2.2反比例函数的图象与性质课件2026-2027学年北师大版数学九年级下册

2.2 反比例函数的图象与性质 第二章 反比例函数 学习目标 1.通过自主探究，进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象. 2.经历绘制反比例函数图象的过程，体会函数三种表示方式之间的联系和转化，发展数形结合的意识与能力. 3.通过观察反比例函数的图象，学会分析、归纳、概括反比例函数图像的有关性质. 1．什么是反比例函数？ 一般地，形如 y = ( k是常数, k ≠0 )的函数叫做反比例函数． k x 2．还记得正比例函数的图象与性质吗？ 知识再现 3.如何画函数图象？ 问题：如何画反比例函数 的图象？ 列表 描点 连线 新知讲解一 步骤： 1.列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算,又便于对称性描点; 2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势; 3.连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性； …… 注意要点 解：列表如下 x -8 -4 -3 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 3 4 8 y -0.5 -1 -4/3 -2 -4 -8 8 4 2 4/3 1 0.5 反比例函数 描点、连线： 你认为画反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴交流 k x 提供一些问题： 1.如果在列表时选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？ 2.连线时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？ 议 一 议 3.曲线的发展趋势如何？ 想一想：以下画的反比例函数图象对吗? 列表： 请大家用同样的方法作反比例函数 的图象. x -8 -4 -3 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 3 4 8 y 0.5 1 4/3 2 4 8 -8 -4 -2 -4/3 -1 -0.5 做一做 描点、 连线： 请大家用同样的方法作反比例函数 的图象. 议一议 （1）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点? （2）函数 的图象在哪两个象限,由什么确定？ （3）函数 图象的对称性？ 相同点：1. 两支曲线构成； 2. 与坐标轴不相交； 3.图象自身关于原点成中心对称；对称中心是坐标原点。 4.图象自身是轴对称图形。 不同点： 的图象在第一、三象限；对称轴是直线y=x 的图象在第二、四象限。对称轴是直线y=－x 归纳总结 形状: 反比例函数 的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数 的图象为双曲线. 位置：由k决定： 当k>0时,两支曲线分别位于_______________内; 当k<0时,两支曲线分别位于_______________内. 第一、三象限 第二、四象限 随堂练习 1、下图给出了反比例函数y=与y=- 的图象, 你知道哪个可能是y= - 的图象呢? ．2.已知点M（﹣2，a）在反比例函数 的图象上，其中a，k为常数，且k＜0， 则点M一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 3.反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 . 　 　． 4．对于反比例函数 ，下列说法错误的是（　　） A．它的图象与坐标轴永远不相交 B．它的图象绕原点旋转180°能和本身重合 C．它的图象关于直线y＝±x对称 D．它的图象与直线y＝﹣x有两个交点 5. 如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝ 与y＝﹣ 的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 D D 新知讲解二 问题1：观察下列的函数图象，填一填. (1)上面三个函数相应的k值分别是________，k___0. (2)函数图象分别位于 . (3)当 时，图象在第一象限;当 时，图象在第三象限. (4) ，曲线从左往右 ， 所以在每个象限内随着x值的增大，y的值 . 2,4,6 > 第一、三象限内 x＞0 x＜0 在每一象限内 逐渐下降 减小 x1<x2<0时， y1>y2 0<x1<x2时， y1>y2 x1<0<x2时， y1<y2 问题2：观察下列的函数图象，填一填. (1)上面三个函数相应的k值分别是________，k___0. (2)函数图象分别位于 . (3)当 时，图象在第二象限;当 时，图象在第四象限. 在每一象限内 (4) ，曲线从左往右 ， 所以在每个象限内随着x值的增大，y的值 . -2,-4,-6 ＜ 第二、四象限内 x＜0 x＞0 逐渐上升 增大 x1<x2<0时， y1 < y2 0<x1<x2时， y1 < y2 x1<0<x2时， y1 > y2 反比例函数的性质： 反比例函数的图象， 当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大； 问题3：双曲线与坐标原点的距离有什么样的关系? S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（2,2） Q（4,1） 4 4 S1=S2 S1=S2=k A B A（-4,-1）,AB┴x轴， △AOB的面积= 。 △AOB的面积= 。 2 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-1,4） Q（-2,2） 4 4 S1=S2 S1=S2=-k 反比例函数解析式中k的几何意义： 对于反比例函数 ， 点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形 AOBQ= 推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是 S△QAO=S△QBO= |k| A B Q 1. 如图,过反比例函数 图象上的一点P, 作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6, 则k= . 练习 ﹣12 22 2. 5 1 变式3. 8 。 课堂总结 一、 反比例函数的性质： 二、 反比例函数解析式中k的几何意义： 练习 1.已知：点（-6，y1) (-4,y2)在 图象上，比较y1 y2 2.已知：点（4， y3) (6 ,y4) 在 图象上，比较y3 y4 3.已知：点（-4， y5) (6 ,y6) 在 图象上，比较y5 y6 4.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 ； 在其函数所在象限内，y的值随x的值增大而增大的有 。 （1）y= （2）y= （3）y= （4）y= < < > （1）（2）（3） （4） 5.已知点（2，y1) (1,y2) (-1,y3) (-2,y4)都在反比例函数y=的图象上，比较y1, y2, y3, y4的大小。 y3 < y4 < y1 <y2 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别落在双曲线y＝ （k＞0）第一和第三象限的两支上，连接AB，线段AB恰好经过原点O，以AB为腰作等腰三角形ABC，AB＝AC，点C落在第四象限中，且BC∥x轴．过点C作CD∥AB交双曲线在第一象限的一支于D点，若△ABD的面积为8，则k的值为（　　） A A．2 B．3 C．4 D．-2 Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 $