延长线于点 H。在 Rt△BCH 中，∠BCH＝180°－∠BCD＝60°，∠CBH＝30°，所以 CH＝BC＝1，BH＝＝。所以 △BCD 的面积＝×CD×BH＝×2×＝。 学科网（北京）股份有限公司 $