精品解析： 湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 3. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝∠2，若∠3＝50°，则∠4等于（　　） A. 40° B. 50° C. 65° D. 75° 【答案】C 【解析】 【详解】因为∠3=50°，所以∠1+∠2=180°-50°=130°，因为∠1=∠2，所以∠1=65°，因为a∥b，所以∠1=∠4，所以∠4=65°，故选C. 4. 函数自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选C． 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 6. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 7. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数即可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 8. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角， ∴． 故选：C． 9. 将函数y＝2（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为（　　） A. y＝2（x﹣1）2﹣5 B. y＝2x2﹣1 C. y＝2（x+2）2﹣5 D. y＝2（x+2）2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】将函数y=2（x+1）2-3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位， 则平移后的抛物线的解析式：y=2（x+1+1）2-3+2，即y=2（x+2）2-1， 故选D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：在圆内接四边形中，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 14. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 15. 如图，函数的图象过点，则关于的方程的解______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象过点可知时，，即可得到关于x的方程的解是． 【详解】解：由图象可得：关于x的方程的解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 16. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答． 【详解】解：， ， 绕点旋转得到， ， ， ， ∴旋转角的度数， 故答案为：50． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 四、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握运算法则是关键． 先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．先根据单项式乘多项式的法则和完全平方公式将式子化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 原式 当时，原式． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）请画出绕点O旋转的图形； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画中心对称图形，轴对称最短路径问题： （1）根据题意可知与关于点O中心对称，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求，再根据网格的特点写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求， ∴P点坐标为． 21. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 22. 某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 【答案】（1）三月份每件产品的成本是20万元； （2），四月份最少利润是500万元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式． （1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求得y与x的函数关系式；再求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程，求解即可； （2）列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 将代入，得（件）， 设三月份每件产品的成本是a万元， 由题意得， 解得， 即三月份每件产品的成本是20万元； 【小问2详解】 解：四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为， 由题意得： ， 则抛物线的对称轴为，且，开口向下， 则时，取得最小值， 此时，， 即四月份最少利润是500万元． 23. 如图，已知抛物线经过两点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； （2）设点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标； （3）已知与抛物线相交于点，连接，若，求的值． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为顶点的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出即可函数解析式，即可得到顶点的坐标； （2）设，则，由，建立方程求解即可； （3）延长交轴于，设，利用勾股定理求出，设直线的解析式为，求出直线的解析式，联立二次函数，求解得出，根据即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， 抛物线的函数解析式为， ， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：设，则， 当时，， 解得， ； 【小问3详解】 解：延长交轴于， 设，在中，， 即， 解得， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， 的解析式为， 联立， 解得（舍去），， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，二次函数线段问题与二次函数面积问题，勾股定理需要数形结合，难度较大． 24. 已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 （1）求b的值； （2）将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 【答案】（1）0 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论； （2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知： 时，总有， ． 则， ∴， ∴总成立，且， ； 【小问2详解】 ①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或（舍）． （ii）当抛物线过点时，如图所示， 此时，， 解得或（舍）， 综上，， ②同①考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或（舍）． （ii）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或0（舍）． 综上， 如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上． 令，解得， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ． ，即， ， 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 25. 如图1，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）①以下图形一定是“筝形”的是（ ） A．平行四边形 B．直角三角形 C．菱形 D．矩形 ②顺次连接“筝形”四边中点而得到的四边形是（ ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 （2）如图2，已知圆的内接四边形的对角线交点O，且，若记，，，，的面积分别为：，，，，且，求证：四边形是“筝形”； （3）在（2）的条件下，以四边形的对角线与为坐标轴，以点O为坐标原点建立的平面直角坐标系，若四边形的面积为S，且同时满足三个条件：①；②四边形的周长为32；③； 若E为的中点，F为线段上一动点，连接，动点P从点E出发，以的速度沿线段匀速运动到点F，再以的速度沿线段匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线的解析式． 【答案】（1）①C；②D； （2） 解：设，，，； ∵， ∴，，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴四边形是“筝形”； （3）， 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形，直角三角形，菱形，矩形的性质以及“筝形”的判定求解即可； ②点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，，首先得到垂直平分，然后利用三角形中位线的性质得到，，证明出四边形是平行四边形，然后证明出，即可得到四边形是矩形； （2）设，，，，首先得到，，，，然后由得到，整理得到，求出，然后利用垂直平分线的性质得到，，即可证明出四边形是“筝形”； （3）由得到，得到，然后整理得到，然后证明出，得到，然后证明出四边形是菱形，得到，，过点作于，过点作于，得到，然后证明出是等边三角形，勾股定理求出，进而求出点走完全程所需的时间为，得到，然后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：①∵平行四边形，直角三角形，矩形的邻边不一定相等， ∴平行四边形，直角三角形，矩形不是“筝形”； ∵菱形的邻边相等， ∴菱形是“筝形”； 故选：C； ②如图所示，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，； ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵，， ∴； ∵点E，H分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 故选：D； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴四边形是平行四边形； 又∵， ∴四边形是菱形； ∵， ∴，， 如图，过点作于，过点作于． ∵点的运动时间， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，； ∵， 在中，，， ∴， 由勾股定理， ∴点走完全程所需的时间为． 此时， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 则直线的解析式为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线的性质和判定，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝∠2，若∠3＝50°，则∠4等于（　　） A. 40° B. 50° C. 65° D. 75° 4. 函数自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 将函数y＝2（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为（　　） A. y＝2（x﹣1）2﹣5 B. y＝2x2﹣1 C. y＝2（x+2）2﹣5 D. y＝2（x+2）2﹣1 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 16的算术平方根是___________． 12. 分解因式_______． 13. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 14. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 15. 如图，函数的图象过点，则关于的方程的解______． 16. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______度． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 四、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）请画出绕点O旋转的图形； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 21. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 23. 如图，已知抛物线经过两点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； （2）设点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标； （3）已知与抛物线相交于点，连接，若，求的值． 24. 已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 （1）求b的值； （2）将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 25. 如图1，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）①以下图形一定是“筝形”的是（ ） A．平行四边形 B．直角三角形 C．菱形 D．矩形 ②顺次连接“筝形”四边中点而得到的四边形是（ ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 （2）如图2，已知圆的内接四边形的对角线交点O，且，若记，，，，的面积分别为：，，，，且，求证：四边形是“筝形”； （3）在（2）的条件下，以四边形的对角线与为坐标轴，以点O为坐标原点建立的平面直角坐标系，若四边形的面积为S，且同时满足三个条件：①；②四边形的周长为32；③； 若E为的中点，F为线段上一动点，连接，动点P从点E出发，以的速度沿线段匀速运动到点F，再以的速度沿线段匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $