3.4 圆周角1 导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案围绕圆周角展开，引导学生理解圆周角定义及与圆心角的区别，通过运动员射门情境激趣引入，从圆心角过渡到圆周角，借助自主探究分类讨论圆心与圆周角的三种位置关系，搭建学习支架。 资料以情境驱动和自主建构为特色，通过分类探究圆周角定理培养学生推理意识与几何直观，分层练习和详细作业设计助力巩固，发展应用意识，有效提升学生几何直观与演绎推理能力。

3.4 圆周角（1） 学业质量要求: 1.理解圆周角的定义,能区分圆周角与圆心角；经历分类探究圆周角与圆心角关系的过程,掌握圆周角定理,体会分类讨论、转化的数学思想. 2.能运用圆周角定理进行角度计算与简单推理,会利用圆周角定理解决圆相关几何问题,发展几何直观与演绎推理能力. 学习重点: 圆周角定义；圆周角定理及其应用. 学习难点: 圆周角定理分三种情况的证明思路；灵活添加辅助线运用圆周角定理. 学习过程: 一、情境驱动,激趣引入 如图,当运动员分别在圆上的两处射门时,两个射门点对球门的张角相同。你知道为什么吗？ 二、自主探究,建构新知 1. 圆周角定义 像 这样,顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫作圆周角. 辨析关键点：① ；② ,两个条件缺一不可. 思考：这两个圆周角都是所对的圆周角,它们有什么数量关系呢？ 2. 探究同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系 如图,点A,B,C 在一个以点O为圆心的圆形轨道上,其中点A可以运动.让动点A在上运动,圆周角∠BAC和圆心角∠BOC之间有什么关系? 操作发现圆心O和圆周角存在哪些不同的情况？ 图1 图2 图3 存在三种位置情况： 1. 圆心 O 在圆周角的 ； 2. 圆心 O 在圆周角的 ； 3. 圆心 O 在圆周角的 . （1）其中圆心O在∠BAC的边AC上时（如图2）是一种特殊情况,可以先从特殊情况入手研究. (写出推理过程） （2）当圆心O在∠BAC内部时（如图3） 分析：可以化一般为特殊,通过构造过点A的直径,转化为图2的特殊情形. (写出推理过程） （3）当圆心O 在∠BAC外部呢？（如图1） （自主探究,写出推理过程） 由同弧或等弧所对的圆心角相等,我们得到圆周角定理： 同弧或等弧所对的圆周角 ,圆周角等于它 的一半. 特别强调：因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,所以我们也可以 说,圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 例1 如图,的两边与分别相交于点 A,B 和点 C,D, ,的度数分别为 ,. 求的大小. 分析:图形为圆外角模型,题目无现成圆周角,需要连接辅助线构造圆周角；利用圆周角定理,由弧度数求出对应圆周角,再借助三角形外角性质建立角度关系式求解。 解： 讨论：尝试把题目中角的度数换成其他值,你有什么发现？ 三、合作探究,深度学习 1. 判断一个角是不是圆周角,需要抓住哪两个条件？ 2. 证明圆周角定理为什么要分成三种情况讨论？分类标准是什么？ 3. 遇到圆中角度计算,常用思路：利用弧搭建圆心角、圆周角之间的联系,必要时连接弦构造圆周角. 四、分层练习,当堂评价 1. 下列各图中的角是否为圆周角？为什么？ 2. 如图,的两条弦 AC,BD 相交于点 E, ,的度数分别为. 求的大小. 3. 如图,点 A,B,C,D 在上,,BC=3. 求 的周长. 五、小结与反思 1.根据下面知识结构图,自主完善本节课知识框架： 2.反思：使用圆周角定理时,必须保证角对着同弧或等弧,你能举出反例吗？ 六、课后作业设计 1.如图,点A,B,C,D在⊙O上,点A,D在点B,C所在直线同侧,∠BAC=25°. （1）∠BDC=______°,理由是_____________________________； （2）∠BOC=______°,理由是_____________________________. 2.一条弧所对的圆周角的度数为60°,它所对的圆心角的度数为_______°. 3.一条弧所对的圆心角的度数为60°,它所对的圆周角的度数为______°. 4.若圆中一条弦把圆周分成1︰5两部分,则这条弦所对的圆周角为__________°. 5.已知OA,OB为⊙O的半径,∠AOB=80° 点C⊙O上任意一点（与A,B不重合）,则∠ACB = _______°. 6.如图,点A,B,C在⊙O 上,D是AC的中点,∠B=60°. 求证：四边形ADCO是菱形. 课后作业设计参考答案 1.（1）【答案】25；同弧所对的圆周角相等 【详解】解：∵∠BAC 与∠BDC 都是弧 BC 所对的圆周角 ∴∠BDC=∠BAC=25° （2）【答案】50；同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍 【详解】解：∵∠BAC=25°，∠BOC 是弧 BC 所对圆心角 ∴∠BOC=2∠BAC=50° 2.【答案】120 【知识点】圆周角定理 【详解】解：∵同弧所对圆心角是圆周角的 2 倍 ∴圆心角 = 2×60°=120° 3.【答案】30 【知识点】圆周角定理 【详解】解：∵同弧所对圆周角等于圆心角的一半 ∴圆周角 = ×60°=30° 4.【答案】30 或 150 【知识点】圆周角、弧的度数 【详解】解：圆周总共 360°，弦分圆周 1:5 ∴两段弧度数分别为 60°、300° ∵弦对着两段弧，对应两个圆周角 ∴圆周角为×60°=30°，×300°=150° 5.【答案】40 或 140 【知识点】圆周角定理，圆内接四边形对角互补 【详解】解：分两种情况： ①当点 C 在优弧 AB 上时，∵∠AOB=80° ∴∠ACB=∠AOB=40° ②当点 C 在劣弧 AB 上时，∴∠ACB=180°−40°=140° 6.【知识点】圆周角定理、菱形判定 【详解】证明： ∵∠ABC=60° ∴∠AOC=2∠ABC=120° ∵D 是 的中点 ∴ = ∴∠AOD=∠COD=∠AOC=60° 又∵OA=OD，OD=OC ∴△AOD、△COD 都是等边三角形. ∴OA=AD=OD，OC=CD=OD. ∴OA=AD=DC=CO, ∴四边形 ADCO 四条边相等, ∴四边形 ADCO是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $