精品解析：北京市昌平区部分中学2025-2026学年上学期九年级十二月月考数学试卷

数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列科技大会主标识中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 北京市在一段时间内新生儿中女孩的出生率为，通州区在该期间内有4400名女孩出生，则通州区在该期间内新生儿数量约为（ ） A. 5500 B. 6400 C. 7400 D. 8000 5. 水是生命之源，它由两个氢原子和一个氧原子构成．已知平均每毫升水中有个分子，则每毫升水中由个原子构成，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 欲证明右图四边形为菱形，下列条件中错误的是（ ） A. 且， B. ， C. D. 且， 7. 在平面直角坐标系中，点满足条件：①，②同时为整数，符合要求的点有（ ） A. 0个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 8. 在等边中， 分别是边上的点，满足，连接，下列说法正确的有（ ） ①是等边三角形 ②若，则的最小值为2 ③是中点，连接，若，则 ④作交于，则四点共圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围为_______． 10. 每年10月至11月是体检季，某学校对全体学生进行体检．其中某班40人的视力情况如下，则全年级600人中视力在的人数为_______． 4.3以下 4.9以上 4 8 13 9 6 11. 一元二次方程的两根为其中，则的值为_______． 12. 已知中，，，，则长为_____． 13. 写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题________． 14. 如图是小云画的一个电路图，已知，移动滑动变阻器至一位置，此时干路电流．若总电压，则的值为_______． 15. 如图，四边形中，，且，满足关系，若，则的长为_______． 16. 某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求的值． 20. 线段的端点在直线上，点在直线上方，请根据题目要求，完成问题． （1）如图1，在直线上取点使得的尺规作图，依据图1，完成证明步骤． 在直线下方取点，以为圆心，为半径画弧交直线于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于上方于，作直线交直线于点． ∵， （填已知条件） ∴即．（ ）（填所学判定定理） （2）如图2，用无刻度尺规在直线上找点使得，并简述是如何找到的（无需证明） 21. 在平面直角坐标系中，组成矩形，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）直线交矩形于不同的两点，直接写出的取值范围． 22. 榫卯结构是中国古代建筑、家具及其他木制器械的连接技术，实现结构的精密稳定结合．如图是一把木椅的侧视图，其中，分别是的中点．木材选择上，和用圆木，用横木，支架用其他木材，其他木材总计，点用装饰球连接，每个装饰球．已知，如图所示的截面面积为，截面面积为，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的总质量． 23. 《男生女生向前冲》是安徽卫视的一档大型水上冲关节目，冲关选手分男女赛道竞赛，冲关成功的，将获得大奖．每年年末该节目举办年度竞速赛段，以2025年为例，分为厂牌赛1、2，半决赛，总决赛4个赛程．以下是选取的4名冲关选手的比赛成绩（单位：）与赛程的折线统计图： 其中，为女生，为男生．衡量一位冲关选手的能力主要通过计算其4次比赛平均值、极差、方差等．因男女体能有别，为公平起见，定义“离散率”：即该场第一名的成绩与一位选手的同场成绩之差与该场第一名的成绩的比值（单位：），这样可以更好地确认其实力．引入分别为女生、男生当场第一名的成绩． 选手 厂牌1 厂牌2 半决赛 决赛 选手 平均值 极差 方差 平均离散率 （1）的值为 （保留两位小数）；方差越小，实力 （是/不）一定越强； （2）结合平均数、极差，判断女选手中 最强（填“”或“”）； （3）规定极差越大，平均离散率越小，结合方差数据，从而判定选手实力越强，请你对的实力进行排序． 24. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线． 于，点在上，也在的垂直平分线上，延长，与的平行线交于点． （1）求证： ． （2）若，求的长． 25. 在数学中，几何是优美的，代数是可爱的，常常人们会把几何和代数彻底分开，当作两种不同的科目去研究，数学小组将要反驳这种观点，他们尝试将几何和代数相结合，研究数学问题，培养数学思想，回归数学本质．如图是数学小组探究的问题：是等边三角形，D是射线上一点，过点D作，连接，，连接，作于F，连接，探究，与之间的关系．同学借助几何画板得出了如下表的数据： 0.00 0.42 1.10 2.00 2.94 3.47 2.69 1.31 0.00 0.33 2.00 1.74 2.32 3.47 3.92 4.00 7.45 9.96 11.80 0.00 2.44 4.50 6.05 4.00 4.11 4.59 5.12 （1）在下方给出的平面直角坐标系中，将，视为的函数，分别画出图象； （2）依据函数图象，回答下列问题： ①当时，的长为 ； ②时，长的取值范围为 ；在内，时，判断是否为取值范围内的最大值 ． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，，抛物线交轴于点，是轴上的动点． （1）求该抛物线解析式和直线的解析式； （2）点从点以每秒一个单位长度的速度出发，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点，经过秒后，，，，组成平行四边形，求的所有取值及相应的点的运动方向． 27. 在中，，，是延长线上一点，连接，过点作于E，取中点，将线段绕点顺时针旋转度得到线段，连接． （1）如图1，点与点重合，，求证：； （2）如图2，若，用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内的点和的弦，给出如下定义：将线段绕点顺时针旋转度得到线段，则称为关于点的“旋转弦” （1）已知 ①已知，，关于点的“旋转弦”是 ，此时的值为 ； ②若线段为关于点的“旋转弦”， 为线段上的任意一点，则点纵坐标的最大值为 ； （2）已知，的半径为1，线段是关于点的“旋转弦”，满足，且线段与轴有交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列科技大会主标识中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知，，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式，掌握好不等式的性质是解题关键． 先判断a、b、c的符号，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， 对于A，，，则，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，由和得，，变形得，，故C错误； 对于D，，则，结合，因此，故D正确． 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握好判别式的计算公式是解题关键． 一元二次方程有两个实数根需满足判别式非负且二次项系数不为零． 【详解】解：方程的判别式， ∵有两个实数根， ∴且， 即， 化简得，， ∴， 当时， 两边同除以得，，即， ∵， ∴， 当时， 两边同除以得，，即， ∵， ∴ 综上所述，或． 故选：A． 4. 北京市在一段时间内新生儿中女孩的出生率为，通州区在该期间内有4400名女孩出生，则通州区在该期间内新生儿数量约为（ ） A. 5500 B. 6400 C. 7400 D. 8000 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设总新生儿数量为x，根据题意列出方程，即可解答． 【详解】解：设总新生儿数量为x， 则可得， 解得， 所以通州区在该期间内新生儿数量约为8000人． 故选：D． 5. 水是生命之源，它由两个氢原子和一个氧原子构成．已知平均每毫升水中有个分子，则每毫升水中由个原子构成，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用规范是解题关键． 用科学记数法表示较大的数，表示形式为，其中，为整数；1个水分子中含有3个原子，故分子数乘以3即为的值． 【详解】解：∵一个分子由两个氢原子和一个氧原子构成， ∴． 故选：C． 6. 欲证明右图四边形为菱形，下列条件中错误的是（ ） A. 且， B. ， C. D. 且， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，解决本题的关键是根据菱形的判定定理进行判断．菱形的判定定理有：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【详解】解：A选项：且， 四边形是平行四边形， 又， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B选项：，， ，， 不能证明， 不能证明四边形是菱形， 故B选项符合题意； C选项：， 根据四条边相等的四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D选项：且， 四边形是平行四边形， 又， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故D选项不符合题意． 7. 在平面直角坐标系中，点满足条件：①，②同时为整数，符合要求的点有（ ） A. 0个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标，根据题意得到的值是解题的关键． 根据且为整数，列举出6的所有整数因子对即可． 【详解】解：∵，且为整数， ∴ x可取， 相应，分别为, ∴ 符合要求的点共有8个， 故选：D． 8. 在等边中， 分别是边上的点，满足，连接，下列说法正确的有（ ） ①是等边三角形 ②若，则的最小值为2 ③是中点，连接，若，则 ④作交于，则四点共圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①由等边三角形的性质可得，，进而由可以得到，由即可证明，得到，同理可得，即可证明是等边三角形； ②作交于M，设，根据三角形内角和得到，则，根据勾股定理得到，则，根据即可求出的最小值； ③作交于N，设，则，根据平行线的性质得到，可证是等边三角形，则，即，根据三线合一得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即，则，根据勾股定理得到，即可求出； ④根据得到，得到，根据对角互补即可证明四点共圆． 【详解】解：①是等边三角形， ，， ， ，即， ， ， 同理可得，， ∴，， 是等边三角形，正确； ②如图，作交于M， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为2，正确； ③如图，作交于N， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，错误； ④如图， ∵， ∴， ∴， 即四点共圆，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，度角的性质，配方法的应用，四点共圆，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，且二次根式下被开方数需要大于等于0，可得答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故答案为：且． 10. 每年10月至11月是体检季，某学校对全体学生进行体检．其中某班40人的视力情况如下，则全年级600人中视力在的人数为_______． 4.3以下 4.9以上 4 8 13 9 6 【答案】195 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，正确读懂表格是解题的关键． 根据班级视力分布，计算视力在的学生比例，再应用于全年级总人数． 【详解】解：班级总人数为40人，视力在4.5~4.7的人数为13人，所占比例为， 人， 所以全年级600人中视力在的人数为人， 故答案为：． 11. 一元二次方程的两根为其中，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了根与系数之间的关系，由根与系数的关系得和，代入判别式计算即可． 【详解】解：由题意知且， ， ， 故答案为：0． 12. 已知中，，，，则长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形与勾股定理，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，垂足为D，根据点C在点D的左侧还是右侧进行分类讨论，用解直角三角形和勾股定理计算出． 【详解】解：如图，作，垂足为D， 当点C在点D的左侧时， ∵， ∴， 在直角中，， ， 在直角中，， ∴； 当点C在点D的右侧时， 同理，， ∴． 故答案为：或． 13. 写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了逆命题与真命题的知识，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题． 根据学过的真命题解答即可． 【详解】解：两直线平行，同位角相等是真命题，它的逆命题为：同位角相等，两直线平行也是真命题． 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 14. 如图是小云画的一个电路图，已知，移动滑动变阻器至一位置，此时干路电流．若总电压，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，由电路图可知，该电路为并联电路，经过的支路电流与、经过的支路电流形成干路电流，根据设的电阻为，则、的电阻之和为，列出分式方程求解x的值即为所得结果． 【详解】解：由电路图可知，该电路为并联电路，经过的支路电流与、经过的支路电流形成干路电流，设的电阻为，则、的电阻之和为， 由题意知，， 解得， 即的值为． 故答案为：． 15. 如图，四边形中，，且，满足关系，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是正确运用勾股定理建立方程求解． 由题意可得为等腰直角三角形，设，则，然后在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， 故答案为：1． 16. 某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 【答案】 ①. 纯净水 ②. 矿泉水 【解析】 【分析】本题考查方案选择问题，理解题意并正确计算是关键． （1）计算12瓶每种饮用水的总价，并进行比较； （2）由于酸性水单价较高，故先考虑只购买一瓶，然后考虑碱性水的数量．确定碱性水和酸性水购买数量后，根据剩余的钱，对矿泉水的购买数量进行分类讨论，比较不同方案的购买总数，得出结论． 【详解】解：（1）若买矿泉水，共需元； 若买纯净水，共需元； 若买碱性水，则需要买2箱，共花费元，因需购买12瓶，故不符合题意； 若买酸性水，刚好一箱，共需32元． ∵， ∴买纯净水； （2）设矿泉水购买a瓶，纯净水购买b瓶，碱性水购买c箱，酸性水购买d瓶， 由题意可知，每种饮用水都要买，故，，，． 酸性水单价较高，故只购买一瓶． 当时，剩余元， ①当时，则剩余元，全部买纯净水，可买瓶． 所有饮用水的数量为瓶； ②当时，矿泉水单价变为元， ∴， ∵和都是正整数， ∴必须为10的倍数， 又∵， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ③当时，矿泉水单价变为元， ∴， 同理②可知，必须为5的倍数， 又∵，即， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ④当时，，不满足题意． 当时，剩余元， ⑤当时，则剩余元，无法全部购买纯净水，故买4瓶纯净水和多买1瓶酸性水． 所有饮用水数量为瓶； ⑥当时，由②可知，， ∵，不满足题意， ∴当时，矿泉水无法购买超过12瓶． 当时，最少购买量：，不满足题意； 综上所述，方案③用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多，购买量最多的水的种类为矿泉水． 故答案为：纯净水；矿泉水． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、零指数幂、负指数幂、二次根式和特殊三角函数值，掌握好相关的知识是关键． 先将式子化简，然后按照实数的混合运算法则进行计算． 【详解】解：， ， ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 所以原不等式组的解集为． 19. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值等．根据题意因式分解得，又代入代数式即可得到本题答案． 【详解】解：， ∵，即， ∴． 20. 线段的端点在直线上，点在直线上方，请根据题目要求，完成问题． （1）如图1，在直线上取点使得的尺规作图，依据图1，完成证明步骤． 在直线下方取点，以为圆心，为半径画弧交直线于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于上方于，作直线交直线于点． ∵， （填已知条件） ∴即．（ ）（填所学判定定理） （2）如图2，用无刻度尺规在直线上找点使得，并简述是如何找到的（无需证明） 【答案】（1）；线段垂直平分线的判定定理． （2） 如图：点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据作图过程和线段垂直平分线的判定与性质求解即可； （2）如图：先用尺规作等边，则，再用尺规作出，即，所以，即点Q即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可知：等边， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即点Q即为所求． 21. 在平面直角坐标系中，组成矩形，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）直线交矩形于不同的两点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据直线与直线交于点，得到，分别求出直线经过两点时的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知：直线的解析式为； ∵直线与直线交于点， ∴， 当直线经过点时，则，解得， ∴当且时，直线交矩形于不同的两点； 当直线经过点时，则，解得， ∴当时，直线交矩形于不同的两点； 综上：且或． 22. 榫卯结构是中国古代建筑、家具及其他木制器械的连接技术，实现结构的精密稳定结合．如图是一把木椅的侧视图，其中，分别是的中点．木材选择上，和用圆木，用横木，支架用其他木材，其他木材总计，点用装饰球连接，每个装饰球．已知，如图所示的截面面积为，截面面积为，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的总质量． 【答案】一把木椅空架需要木材的总质量为 【解析】 【分析】本题考查了侧视图，柱体的体积，掌握相关知识点是解题的关键． 先将平方厘米转化为平方米，克转化为千克，再分别计算出圆木、圆木、横木的体积和质量，即可求解． 【详解】解：，，， 是的中点，， ， 根据题意，可知圆木的体积为，质量为， 圆木的体积是圆木的体积的一半，为，质量为， 横木的体积为，质量为， 可知一把木椅空架需要2个圆木，2个圆木，4个横木，8个装饰球和支架，总质量为． 答：一把木椅空架需要木材的总质量为． 23. 《男生女生向前冲》是安徽卫视的一档大型水上冲关节目，冲关选手分男女赛道竞赛，冲关成功的，将获得大奖．每年年末该节目举办年度竞速赛段，以2025年为例，分为厂牌赛1、2，半决赛，总决赛4个赛程．以下是选取的4名冲关选手的比赛成绩（单位：）与赛程的折线统计图： 其中，为女生，为男生．衡量一位冲关选手的能力主要通过计算其4次比赛平均值、极差、方差等．因男女体能有别，为公平起见，定义“离散率”：即该场第一名的成绩与一位选手的同场成绩之差与该场第一名的成绩的比值（单位：），这样可以更好地确认其实力．引入分别为女生、男生当场第一名的成绩． 选手 厂牌1 厂牌2 半决赛 决赛 选手 平均值 极差 方差 平均离散率 （1）的值为 （保留两位小数）；方差越小，实力 （是/不）一定越强； （2）结合平均数、极差，判断女选手中 最强（填“”或“”）； （3）规定极差越大，平均离散率越小，结合方差数据，从而判定选手实力越强，请你对的实力进行排序． 【答案】（1），不 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，极差，方差的意义； （1）根据选手的四场比赛的成绩求得平均数，再根据方差的意义，即可求解； （2）求得的极差，比较的平均成绩与极差，即可求解； （3）首先比较平均离散率，再比较极差，结合方差数据，即可求解． 【小问1详解】 解：， 方差小表示数据稳定，但实力强弱还取决于平均值，故方差小不一定实力强 故答案为：，不． 【小问2详解】 解：选手的平均成绩为：，极差为 选手的平均成绩 ，极差 的平均成绩更高，极差更小，故 更强， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据表格可知： ：极差 ，平均离散率 ，方差 ：极差 ，平均离散率 ，方差 ：极差 ，平均离散率 ，方差 ：极差 ，平均离散率 ，方差 平均离散率排序 根据平均离散率大小排序为 极差大小排序为 方差大小排序为 ∴的实力进行排序从强到弱为 24. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线． 于，点在上，也在的垂直平分线上，延长，与的平行线交于点． （1）求证： ． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， 又∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，进而根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可得证； （2）根据切线的性质可得，进而可得，结合已知得出，勾股定理求得，进而求得，解，求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 在数学中，几何是优美的，代数是可爱的，常常人们会把几何和代数彻底分开，当作两种不同的科目去研究，数学小组将要反驳这种观点，他们尝试将几何和代数相结合，研究数学问题，培养数学思想，回归数学本质．如图是数学小组探究的问题：是等边三角形，D是射线上一点，过点D作，连接，，连接，作于F，连接，探究，与之间的关系．同学借助几何画板得出了如下表的数据： 0.00 0.42 1.10 2.00 2.94 3.47 2.69 1.31 0.00 0.33 2.00 1.74 2.32 3.47 3.92 4.00 7.45 9.96 11.80 0.00 2.44 4.50 6.05 4.00 4.11 4.59 5.12 （1）在下方给出的平面直角坐标系中，将，视为的函数，分别画出图象； （2）依据函数图象，回答下列问题： ①当时，的长为 ； ②时，长的取值范围为 ；在内，时，判断是否为取值范围内的最大值 ． 【答案】（1） 如图所示为所求： （2）①或，②或，否 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的应用． （1）根据题中表格数据及题意，以，的长为x，的长为y，将点坐标在平面直角坐标系中标出，再用平滑的曲线连接即可； （2）结合函数图象与题中表格数据即可得出． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：①结合函数图象可知， 当时，即为和的函数图象有交点时， 此时函数有两个交点， ∴的长为或， 故答案为：或； ②根据函数图象及题中表格数据可知， 在和中，， 在中，当时，在最高点0.33，即其为取值范围内最大值， 而时，的值约为0.31，不是取值范围内最大值， ∴此时不是取值范围内最大的值， 故答案为：或，否． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，，抛物线交轴于点，是轴上的动点． （1）求该抛物线解析式和直线的解析式； （2）点从点以每秒一个单位长度的速度出发，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点，经过秒后，，，，组成平行四边形，求的所有取值及相应的点的运动方向． 【答案】（1）抛物线解析式为 ，直线的解析式为 （2）时，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴负方向运动 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与应用，一次函数的性质与应用以及平行四边形的性质，利用平行四边形对角线互相平分来构造方程组是解题关键． （1）将点坐标代入求出抛物线解析，然后求出点坐标，再使用待定系数法求出直线解析式； （2）先表示出点P和点Q的坐标，再分类讨论四个点的顺序，结合平行四边形对角线互相平分来构造方程组，求出答案． 【小问1详解】 解：将，；，，代入抛物线解析式得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为 ， 令，则， ∴点坐标为， 设直线的解析式为 ， 将，；，，代入直线解析式得， ， 解得，， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 ∵点P、Q都在过点T的x轴的垂线上， ∴， ∵点P在直线上，点Q在抛物线上， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为， ①当为平行四边形对角线时， 由平行四边形的性质可知，对角线与互相平分，即中点重合， 由中点公式可得，，此方程组无解，故舍去； ②当为平行四边形对角线时，同理可得， ， 解得，， ∴，运动方向为x轴正方向； ③当为平行四边形对角线时，同理可得， ， 解得，，， 当时，，运动方向为x轴正方向； 当时，，运动方向为x轴负方向； 综上所述，时，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴负方向运动． 27. 在中，，，是延长线上一点，连接，过点作于E，取中点，将线段绕点顺时针旋转度得到线段，连接． （1）如图1，点与点重合，，求证：； （2）如图2，若，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵点为中点， ∴，∵，， ∴，结合， ∴，即， 又∵， 故， ∴，结合，， ∴， ∴． （2），证明如下： 连接、、，如下图所示： ∵与为直角三角形，且点为斜边的中点， ∴， 即点、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，结合， 由于，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，即， ∴， ∴，结合， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆周角定理等知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由点为中点，即，得出关键角度的等量关系，即可证出，得出； （2）连接、、，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由此判断出点、、、在以为直径的圆上，通过角度关系，得出，证，即，，结合题干信息，证出，最终证明得到． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内的点和的弦，给出如下定义：将线段绕点顺时针旋转度得到线段，则称为关于点的“旋转弦” （1）已知 ①已知，，关于点的“旋转弦”是 ，此时的值为 ； ②若线段为关于点的“旋转弦”， 为线段上的任意一点，则点纵坐标的最大值为 ； （2）已知，的半径为1，线段是关于点的“旋转弦”，满足，且线段与轴有交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①求出的长度，发现大于点C到圆上一点的最大距离，故不符合题目要求，求得，等于点C到圆上一点的最小距离，结合轴，故不符合题目要求，求得直线的解析式为，得到，且三点共线，故是由的水平直径绕点C顺时针旋转度得到；②将绕点顺时针旋转，得到，求得点H的坐标为，根据题意可知线段在上，而点为线段上的任意一点，故点P的纵坐标的最大值为． （2）将绕点顺时针旋转得到，顺时针旋转得到，根据题意可知线段在和上，线段与轴有交点，即和与轴有交点，分别用含有t的式子将点和的坐标表示出来，再将和上点的纵坐标范围表示出来，即可求解． 【小问1详解】 解：①， 而点C到上一点的最大距离为， 不可能由的“旋转弦”， ， 而点C到上一点的最小距离为， 轴， 不可能由的“旋转弦”， ， ，直线的解析式为， 函数经过点， ，且三点共线， ， 是由的水平直径绕点C顺时针旋转度得到， 故答案为：，； ②如图，将绕点顺时针旋转，得到，过点H作轴，连接， 根据旋转可知，， ，， ， ， 点H的坐标为， 线段为关于点的“旋转弦”， 线段在上， 又点为线段上的任意一点， 点P的纵坐标的最大值为． 【小问2详解】 如图，将绕点顺时针旋转得到， 点T坐标为， 点坐标为， 上点的纵坐标变化范围为， 线段是关于点的“旋转弦”，线段与轴有交点， 与轴有交点， ，解得； 将绕点顺时针旋转得到，在x轴上取F、K两点使是顶角为的等腰三角形，可知点F坐标为，点K坐标为， ， ， 又， ， ，， ， 作轴， ， ， 上点的纵坐标变化范围为， 线段是关于点的“旋转弦”，且线段与轴有交点， 与轴有交点， ，解得， 综上所述，t的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，掌握旋转或后点的坐标变化规律是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $