北京师范大学亚太实验学校2026--2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

北京师范大学亚太实验学校2026-2027学年第一学期 九年级数学阶段性学情调研 (时间：120分钟；满分：100分) 一、 选择题（共16分，每题2分.每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1.下列方程中是一元二次方程的是（) A.x2=y B.x2-1=0 C.x(x+1)=2 D.x3-2x-4=0 2.如果函数y=(m-2)xm-2+2x-7是二次函数，则m的取值范围是（) A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m为全体实数 3.顶点坐标为(-2,3)，开口方向和大小与抛物线y=-2x2相同的解析式为（) A.y=-2(x-2)2+3 B.y=-2(x+2)2-3 C.y=-2(x+2)2+3 D.y=-2(x-2)2-3 4.一元二次方程x?-4x-3=0的两根为x,x2,则x2x+xx22的值为（) A,-12 B.12 C.-7 D.7 5.已知关于x的方程x2-2x+3k=0有实数根，那么k的取值范围是（) AkS兮 B.k<3 C. D月 6.关于抛物线y=-,下列说法中正确的是() 4 A.抛物线开口向上 B,图像位于第二、四象限 C.抛物线有最低点 D.抛物线在直线x=0的左侧部分是上升的 7.随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽 件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件 量的增长率都是x,那么由题意可得方程() 第1页共8页 A.50001+x)2=20000 B.5000+5000(1+x)+50001+x)2=20000 C.5000+5000×3x=20000 D.5000+5000×2x=20000 8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c,(u<0)过A(S0),B(t0) 两点，其中s>-2,S+1=2.有以下四个结论：①b<0; ②8a+c<0:③点M(x,),N(x2y2)在抛物线上，x<x, B 当x+x2<k时，总有<2，则k≤2：④偌点P(m-1,y), 2(m,y2)在抛物线上且在对称轴的同侧，总有以-y2≥1，则 a≤-1.其中正确的结论为() A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9.把抛物线y=2x2向平移个单位长度，就得到抛物线y=2x2+1 0,写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是 （只要写出·个) 11.关于x的一元二次方程x2-x+m-2=0有一个根是0，则m= 12.有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队， 13.点A(x,),B(x2,2)在二次函数y=x2-2x+2的图象上，若0<x<1,2<x2<3 则y与y2的大小关系是y一y2·(填“>”、“<”或“=”") 14.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-8.r+n=0的两个实数根 且其面积为6，则该菱形的边长为 15.已知二次函数y=ax2+bx+c,函数y与自变量x的部分对应值如表， 0 2 3 6 7 6 第2页共8页 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上：②求该二次函数的表达式时，可设 y=a(x+1)2+7:③关于x的一元二次方程x2+bx+c=6的两个根为0或2： ④若y>3,则-1<x<3.以上结论正确的是 16.如图，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D,使两个直角的顶点重合于对角 线BD上一点P,EF、GH分别是折痕（如图2). E B 图1 图2 B三x(0<x<2),给出下列判断：O当x=1时，点P是正方形4BCD的中心；②当x三号 时，EF+GH>AC:③当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变④当0<x<2时，六边 形AEFCHG面积的最大值是号，其中正确的是_（写出所有正确判断的序号）. 三、解答题（共68分，其中17、18、19、20、23、25、26题每题5分，21、24、 28题每题6分，27题7分，22题8分) 17.解方程：x2-2x-2=0: 18.已知x=1是关于x的方程x2+2ax+a2=3的-个根，求代数式a(a-1)+a2+5a的 值. 19.已知关于x的一元二次方程x2一(k十4)x十3k+3=0. (1)求证：方程总有两个实数根， (2)若方程的两实数根为，名满足六为=片+x2一3，求k的值。 第3页共8页 20.已知二次函数y=x2+2x-3. (1)将y=x2+2x-3化成y=a(x-h)+k(a≠0)的形式，并写出 纤 4 其图象的顶点坐标： 2 (2)将y=x2+2x-3化成y=a(x-x)(x-名2)的形式，并写出此 -5-4-3-2-1Q 2 函数图象与x轴交点的坐标： 2 : -3 .d (3)在平面直角坐标系xOy中，画出当-4≤x<1时此函数的图象 …5 21.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE⊥BD D 交BC的延长线于点E. (1)求证：四边形ACED是平行四边形： (2)若AC=CE,DE=4,求BD的长. B 22.综合与实践 【问题背景】随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作 为配套基础设施，其运营效益成为关注重点，某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系 进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题. 【研究条件】 条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间成正比例关系 如表： 1 2 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本w(单位：元)与充电汽车数量x之间满足：w=x2+20x+500. 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值. 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该允电站收入与汽车数岇的火系调整为y=mx, 第4页共8页 成本关系保持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值， 请求出符合条件的m值，并说明理由. 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还惴考虑充电桃利用率、电价波动、用 户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策. 23.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k+0)的图象经过点A(2.1)和B(0,一1). (1)求该函数的表达式： (2)当心3时，对于x的每一个值，函数y=ax+1（a≠0)的值小于函数y=x+b的值且大于 0,直接写出a的取值范围. 24.数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程.下面，以x2+12x=64的求解为例， 说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于x2+12x=64,因此x(12+x)=64.如图（1)所示分别以r和x+12为两边构造一 个长方形，面积为64.如图(2)所示再把该长方形分割成一个面积是x2的小正方形和两个 面积是6x的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图(3)所示的图形，则图(3)的阴影部 分是边长为6的小正方形，面积为36. x+12 6x 64 6x 6x 6x x(x+12)=64 x(x+6+6)=64 (1) (2) (3) 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面 积为64+36=100，且边长是x+6的正方形. 显然该正方形的边长为10，故x+6=10,得x=4. 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根 请根据上述材料解决以下问题： 用几何方法求方程x2+4x=32的正数根.具体过程如下： (1)仿照图(1)(2)(3)在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 第5页共8页 (2)根据（1)中所画图形求出方程x2+4x=32的正数根.（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和一个面积为 的小正方形切拼成了 一个面积为，且边长是 的正方形 显然该正方形的边长为，故 ,得x= 25.“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图.甲、乙、 丙三人在表演“踢枪时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪 的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）. 主地面 (图1) (图2) 如图2，甲站在地面的点O处，从距离地面0.6高的点A踢出花枪，点A与点O的水平距离 是1m,花枪飞行到与0点水平距离6m的（处达到最高，高度为2.6m (1)以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的 高度为ym,到点O的水平距离为m,求y关于x的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点O水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为2.1m,最小 为0.6m,求d的取值范围l. 26.有这样一个问题：探究函数y=1+1的图象与性质. x-2 小亮根据学习函数的经验，对函数y= 一+1的图象与性质进行了探究. x- 下面是小亮的探究过程，请补充完整： (1)函数y=x-2 +1中自变量x的取值范围是 (2)下表是y与x的几组对应值，求m的值： 第6页共8页 3 7 9 5 -2 0 3 4 6 2 4 4 2 3 2 5 3 4 5 . 0 3 m 3 2 2 3 (3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为 坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： (4)根据画出的函数y=L+1的图象，下列描述正确的 6543 x-2 ￥11 有 -7-6-5-4-3-2-1©123456.1 ①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2,1)： ②该函数的图象与过点(2,0)且平行于y轴的直线越来越靠 近而永不相交，该函数的图象还与直线y=1越来越靠近而水不 相交； ③当x>2时，函数值y随自变量x的增大而减小； ④该函数的图象可以由函数y=二的图像向右平移2单位，再向上平移1个单位而得到. 27.在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,D是AB的中点，E为边A(?上-一动点（不与点A, C重合)，连接DE,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF,过点F作FH⊥DE 于点H,交射线BC于点G. (1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的 数量关系，并证明： (2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数 量关系。 B D D 团 G ■ A E E F 图1 图2 第7页共8页 28.在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C,若△ABC是以.1B为·条直角边，且满 足AC>AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点” 已知点A的坐标为(0,1). (1)如图1，若点B为(2,1)，在点C(0,-2),C2（2,2),C3（1,0),C4(0,3) 中，线段AB的“从属点”是一： (2)如图2，若点B为（1,0)，点P在直线y=-2x-3上，且点P为线段AB的“从属 点”，求点P的坐标； (3)点B为x轴上的动点，直线y=4x+b(b≠0)与x轴，y轴分别交于M,N两点，若 存在某个点B,使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围. ·3H 2 2上 2 A B 1 1 A 上上1上1L -2-1123 -3-2112x -6-5.4-3-2-1C123456x -1 -2 3 -3 .4小=-2x-3 .4 图1 图2 备用图 第8页共8页