精品解析：湖南长沙市一中马王堆中学2026-2027学年上学期 九年级数学第一次学情自测试卷

2026-2027九年级数学第一次随堂练习 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，有6000年左右的历史，下列汉字可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，被直线所截．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂生产了一批某种型号的机械零件，甲、乙两车间生产的零件质量数据的箱线图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲车间生产的零件质量的最小值比乙车间低 B. 甲车间生产的零件质量的中位数比乙车间高 C. 乙车间生产的零件第三四分位数比甲车间低 D. 乙车间生产的零件的质量数据比较集中 5. 如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 当时，随的增大而增大 10. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，那么_____． 12. 不等式的解是______． 13. 如图，延长正方形的边至，使，则_____． 14. 某商品的利润元与售价元之间的函数解析式是，且售价x的范围是，则最大利润是 ___________． 15. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 16. 如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 三、解答题 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形并写出的坐标； （2）求的面积． 19. 2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 20. 为了解某校男生在体能测试的引体向上项目的情况，随机调查了a名男生引体向上项目的测试成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组测试成绩数据的平均数、众数和中位数； （3）该校共1200名男生，请估计引体向上项目的测试成绩大于16次的学生人数． 21. 如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 22. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 23. 我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点，点是函数的零点． （1）已知函数，则该函数的零点坐标为___________； （2）若二次函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）已知二次函数的两个零点都是整数点，求整数的值． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）若M，N为抛物线上的点，横坐标分别为，t，且，点M，N之间（包含端点）的函数图像称为图像P，设图像P的最高点与最低点的纵坐标分别为，，当时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027九年级数学第一次随堂练习 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，有6000年左右的历史，下列汉字可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此可得答案． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个汉字中只有“苦”可以看成轴对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算正确． 3. 如图，直线，被直线所截．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：如图所示， ， ， 又， ． 4. 某工厂生产了一批某种型号的机械零件，甲、乙两车间生产的零件质量数据的箱线图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲车间生产的零件质量的最小值比乙车间低 B. 甲车间生产的零件质量的中位数比乙车间高 C. 乙车间生产的零件第三四分位数比甲车间低 D. 乙车间生产的零件的质量数据比较集中 【答案】B 【解析】 【分析】箱线图的最上端与最下端分别对应数据的最大值、最小值，箱体的上下两侧对应第三四分位数和第一四分位数，箱体中间粗线对应中位数，箱体高度反映数据集中程度，由此逐项判断即可． 【详解】解：由箱线图可知： 甲车间生产的零件质量的最小值比乙车间高，故A选项说法错误，不合题意； 甲车间生产的零件质量的中位数比乙车间高，故B选项说法正确，符合题意； 乙车间生产的零件第三四分位数比甲车间高，故C选项说法错误，不合题意； 甲车间生产的零件的质量数据比较集中，故D选项说法错误，不合题意． 5. 如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：点是的中点，， 垂直平分， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 7. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 8. 将抛物线先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得出二次函数顶点式，进而利用二次函数的平移规律得出答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为：（0，4）， ∴把抛物线先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位， 得到顶点坐标为：（），即（）， ∴所得到的抛物线是：； 故选：C. 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与平移变换，正确记忆平移规律是解题关键． 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点坐标即可解答． 【详解】解：二次函数为， 对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：当时，， ∴与y轴交点坐标为，不是，故C说法错误，不符合题意； 选项D：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故D说法正确，符合题意． 10. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象，依次判断、、，可判断①；根据抛物线的对称性与过点（3，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1，0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数与的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），可知，再根据、推导，可判断⑤；从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由可得， 根据图象，抛物线与直线有交点， ∴有实数根，故④正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即，故⑤正确． 综上所述，正确的为②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，那么_____． 【答案】7 【解析】 【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 12. 不等式的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的性质解不等式，注意系数为负数时，不等号方向改变． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式两边同时除以，得． 13. 如图，延长正方形的边至，使，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质推导出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 14. 某商品的利润元与售价元之间的函数解析式是，且售价x的范围是，则最大利润是 ___________． 【答案】24元 【解析】 【分析】将二次函数一般式改为顶点式，即得出其当时，y随x的增大而增大．再结合题意可知当时，y有最大值，求出最大值即可． 【详解】∵，且-1<0， ∴该二次函数图象开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵售价x的范围是， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴最大利润是24元． 故答案为：24元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 15. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0；方程有实数解则根的判别式大于等于0，列出两个不等式求解，合并得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即 ，得 ， ∵原方程有实数解， ∴根的判别式， 解得， 综上可得的取值范围是且． 16. 如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方，  关于的不等式的解集为． 三、解答题 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分别计算绝对值、算术平方根、零指数幂，再合并计算即可； （2）用配方法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，  ∴， ∴ ， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）关于轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出的坐标，依次连接即可得到； （2）采用 “割补法”，用包含三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：根据对称规律，写出各顶点关于轴对称的点的坐标： 关于轴对称的点为， 关于轴对称的点为， 关于轴对称的点为， 在坐标系中描出点、、，依次连接，即可得到． 【小问2详解】 解：以的顶点为边界，构造一个长为、宽为的矩形（从到，到）， 矩形面积为：， 减去周围三个直角三角形的面积： 以、为顶点的三角形面积：， 以、为顶点的三角形面积：， 以、为顶点的三角形面积：， 的面积为：． 19. 2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 【答案】A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓 【解析】 【分析】设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓，根据“4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克”列方程组求解即可． 【详解】解：设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓． 20. 为了解某校男生在体能测试的引体向上项目的情况，随机调查了a名男生引体向上项目的测试成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组测试成绩数据的平均数、众数和中位数； （3）该校共1200名男生，请估计引体向上项目的测试成绩大于16次的学生人数． 【答案】（1）40，25 （2）平均数15.8，众数15，中位数16 （3）360人 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中14次的人数除以扇形统计图中14次的百分比可得a的值；用条形统计图中16次的人数除以a的值再乘以可得，即可得m的值； （2）根据平均数、中位数、众数的定义可得答案； （3）用总人数乘以测试成绩大于16次的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ． 故答案为：40；25． 【小问2详解】 解：平均数， 数据15出现的次数最多， ∴众数是15． 将数据从小到大排序，位于中间的两个数是16和16， ∴中位数． 【小问3详解】 解：测试成绩大于16次的百分比是和， ∴全校测试成绩大于16次的人数大约是（人） 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． 21. 如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：在矩形中，点O为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵交边于点E，交边于点F， ∴是对角线的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意得是对角线的垂直平分线，则，，，进而可证明得，由此得，据此可得出结论； （2）由得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，然后由矩形的性质得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图连接，则为的中点， ∵， ∴， 在矩形中，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 22. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况建立函数关系式即可； （2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 当时，； 当时，扫过的图形为四边形，此时 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 ∴点运动了． 23. 我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点，点是函数的零点． （1）已知函数，则该函数的零点坐标为___________； （2）若二次函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）已知二次函数的两个零点都是整数点，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令进行求解即可； （2）令时，则有，然后根据根的判别式可进行求解； （3）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意可令时，则有，解得：， ∴该函数的零点坐标为； 故答案为； 【小问2详解】 解：令时，则有， ∵二次函数有两个零点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得：， 令时，， ∴， 解得：， ∵二次函数的两个零点都是整数点， ∴为整数， ∴． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）若M，N为抛物线上的点，横坐标分别为，t，且，点M，N之间（包含端点）的函数图像称为图像P，设图像P的最高点与最低点的纵坐标分别为，，当时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）、、 【解析】 【分析】（1）求抛物线解析式：设交点式，代入直线与y轴交点坐标求系数． （2）求Q点坐标：利用抛物线对称性，结合“两点之间线段最短”，求直线与对称轴交点． （3）求t的值：分三个区间判断抛物线高低点，代入列方程，验证解的有效性． 【小问1详解】 设抛物线的解析式为． 由直线， 令，得， ． 将代入，得， 解得． 因此，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 抛物线的对称轴为直线． ∵A、B关于对称轴对称， ，则． 根据“两点之间线段最短”得，当C、Q、B共线时，最小，即的周长最小． 设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得，即直线的解析式为． 将代入， 得，所以Q的坐标为． 【小问3详解】 抛物线的解析式为，对称轴为，顶点为． 将代入抛物线解析式，得，即． 分三种情况讨论： 情况一： 此时图像P的最高点为，则， 最低点为，则． 由，得， 即， 解得． 因为，所以（，舍去）． 情况二： 此时图像P的最高点为顶点，则， 最低点为，则． 由，得， 解得（符合）． 情况三： 此时图像P的最高点为顶点，则， 最低点为，则． 由，得， 解得（符合）或（舍去）． 综上所述，t的值为、、． 【点睛】考查知识点：二次函数解析式求法、二次函数对称性与最值、一次函数解析式确定、分段讨论．思想方法：待定系数法、数形结合、分类讨论．熟练掌握二次函数的交点式与顶点式转化；准确判断不同区间内抛物线图像的最高点和最低点；严格按照取值范围验证解的有效性为解题关键．易错点为坐标代入错误、区间划分失误、未验证解的合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $