上海市华东师范大学第二附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

华二附中高二月考数学试卷 2026.10 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分) 1.两条异面直线所成的角的取值范围是 2.若空间中两直线a,b确定一个平面,则直线a,b的位置关系为 3.如图为正六棱柱ABCDEF-AB'CD'EF',其6个 F 侧面的12条面对角线所在直线中,与直线A'B异面的共 C 有 条 4.在半径为30米的圆形广场中央上空,设置一个照明 光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120 , 若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为 米 5.已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2,高为2√2,则该圆台的母线长为 6.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中,若E为棱BB,的中点,则平面AEC,截正方 体ABCD-AB,C,D,的截面面积为 7.已知m,n为空间中两条不同的直线,,B为两个不同的平面,若mca,a∩B=n, 则m/∥n是m/∥B的 条件 8.如图,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四 边上的点,且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH, AE AC=2,BD=4,当四边形EFGH是菱形时, EB 的值是 9.在正四棱锥P一ABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为60 ,则异面直线PA与 BC所成角的大小等于 (结果用反三角函数值表示) 10.已知圆柱底面半径为1,高为2,AB为其上底面圆的一条直径,点C是其下底面圆周 上的一个动点,则 ABC面积的取值范围是 11.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处 M 进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P 沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P, B 需计算由点A观察点P的仰角B的大小,AB=6m, AC=10m,∠BCM=写,则am0的最大值是 (仰角O为直线AP与平面ABC所成的角) 12.如图,正方体ABCD-ABC,D,的一个顶点A在 C D 平面 内,其余顶点在a的同侧.若顶点B,D,A到 平面的距离分别为1,2,4,那么其余四个顶点到的 距离构成的集合是 二.选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分】第1616题每题5分) 13.己知空间中两个不同的平面心,B和两条不同的直线m,n,则下列说法正确的是( A.若⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥nB.若⊥B,m⊥a,m⊥n,则n⊥B C.若a∥B,m/∥a,n∥B,则m/∥nD.若a∥B,m∥a,m/∥n,则n∥B 14.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,则() A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.菱形的直观图是菱形 D.三角形的直观图是三角形 15.如图,在正方体ABCD-AB,CD中,点P,2,R,S D C 分别是棱AB,BC,BB,CD的中点,连接AS,BD.对于 A B 空间任意两点M,N,若线段MN上不存在点在线段A,S, B,D上,则称M,N两点可视.则下列选项中与点D可 R D 视的为() A.点P B.点B C.点Q D.点R 16.正方体的剖分是指若干多面体内部两两无交集(即无公共点),且并集(即拼接在一起) 恰好等于原正方体,试判断下列两个命题的真假() ①可将一个正方体剖分成5个四面体(不要求全等); ②可将一个正方体剖分成3个全等的四棱锥, A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D. ①假②假 三.解答题(共78分) 17.己知直四棱柱ABCD-AB,CD,,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=3, CD=4. D C (1)证明:直线AB∥平面DCC,D; (2)若该四棱柱的高为4,求异面直线 A B AB与AD所成角的大小. B 18.如图,己知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,M,N分别为AB,PC的中点, ∠PDA=45 ,AB=2,AD=1. (1)求直线PC与平面ABCD所成角大小; N (2)求证:MN⊥平面PCD. D M B 19.如图,P为圆锥顶点,O为底面中心,点A,B,C均在 底面圆周上,且 ABC为等边三角形: (1)求证:平面POA⊥平面PBC; (2)若圆锥底面半径为2,高为2√2, 求点A到平面PBC的距离. 20.如图1,正 ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边上的 点,且满足CE_CF=k,现将 ABC沿CD翻折,使平面ADC1平面BDC,如图2, CA CB (1)试判断翻折后直线AB与EF的位置关系,无需说明理由; (2)求二面角B-AC-D的大小: (3)若异面直线AB与DE所成角的余弦值为V2 ,求k的值. 图1 图2 21.如图四面体ABCD中,AB=AC=AD=1,∠BAC=∠BDC=花,M是BC中点. (1)证明:AM⊥DM; A (2)求直线AD与平面ABC所成角的最大值; B (3)求二面角B-AD-C的正弦值的最小值. 参考答案 一.填空题 @ 1. 2.平行或相交 3.5 4.103 5.3 2√6 1 6. 7.充要 8. 2 9.arctan2 10.[2,V5] 11. 5W5 12.{3,5,6,7} 3 【第10题】 由题意,当点C在下底底面圆弧上的运动时, ABC的底边AB=2, 所以, ABC面积的取值与高C,O,相关; 当C01AC时,C0,最大为:C0,=V+22=√5, 4BC面积的最大值为:号 2 W5=5: ) 当AB⊥BC,时,C,O,最小为:BC=2, ABC面积的最大 值为: 2 2 2=2: 所以, 4BC面积的取值范围为:[2,V5. 【第11题】 M B 则由仰角的定义得∠PAD=0, 由题意BC=√AC2-AB2=V102-6=8,设CD=x(x>0),则 PD=CDtan∠BCM=V5x, 当点D与B不重合时,在RtAABD中,AD=VAB2+BD2=V62+(8-x}, 当点D与B重合时,上式也成立, 在RtAAPD中,tanB=PD- √5x 3 3 4D 6+(8-x) 10016 +1 10 4 9 x2 x 5 25 当x=25时,am0取最大值5y3 综上,tan0的最大值为5v3 3 故答案为: 5w5 【第12题】 {3,5,6,7〉. 易知线段BD的中点M也是线段AC的中点,设点C到 的距离为x,则有 0+x=1+2 2,得x=3.同理,顶点B、C、D到a的距离分别为5、7、6. 二.选择题 13.A 14.D 15.C 16.A 三.解答题 17. 证明:在直四棱柱ABCD-AB,C,D,中,取DC中点E,连接DE。 y 因为DE=二DC=2=AB,且DE‖AB,所以四边形ABED为平行四边形,(2分) 2 所以BE Il AD且BE=AD,又因为AD Il AD且AD=AD,所以BE II AD且BE=AD,从 而四边形AD,EB为平行四边形,(2分) 所以AB‖D,E,又因为DEc平面DCC,D,AB不在平面DCCD内,所以直线AB/1平 面DCCD。(3分:3个条件各1分) 法二:证明:'AB/1DC,AB不包含于平面DCCD,CD包含于平面DCCD, ABI∥平面DCC,D; 由直四棱柱得AA IIDD,又AA不包含于平面DCC,D,DD,包含于平面DCC,D, AA∥平面DCC,D,; (4分:其中一个线面平行中3个条件各1分,共3分;另一个线面平行同理可得1分。) AB、AA包含于平面ABB,A,AB∩AA=A, .平面AABB,/平面DCCD,;(2分:2个条件各1分) 又直线A,Bc平面AABB,.直线AB/平面DCCD,。(1分) (2)解:在直四棱柱ABCD-AB,CD,中,取DC中点E,连接D,E。 因为DE=二DC=2=AB,且DE‖AB,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE Il AD且 BE=AD,又因为AD,IAD且AD=AD,所以BE‖AD且BE=AD,从而四边形AD,EB 为平行四边形,所以AB‖DE,(若第(1)小题用方法二,则可直接由(1)可得AB‖DE) 所以∠AD,E是异面直线AB与AD,所成的角或其补角。(3分,没有明确指出异面直线所成 的角扣1分) 连接AE。因为AB⊥AD,AB/1CD,所以AD⊥CD。在直角三角形ADE中,∠ADE= 由勾股定理,AE=VAD+DE2=V13。因为D,D⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以 DD⊥AD。在直角三角形ADD,中,∠ADD=7,由勾股定理,AD=AD2+DD=5。 因为DD⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以D,D⊥DE。在直角三角形D,DE中, ∠D,DE=,由勾股定理,D,E=DE2+DD2=25。在三角形AD,E中,由余弦定理, cos∠AD,E=402+DE2-AE2=25+20-138N5 2AD D,E 2 5 2√525 。(3分,没有解题过程和公式各扣1分) 、8 所以异面直线AB与AD,所成角的大小为arccos- 25。(1分) 18. (1)解:连接AC。 因为PA⊥平面ABCD,所以AC是PC在平面ABCD上的投影, 所以∠PCA即为求直线PC与平面ABCD所成角。(2分) 因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD。又因为, 所以三角形PAD为等腰直角三角形,从而PA=AD=1 因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD。在直角三角形ADC中,∠ADC=元,由勾股 定理,AC=√AD2+CD2=V5 因为PA⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以PA⊥AC 在直角三角形PCA中,tan∠PCA= PA 5 ,(3分) CA 5 所以直线PC与平面ABCD所成角大小为arctan 5 。(1分) 5 M B (2)证明:如图,取PD的中点E,连接AE、EN, 则有BN1cD1/AM,且N=D-4B=MM, 四边形AMNE是平行四边形.:MN//AE.(2分) ~PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,PA⊥CD, 因为四边形ABCD为矩形, CD⊥AD, PA∩AD=A, CD⊥平面PAD.(2分) 又:AEc平面PAD,CD⊥AE,~MN//AE,①:MN⊥CD, '∠PDA=45 ,E为PD中点,三角形PAD为等腰三角形, AE⊥PD,MN/IAE,②MN⊥PD,(2分) ③又~PDOCD=D,④PDC平面PCD,CDc平面PCD, :.MN⊥平面PCD.(2分) (若证明AE⊥平面PCD,再根据MN/IAE得到MN⊥平面PCD,扣1分) 19. (1)连接PO,AO交BC于点M,由 ABC为等边三角形,得O是 ABC的中 心,则AO⊥BC,(1分) 而PO⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PO⊥BC,(1分) 又PO∩AO=O,PO,AOc平面ABC,因此BC⊥平面POA,(2分) 又BCC平面PBC,所以平面POA⊥平面PBC.(2分) (2)①连接PM,作AH⊥PM于H,②由(1)知平面POA⊥平面PBC,③平面POA∩ 平面PBC=PM,④AHC平面POA,则AH⊥平面PBC,(4分,每个条件1分) 显然M0=1A0=1,P0=2√2, 则PM=VP02+MO2=3=AM, 而∠AMH=∠PMO,于是Rt AMH兰Rt PMO, 因此AH=P0=22,(2分) 所以点A到平面PBC的距离为2√2.(2分) 20. 【详解】(1)AB/EF;(4分) (2)过D点作DG⊥AC于点G,连接BG,因为平面ADC⊥平面BDC,平面ADCO平 面BDC=DC,BDC平面BDC,BD⊥CD,所以BD⊥平面ADC.(2分,条件不写全 扣1分) 又ACC平面ADC,所以BD⊥AC,又DG∩BD=D,DG,BDC平面BGD.所以AC⊥ 平面BGD,又BGC平面BGD,所以BG⊥AC,所以∠BGD是二面角B-AC-D的平面 角。(2分,没有明确指出二面角的平面角扣1分) 在aADC中,AD=a,DC=V5a,AC=2a,所以DG=DDC=V3a2= -a AC 2a 2 在Rt BDG中,an∠BGD=BD_23 .所以∠BGD=arctan 2V 3.(1分) DG 3 即二面角B-AC-D的大小为arctan 25.(1分) 3 (3)因为AB∥EF,所以∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角.(1分) 因为AB=√2a,所以EF=V2ak.又DC=V3a,CE=k.CA=2ak,(2分) 所以DF=DE=VDC2+CE2-2DC.CE cos∠ACD =V3a2+4a2k2-2W3a-2 ak.cos30 =V3a2+4a2k2-6a2k=aV3+4k2-6k.(2分) 所t以cos∠DBF=-DE+EF2-DF-F-5.即2N2ak=V2aN3+4-6k.(2分) 2DE EF2DE4 潮得-定1分 21 (1)因为AB=AC,BC中点为M, 则AM LBC,且AM=5,BC=2, 因为 BCD是直角三角形,所以DM=BC= 2,(2分) 22 所以有DM2+AM2=AD,所以三角形AMD是直角三角形,即AM⊥DM.(2分) (2)由(1)因为AM⊥DM,AM⊥BC,DMBC=M,DM、BCc面BCD,所以AM⊥ 面BCD,又AMC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD, 在面BCD内过D向BC作垂线,垂足记为H,平面ABC⊥平面BCD,面ABCO面BCD=BC 又因为DH⊥BC,DHC面BCD,所以DH⊥面ABC,(2分) 所以∠HAD是直线AD与面ABC所成角,(1分) 所以在直角三角形AHD中,sin∠HAD= DH=DH, AD 在直角三角形DBC中,由等面积得DH√2=DB DC,且DB2+DC2=2,(1分) 所以根据基本不等式2≥2DB DC,即DB DC≤1,当且仅当DB=DC时取等, 因此DH=D89C≤号,放n∠HDs号,所以∠HD最大值为牙:a分) 22 (3)在面ABD内过点B作AD的垂线,垂足记为G, 在面ACD内过点C作AD的垂线,垂足记为H,在面ACD内过点G作CH的平行线,交于 AC点I,所以∠BGI即为二面角B-AD-C的平面角,(2分) 设∠CAD=a,∠BAD=B,则BG=sinB,AG=cosB,CH=sina,AH=cosa, CD=2sin,BD=2sin 2 在直角三角形BDC中,2=BC2=BD2+CD2=4sin22+4sin2g=2-2cosB+2-2cosx, 2 2 得到cosa+cosB=1。 GI=AGtana= sinacosB,AM=AG=cos且,BI=VAB2+A=, cos2B 1+ coSa cosa cosa cos2 a 在三角形BG1中,由余弦定理,cos∠BG=BG2+1G2-BI2 cosacos B ,(2分) 2BG.IG sina sin B 由cosa+cosB=1及基本不等式, 2 1 cos2∠BGI= cos2acos2B 2 1 ,(2分) (1-cos2 a)(1-cos2B cosa cos B+2 cosa +cos B 2 9 +2 所以sin∠BGI≥ 2 兮,等号成立当且仅当以=B= 3。 所以二面角B-AD-C的正弦值的最小值为22 。(2分) 3