3.3 圆的对称性1 导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案围绕“圆的对称性（1）”展开，核心知识点包括圆的中心对称性、同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系及圆心角度数与弧度数的关系。课堂导入通过观察车轮旋转的生活情境，引导学生从图形对称性的已有知识出发，发现圆的旋转不变性，搭建从具体实例到抽象性质的学习支架。 资料特色在于以情境驱动激发学习兴趣，通过自主探究（旋转操作、叠合比较）和合作探究（尺规等分弧、定理条件辨析）培养学生几何直观与推理能力，分层练习和课后作业设计注重知识应用与易错点辨析，帮助学生深化对“同圆或等圆”条件的理解，提升运用数学语言表达几何关系的能力。

3.3 圆的对称性（1） 学业质量要求： 1. 通过旋转操作认识圆是中心对称图形，圆心为对称中心.探索并掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的相等关系，理解圆心角的度数与所对弧的度数相等，发展几何直观与演绎推理能力. 2. 能运用圆心角、弧、弦的关系完成计算与简单证明，能利用尺规等分弧，体会图形变换思想，提升几何推理与作图能力. 学习重点： 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系及其应用. 学习难点： 定理条件“同圆或等圆”的理解.灵活运用三组量互推关系进行证明. 学习过程： 一、情境驱动，激趣引入 圆具有丰富的对称性. 1.观察车轮，车轮轮廓看作圆，绕圆心旋转任意角度，我们发现了什么？ 2.思考：圆拥有怎样的对称性？圆中圆心角、弧、弦之间存在什么联系？ 二、自主探究，建构新知 活动1 探究圆的中心对称性 在两张透明纸上画出半径相等的圆（如图1），叠合后绕公共圆心旋转其中一张圆.你有什么发现? 图1 图2 结论：圆是________图形，________是它的对称中心. 活动2 探究圆心角、弧、弦的关系 在⊙O和⊙O'中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A'OB'，连接AB，A'B'.(如图2），再通过上述操作，进一步发现，在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合，这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以 的弧叫作等弧(equal arc). 如图，如果∠AOB=∠A′OB′，通过旋转重合可以得到__，弦AB__弦A′B′. 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等. 讨论思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？圆心角相等吗？ 归纳通用结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 组量相等，那么它们所对应的 量都分别相等. 在同圆或等圆中圆心角与所对弧、弦的关系可以表示为： 圆心角相等 圆心角所对的 弦相等 圆心角所对的 弧相等 活动3 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 把顶点在圆心的周角分成360份，每一份圆心角是1°. 1°的圆心角对应1°的弧，n°的圆心角对着n°的弧. 结论：圆心角的度数与 的度数相等. 注意：圆心角、圆弧的度数只和角度有关，与圆的半径大小无关. 回顾讨论：用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程(如图). 你能利用圆的性质说明这样作图的道理吗? 道理： 例1 如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，OD⊥AB，垂足为D，连接OA，OB.求证：∠AOD=∠BOD=60°. 分析：由OD⊥AB得两个直角三角形，再由OA=OB得两个底角相等，所以要证明结论成立，其实就是证明… 证明： 三、合作探究，深度学习 1.探究：在给定的圆中，能否用直尺和圆规作出这个圆的内接正三角形？ 2. 总结圆心角、弧、弦三组量互推定理，强调前提条件“同圆或等圆”，思考去掉这个条件结论是否成立. 四、分层练习，当堂评价 1.如图，在⊙O中，，∠AOB＝50°，求∠COD的度数． 2.如图，在⊙O中，用直尺和圆规将二等分. 五、小结与反思 根据下面知识结构图，自主完善本节课知识框架： 2.反思：使用圆心角、弧、弦互推定理，最不能忽略的条件是什么？ 六、课后作业设计 1. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的圆心角相等 2. 若两条弧的度数相等，那么（ ） A. 两条弧所对的弦相等 B. 两条弧的长度相等 C. 两条弧所对的圆心角相等 D. 两条弧是等弧 3. 如图，在同圆中，若，则AB与2CD的大小关系是:AB 2CD． 第3题图 第4题图 4. 如图，在⊙O中，∠AOC＝∠BOD，的度数为60°，则∠BOC＝ °． 5．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，求∠B的度数． 6. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，且 ＝．求证：AC＝BD． 课后作业设计参考答案 1.【答案】C 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【分析】同圆或等圆中，相等弦、相等圆心角才可推出对应弧、圆心角相等；相等的弧必然出自同圆或等圆，可以推出所对的弦相等. 【详解】解： A 选项：缺少同圆或等圆条件，错误； B 选项：缺少同圆或等圆条件，错误； C 选项：相等的弧所对的弦相等，正确； D 选项：缺少同圆或等圆条件，错误. 故选 C. 2.【答案】C 【知识点】弧的度数与圆心角 【分析】弧的度数等于它所对圆心角的度数，弧度数相等，圆心角一定相等，没有同圆等圆条件，弦、弧长、等弧不一定相等. 【详解】解：弧的度数等于其所对圆心角的度数，两条弧度数相等，则两条弧所对圆心角相等. 没有说明同圆或等圆，弦、弧长、等弧均无法保证. 故选 C. 3.【答案】＜ 【知识点】弧和弦的关系、三角形三边关系 【分析】取的中点 E，，得 AE=EB=CD，在△AEB 中利用两边之和大于第三边得到 AE+EB＞AB. 【详解】解：取中点 E，连接 AE、BE. ∵， ∴， ∴AE=BE=CD. 在△AEB 中，AE+BE＞AB， ∴CD+CD＞AB， 即 AB＜2CD. 4.【答案】60 【知识点】圆心角性质 【分析】∠AOC=∠BOD，同时减去∠BOC，得到∠AOB=∠COD，度数 60° 即∠AOD=60°，可得∠BOC=∠AOD. 【详解】解：∵∠AOC=∠BOD， ∴∠AOC−∠BOC=∠BOD−∠BOC， 即∠AOB=∠COD. ∵的度数为 60°， ∴∠AOD=60°， ∴∠BOC=∠AOD=60°. 5.【答案】70° 【知识点】弧与弦的关系，三角形内角和定理 【分析】弧相等推出弦相等，得到等腰三角形，利用三角形内角和求底角. 【详解】解：∵， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵∠A=40°， ∴∠B=. 6.【答案】证明见详解 【知识点】同圆中弧的加减运算，弧弦关系 【分析】两条相等弧同时加上公共弧，得到，弧相等则弦相等. 【详解】解：∵， ∴， 即. ∴AC=BD. 学科网（北京）股份有限公司 $