北京师范大学亚太实验学校2026--2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

北京师范大学亚太实验学校2026-2027学年第一学期 九年级数学阶段性学情调研 （时间：120分钟；满分：100分） 一、选择题（共16分，每题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为全体实数 3. 顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 7. 随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线，过，两点，其中，． 有以下四个结论： ①；②； ③点，在抛物线上，，当时，总有，则；④若点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，则．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 把抛物线向_______平移_______个单位长度，就得到抛物线 10. 写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是________（只要写出一个） 11. 关于x的一元二次方程，有一个根是0，则__________． 12. 有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队． 13. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 14. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 15. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 16. 如图1，正方形纸片的边长为2，翻折、，使两个直角的顶点重合于对角线上一点P，、分别是折痕（如图2）． 设（），给出下列判断：①当时，点是正方形的中心；②当时，；③当时，六边形周长的值不变④当时，六边形面积的最大值是．其中正确的是______（写出所有正确判断的序号）． 三、解答题（共68分，其中17、18、19、20、23、25、26题每题5分，21、24、28题每题6分，27题7分，22题8分） 17. 解方程：； 18. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 21. 如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 22. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 24. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： 用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： （1）仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 （2）根据（1）中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化将一个面积为32的长方形和四个面积为_______的小正方形切拼成了一个面积为_______，且边长是_______的正方形．显然该正方形的边长为_______，故_______，得_______． 25. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． （1）以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： （2）花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）函数中自变量x的取值范围是___________； （2）下表是y与x的几组对应值． x … -2 -1 0 1 3 4 5 6 … y … 0 -1 -3 5 3 m … 求m的值； （3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）根据画出的函数的图象，下列描述正确的有___________． ①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是； ②该函数的图象与过点且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交； ③当时，函数值y随自变量x的增大而减小； ④该函数的图象可以由函数的图像向右平移2单位，再向上平移1个单位而得到． 27. 在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G． （1）如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”． 已知点A的坐标为． （1）如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________； （2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围． 北京师范大学亚太实验学校2026-2027学年第一学期 九年级数学阶段性学情调研 （时间：120分钟；满分：100分） 一、选择题（共16分，每题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 ①. 上 ②. 1 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】③④##④③ 【16题答案】 【答案】①③ 三、解答题（共68分，其中17、18、19、20、23、25、26题每题5分，21、24、28题每题6分，27题7分，22题8分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】4 【19题答案】 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2） 【20题答案】 【答案】（1），顶点坐标为 （2），与x轴的交点坐标为 （3）所作函数图象如图所示： 【21题答案】 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【22题答案】 【答案】（1） 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 （2） 收支平衡时的值为20或100 （3） 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【23题答案】 【答案】（1）该函数的表达式为 （2） 【24题答案】 【答案】（1）根据题意作图如下： （2）；；；6；； 【25题答案】 【答案】（1） （2） 【26题答案】 【答案】（1）； （2）当时， （3）见解析 （4）①②③④ 【27题答案】 【答案】（1） 解：，，理由如下： 证明：如图，在线段上取点P，使得，连接． ∵D是中点，， ∴． ∴． ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2） 补全图形，如图． 【28题答案】 【答案】（1）， （2）或 （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $