27.1 反比例函数的概念 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

27.1 反比例函数的概念　知识清单 人教（2024）版　九年级上册　第二十七章　反比例函数 知识地图：从「积一定」到反比例函数 第二十六章我们研究了二次函数，用的是「先看式子、再看图象」的路子。第二十七章要研究的是另一种函数——反比例函数。不过这一节（27.1）只解决一件事：什么样的函数叫反比例函数，以及怎样从实际问题里把它找出来、把解析式写出来。反比例函数的图象和性质，要到 27.2 才研究。 这一节的线索很短，只有四步（图 1）：解读三个实际情境 → 归纳出定义 → 学会判断 → 学会求解析式。第四步里用到的工具，仍然是大家在前面学过的「待定系数法」。 图 1　本节知识地图：三个实际情境都满足「两个量的积一定」，把「积一定」写成 ，再化成 的形式（），这样的函数就叫反比例函数 一、学习目标与重难点 1. 学习目标（学完本节，你应该能够） ① 说出反比例函数的定义，并说清定义中的两处限制—— 与 ；能写出它的三种表示形式。 ② 从实际问题中抽象出反比例函数：会抓住「两个量的积一定」列关系式，并根据实际意义写出自变量的取值范围。 ③ 会用待定系数法求反比例函数的解析式：会用 求出 ，会由 求 ，也会由 反过来求 。 2. 重点与难点 项目 内容 重点 反比例函数的定义与三种形式；用待定系数法求解析式（设、代、解、写） 难点 判断一个函数是不是反比例函数——必须能化成 的形式 易混点 反比例 与 正比例 的区别（如 与 ）；函数本身的 与实际情境里范围的差别 二、从三个实际情境到反比例函数（教材思考） 1. 教材提出的三个问题 教材在 27.1 一开始就问：下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ ① 京沪高铁全程为 km，某次列车的平均速度 （km/h）随此次列车的全程运行时间 （h）的变化而变化； ② 某住宅小区要种植一块面积为 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 （m）随另一边长 （m）的变化而变化； ③ 李明计划在一段时间内使用完 GB 手机流量，平均每天使用的流量 （GB）随使用完流量的总时间 （天）的变化而变化。 图 2　教材思考的三个情境：路程、面积、流量都是「总量一定」，于是两个变量的积为常数——、、 2. 一个一个地写解析式 第 ① 题里，路程不变：，所以 。这里 、 都是变量，给定的 有唯一确定的 与它对应，所以 是 的函数。 第 ② 题里，面积不变：，所以 。 第 ③ 题里，流量总量不变：，所以 。 三个解析式的样子不一样，但结构完全一样：都是「一个量 = 一个常数 ÷ 另一个量」，也就是两个变量的积是一个不为 0 的常数。这三个常数分别是 、、，都不是 0。 3. 把共同特点写成一般式 把「积一定」记作 （），两边同除以 ，就得到 。凡是能写成这个样子、且 的函数，课本给了它一个专门的名字——反比例函数。 ★ 抓「积一定」的三个来源：行程问题里的路程 = 速度 × 时间；几何问题里的面积 = 长 × 宽；工程或生活问题里的总量 = 每天的用量 × 天数。只要题目中出现「总量不变」「面积不变」这类条件，往往就藏着反比例关系。 ★ 注意：写在解析式里的是变量之间的对应关系，而不是某个具体的数。所以要把「」变形为「」，把常数单独放在分子上。 三、反比例函数的定义 1. 定义 一般地，形如 （）的函数叫作反比例函数，其中 是自变量， 是 的函数。 自变量 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 图 3　定义解剖：分子是不含 的常数 ，分母是单独的 ，并且 ；同一个函数可以写成 、、 三种形式 2. 定义里的三个要点，缺一不可 ① 形式：必须能化成 的样子，也就是 要出现在分母上。 ② 分子：分子 是一个常数，不能含有 。像 这样的式子，分子里含 ，写不成「常数 ÷ 」的样子，所以它不是反比例函数。 ③ 常数不为 0：。若 ，则 ，这时无论 怎样变化， 都不跟着变，当然不是反比例函数。 3. 同一个函数的三种写法 · 分式形式：。这是定义里给的样子，做题时先往它上面化。 · 乘积形式：。判断一个关系是不是反比例关系，用它最快——只要看两个变量的乘积是不是一个不为 0 的常数。 · 负整数指数幂形式：。因为在八年级上册学过 ，所以这三种写法表示的是同一个函数。 ★ 变换时必须保持「分子是常数」：由 得 ，这里默认 。这一步用的是等式两边同除以一个不为 0 的数，所以除之前必须先说明 ，这是本节最容易漏写的一句话。 四、自变量 x 的取值范围 1. 就函数本身而言：x ≠ 0 反比例函数的解析式里， 在分母上。当 时，分母为 0，分式没有意义，所以自变量 的取值范围是不等于 0 的一切实数，记作 （图 4 的数轴上，0 这一点被「挖去」了）。 图 4　自变量取值范围：函数本身只要求 ；放到实际情境里，还要由实际意义再缩小范围 2. 放到实际情境里：还要看实际意义 实际问题里的范围往往比 更小。上面三个情境就是例子：草坪的边长是长度，所以 ；列车的运行时间是正数，所以 ；如果题目说「把 1000 的实践田平均分给 个班」，那么 还必须取正整数。 所以写解析式时，函数本身的取值范围与实际问题的取值范围要分清：前者只看式子有没有意义，后者还要看每个量在现实里是否说得通。 ★ 一句话记牢：写解析式时，先写「」这一句（少了它，式子本身就不完整）；如果题目还带着「边长为正」「班数为整数」这类条件，再按实际意义补上对应的范围。 五、怎样判断一个函数是不是反比例函数 1. 判断的方法 判断的标准只有一条：能不能化成 （）的形式。具体分三步看：一看分母是不是单独的 ；二看分子是不是不含 的常数；三看这个常数是不是不为 0。三步都对，才是反比例函数。 图 5　六个例子：、、 是反比例函数；、、 都不是 2. 三种最容易看错的式子 第一种：。它虽然有分数线，但 在分子上，可以化成 ，这是正比例函数，不是反比例函数。判断的关键不是「有没有分数线」，而是 在分子还是分母。 第二种：。分母是 ，不是单独的 ，无论怎样变形都得不到分子为常数的样子，所以它不是反比例函数。 第三种：。分母上 的次数是 2，而定义要求 的次数是 1（也就是 的一次方），所以它也不是。 ★ 反过来，有些式子看起来不像，其实是：如 、，还有 。最后这个式子分子是常数 ，分母是 ，所以它也是反比例函数，。判断时不要只看「长得像不像」。 六、k = xy：反比例关系的本质 把 两边同乘 ，就回到 。这条式子告诉我们一件很重要的事：反比例函数中，任意一对对应的 、 的乘积都等于同一个常数 。 ★ 由 还可得 与 。前一个式子把 看成 的函数；后一个式子则可以在已知 时求 。两个方向都要熟练。 把它放到面积是 的矩形草坪上，就看得更清楚了（图 6）： 图 6　一边长 变大时，相邻一边长 就变小，但每一组的乘积都等于 ——这既是 的意义，也是「反比例」这个名字的由来 从表格里能读出两件事：一边长增大，另一边长就相应减小；但无论取哪一组， 与 的乘积都等于 。一个变大、另一个变小，乘积却不变——这就是「反比例」这三个字的含义。 这条性质在做题时有两个用处：一是求常数 ：只要有一对对应的值，把两个数相乘就行，如 ；二是检验：把任意一对值乘起来，看结果是不是同一个数，不一样就说明解析式写错了。 七、用待定系数法求反比例函数的解析式 1. 例题 已知 是 的反比例函数，且当 时 。（1）写出 关于 的函数解析式；（2）当 时，求 的值。 解：（1）因为 是 的反比例函数，所以设 （）。 把 、 代入 ，得 。所以 。 （2）把 代入 ，得 ，即 。 图 7　待定系数法四步：设 → 代 → 解出 → 写出 ，再求 = 4 时的函数值 2. 四步中每一步在做什么 第 ① 步「设」，设的是函数的形状——因为题目已经说明它是反比例函数，所以形状必然是 ，待定的只有一个常数 。这一步要顺手写上 。 第 ② 步「代」，代的是一对对应的值——题目给出的 、 就是一对。直接用上一节得出的 算 ：对于这一对值，。 第 ③ 步「解」，解出常数 ，并检查 是否满足；第 ④ 步「写」，把 代回所设的式子，写出完整的解析式，再按题目要求求函数值。 有了解析式，函数值就可以直接算了：，所以当 时 。反过来，如果已知 ，由 得 ，算出 。 ★ 检验的方法：把已知的一对值相乘，看乘积是不是等于求出的 。例如 ，与求出的 一致，说明解析式写对了。这个「乘积相等」就是 的意义，上一节已经借助草坪表格看过它。 八、教材练习里的三个情境 教材 27.1 的练习又给出三个情境，都是「总量一定」的老套路，但换了新的背景。做这类题时先找出那个不变的积，再把它写成 ，最后化成 的样子。 情境 不变的积 解析式 自变量的取值范围 游泳池容积 ，注满水所用时间 （h）随注水速度 的变化而变化 容积 = 注水速度 × 时间 时间取正值： 的实践田平均分给 个班，每班面积 （）随之变化 实践田总面积 = 班数 × 每班面积 班数取正整数： 为正整数 电路两端电压 V，电流 （A）随电阻 （Ω）的变化而变化 电压 = 电流 × 电阻 电阻取正值： 这三个解析式分别是 、、，都是反比例函数。要特别留意最后一列：游泳池的注水速度 和电路的电阻 都必须取正值，分给草坪的班数必须是正整数——这些限制都来自实际意义，而不是来自解析式本身。 九、易错清单与错解辨析 这一节的错误大多集中在「定义的两处限制」和「两种比例关系的混淆」上。先把七条常见错法汇总成一张对照表（图 8），再逐条细看错解、错在哪里和正确写法。 图 8　七条易错说法的对照：判断反比例函数要靠「能不能化成 （）」，不能只看外形 易错 1　把带分数线的式子一律当成反比例函数 错解： 里有分数线，所以是反比例函数。 错在哪里：只看外形，没有看 在分子还是分母。正确写法： 里 在分子、常数在分母，化成 后两个量的比一定，所以它是正比例函数，不是反比例函数。 易错 2　分母不是单独的 x 错解： 的分母是 ，含有 ，所以是反比例函数。 错在哪里：定义要求分母是单独的 ，而不是含 的式子。正确写法：这个式子无论怎样变形，都写不成「常数 ÷ 」的样子，所以它不是反比例函数。 易错 3　分母上 x 的次数不是 1 错解： 的分母也是 ，所以是反比例函数。 错在哪里：定义要求 的次数是 1，也就是 的一次方；这个式子分母上是 ，次数是 2。正确写法：它化不成 的样子，所以不是反比例函数。 易错 4　以为 k 可以是任意常数 错解： 中 可以是任意常数。 错在哪里：若 ，则 ，无论 怎样变化， 都不跟着变，不是反比例函数。正确写法：必须 。 易错 5　以为 x 可以取任意实数 错解：反比例函数中 可以取任意实数。 错在哪里： 在分母上，取 0 时分母为 0，分式没有意义。正确写法：必须 ；放到实际问题里，还要按实际意义再缩小范围。 易错 6　只写解析式，不写取值范围 错解：题目问「写出 关于 的解析式」，就只写 。 错在哪里：实际问题里自变量的取值要受实际意义约束。正确写法：题目问「并指出自变量的取值范围」时，要分清两层：函数本身要求 ；草坪的边长是长度，所以实际范围是 。 易错 7　用待定系数法时漏掉负号 错解：已知 是 的反比例函数，且当 时 ，有人算出 。 错在哪里：异号两数相乘得负，求 时漏掉了积里的负号。正确写法：用 ：，所以 。 十、方法总结 本节的方法可以收成一个「三问」和「两个口诀」（图 9）。 1. 建模三问：遇到实际问题，先问自己三句话 ① 哪两个量在变？——找出两个变量，确定谁做自变量。 ② 它们的积是多少？——题目里那个始终不变的总量，就是 。 ③ 范围怎么定？——先写 ，再按实际意义补上「为正」「为整数」这类限制。 2. 两个口诀 判断口诀：分母是单独的 ，分子是不含 的常数，且这个常数不为 0。 求解析式口诀：设、代、解、写。代的时候可以直接用 ——这也是检验答案最快的办法。 图 9　本节小结：一个定义（，）、一个范围（，实际问题还要看实际意义）、一个方法（设、代、解、写） 十一、课后巩固 1. 教材回顾（三题） 第 1 题（对应教材 27.1 的思考题）　京沪高铁全程为 km，某次列车全程运行时间为 （h），平均速度为 （km/h）。写出 关于 的函数解析式，判断 是不是 的反比例函数，并写出 的取值范围。 答案：由 得 ，它是反比例函数，；运行时间是正数，所以 。 第 2 题（对应教材 27.1 的例题）　已知 是 的反比例函数，且当 时 。（1）求 关于 的函数解析式；（2）当 时求 的值；（3）当 时求 的值。 答案：（1）由 得 ，所以 ；（2）当 时 ，即 ；（3）由 得 ，把 、 代入得 。 第 3 题（对应教材 27.1 的练习）　一个游泳池的容积为 ，注满水所用时间 （h）随注水速度 的变化而变化。（1）写出 关于 的函数解析式，并说明它是不是反比例函数；（2）当注水速度为 时，注满水需要多少小时？ 答案：（1）容积不变：，所以 ，它是反比例函数，，；（2）当 时 ，即 ，所以注满水需要 h。 2. 举一反三（四题） 第 4 题　下列各式中， 是 的反比例函数吗？是的请指出 的值。 ① 　② 　③ 　④ 　⑤ 答案：① 是，；② 是，由 得 ，；③ 不是，它是正比例函数；④ 不是，分母是 ，不是单独的 ；⑤ 是，因为 可以化成 ，所以 。 第 5 题　已知 与 成反比例，且当 时 。求 关于 的解析式；并求当 时 的值。 答案：「 与 成反比例」就是设 （）；由 得 ，所以 。当 时，由 得 ，即 。 第 6 题　一个菱形的面积是 ，它的两条对角线长分别为 （cm）和 （cm）。写出 关于 的函数解析式，并判断 是不是 的反比例函数。 答案：菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以 ，即 ，于是 。积是一个不为 0 的常数，所以 是 的反比例函数，。 第 7 题（提升·选做）　若 是反比例函数，求 的值，并写出这个反比例函数的解析式。 提示：反比例函数要求自变量的次数是 ，所以 ，即 ，解得 ；再由系数不为 0 得 ，即 。 答案：由 得 或 ；又 ，所以 。此时 ，解析式为 ；也可以写成 。 十二、技能自查 对照下表逐项自评，全部能说清、能写出，才算把 27.1 学扎实。 序号 自查内容 达标标准 1 说出定义 能完整说出「形如 （）的函数叫作反比例函数」 2 写出三种形式 能写出 、、 三种写法 3 说明两处限制 能说明为什么必须是 、为什么 ，并能举出反例 4 判断反比例函数 能正确判断 、、、 等式子 5 用待定系数法求解析式 能按「设、代、解、写」四步写出解析式，并用一对对应值检验 6 由实际问题写解析式 能抓住「两个量的积一定」列式，并写出自变量的取值范围 7 使用 k = xy 能用一对对应值求 ，也能用它检验解析式是否写对 8 双向使用解析式 已知 能求 ；已知 也能求 ，两个方向都要熟练 十三、知识追问 追问 1　定义里为什么要写「k≠0」？ 答：若 ，则 ——这时无论自变量怎样变化，函数值始终是 0，两个量之间没有「一个变大另一个变小」的关系，所以必须排除这种情况。 追问 2　为什么 x 不能取 0？函数本身的取值范围和实际问题一样吗？ 答： 在分母上，取 0 时分式没有意义，所以函数本身要求 。关于第二个问题：不一样。函数本身的取值范围只由解析式决定；实际问题还要看每个量在现实里是否说得通，比如草坪边长要为正、班数要是正整数。 追问 3　 与 有什么不同？ 答： 中 在分母上，符合定义，是反比例函数； 中 在分子上，可以写成 ，两个变量的比一定，是正比例函数。两者的区别就在 的位置。 追问 4　 和 为什么都不是反比例函数？ 答：前者分母是 ，不是单独的 ；后者分母上 的次数是 2。定义要求分母是 的一次式，也就是 必须「单独地、一次地」出现在分母上。两个式子都化不成 的形式，所以都不是。 追问 5　 与 是同一个函数吗？ 答：是。因为在八年级上册学过 ，把 换成它， 就是 。所以三种写法只是外貌不同，实质上都是同一个反比例函数。 追问 6　为什么知道一对 x、y 的值就能确定解析式？ 答：因为反比例函数的解析式里只有一个待定常数 ，由 可知 ——一对对应的值正好给出一个方程，解出的 唯一，解析式就确定了。这也解释了为什么可以用「一对值相乘」来求 。 追问 7　为什么这一节不研究反比例函数的图象？ 答：因为这一节的任务是「认识它」，也就是弄清定义、判断和求解析式；而图象和性质（比如图象的形状、位置的分布、随自变量的变化函数值怎样改变）要到 27.2 专门研究。先认清「形」，再研究「图」，顺序不能颠倒。 十四、本节在章中的位置与中考对接 1. 本节在章中的位置 位置 内容 上一章（第二十六章） 二次函数：从解析式、图象到最值，并用它解决实际问题 本节（27.1） 反比例函数的概念：定义、三种写法、自变量取值范围、判断方法、用待定系数法求解析式 下一节（27.2） 反比例函数的图象和性质：本节只研究「式」，下一节开始研究「图」 本章后续 用反比例函数解决实际问题，以及本章的阅读材料、数学活动、小结与复习题 2. 中考怎么考 ① 判断与辨析：给出几个式子或几个量之间的关系，判断哪些是反比例函数，并指出 的值。 ② 求解析式：给出「 是 的反比例函数」和一对对应值，用待定系数法求解析式，再求函数值或反过来求自变量。 ③ 实际情境建模：从路程、面积、工程、物理等情境中写出反比例函数解析式，并按实际意义写出自变量的取值范围。 3. 三个必背 ① 定义式：（），也可以写成 或 。 ② 自变量： 的取值范围是不等于 0 的一切实数（即 ）；实际问题还要按实际意义再定范围。 ③ 本质：任意一对对应的 、 的乘积都等于 ，即 ；求 和检验解析式都靠它。 4. 一句话总结 反比例函数这一节，说到底只有三件事：认清定义式（，）、记住两处限制（ 与 ）、抓住一条本质（）。拿到一道题，先看它是不是「两个量的积一定」——是，就往 上化；再按要求用「设、代、解、写」把解析式写出来。这一节能判断、会求式、说清范围，27.2 研究图象就有了根基。 学科网（北京）股份有限公司 $