广西壮族自治区玉林市2026-2027学年高三上学期数学限时训练

《2026年秋季高三限时训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D C A B D ACD ABD 题号 11 答案 BD 1．C 【解析】根据图象分段设出一次函数模型，分别代入点和求解出关于的解析式，由第一次服药的残留量大于等于求解的范围，即可求解 【详解】由图象知： 设 当时，设直线，把点代入得，所以； 当时，， 将点和代入得，解得， 此时， 所以， 当时，令，得， 当时，令，解得：， 所以， 故第二次服药最迟的时间应为8小时后，也即是下午4：00， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题是一道关于一次函数的实际应用题，解题的关键是根据图像求出解析式，根据解析式求出血液中药物残留量不小于240毫克时的最长时间，属于中档题. 2．D 【解析】由“”，知“方程表示焦点在轴上的椭圆”；由“方程表示焦点在轴上的椭圆”，知“”，进而可得结果. 【详解】解：∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”， “方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”， ∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查必要条件、充分条件的判断，解题时要认真审题，注意椭圆的定义和性质的合理运用. 3．A 【分析】由题意判断，结合双曲线的标准方程即可判断出答案. 【详解】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 4．D 【分析】因为的图象与直线的相邻交点的距离为或，占周期的比例为或，由此结合周期公式列式求解即可. 【详解】设的最小正周期为，则或， 即或， 解得或. 故选：D 5．C 【分析】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】， 由，则，由题意，，则，解得. 故选：C. 6．A 【分析】对任意实数都成立，则函数在时取得最大值，利用最值性质进行求解即可． 【详解】由对任意实数都成立，则函数在时取得最大值. 所以，则 即，又 所以当 时，则的值最小为. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的最值与应用问题，是中档题． 7．B 【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断. 【详解】设，则, ∴ 对A：，A正确； 对B：由题意可得：，同理可得： ∵ ∴，则，B错误； 对C：∵ ∴，C正确； 对D： ∴，D正确； 故选：B. 8．D 【分析】利用正弦定理，三角形内角和，两角和差公式将化简为，从而得到，解出角A，结合面积公式及余弦定理求出b. 【详解】由正弦定理：（为外接圆半径）可得： 联立可得：①. 因为，所以. 则①：， 即. 因为，所以，则， 即 又，所以， 由②， 由余弦定理可得：③， 联立②③可得：. 故选：D. 9．ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 10．ABD 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 11．BD 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算计算可以判定A错误；找到体积最大时的情况两两垂直，可以得到三角形的边长，进而计算求得截面的面积从而判定B;利用向量的运算可以判定满足C中的条件时四面体为正四面体，进而否定C；利用向量的运算求得满足D中条件时，求得，利用向量的角的余弦公式计算，得到向量所成角的取值范围，进而利用同角三角函数关系得到异面直线所成角的正切的取值范围，从而判定D. 【详解】在半径为2的球的球面上存在，，三点，且，，为线段的中点， 所以, 所以，故A错误； 当三棱锥的体积最大时，两两垂直（此时符合题意），三角形是边长为的等边三角形， 其外接圆即为平面截球的截面，外接圆的半径，截面圆的面积为，故B正确； 当时，，同理，, 又因为，所以，所以，与上同理得到，, 所以此时四面体为正四面体，各面都是正三角形，相邻的棱所成的角都是60°， 由于正四面体的棱与对面所成的角小于与与对面内的边所成的角，所以与平面所成的角小于，故C错误； 当时，，，同理，, 所以, 当时,重合，为线段的中点，所以共线，所以共，与已知条件与是异面直线矛盾， 当时，所以,共面，所以共，与已知条件与是异面直线矛盾， 所以, , 所以, 设异面直线与所成角为，则, 所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：选项D的关键是根据条件得到，进而利用向量法可得异面直线所成角的范围. 12．/ 【分析】直接代入复数计算即可. 【详解】由已知得 . 故答案为：. 13． 【分析】利用三棱柱的体积公式、球的特征及其体积公式即可. 【详解】    如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点， 则为的中点，设， 由题意易知， 则， 因为， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】正四面体补形成一个正方体，利用正方体的对角线，求外接球的半径和表面积如；利用正四面体中心到底面的距离与棱长的关系，列方程求容器棱长的最小值. 【详解】由球心A，B，C，D构成的四面体是正四面体，其棱长为4， 将正四面体补形成一个正方体，正方体的棱长为，正四面体的棱是正方体各面的对角线，如图所示，    则正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即外接球的半径，外接球的表面积为. 对于正四面体中， 若边长为a， 为正四面体外接球球心，H是正四面体底面三角形的中心，如图所示，    由于M为CD的中点，所以， 则，， 设外接球的半径为R，则， 中，，解得， 所以，即正四面体的中心到正四面体底面的距离为， 半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D构成的四面体，棱长为4，该三角垛能放入一个正四面体容器内， 则该容器棱长的最小值时，此时每个小球均与正四面体的面相切，任意两个小球外切， 设这个正四面体容器棱长为，则有， 解得，则该容器棱长的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：正四面体的外接球问题，经常把正四面体补形成正方体，利用正方体的对角线为外接球的直径，可减少运算量；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，找到等量关系列出算式. 15．（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）若要证明平面，只要证明平行于平面内的一条直线即可； （2）将多面体分割为三棱锥三棱锥，分别求两个三棱锥体积，求和即可得解． 【详解】 （1）由题意知，、都是边长为的等边三角形， 取中点，连接、， 则，， ∵平面平面， ∴平面， 作平面，则，根据题意点落在上， ∴，易得， ∴四边形是平行四边形，，       ∵平面，平面， ∴平面；              （2）∵平面平面，，∴平面， 又∵，∴平面，                                     ∴三棱锥体积，          又三棱锥体积，                   ∴多面体体积为． 【点睛】本题考查了线面平行的证明以及割补法求组合体体积，考查了逻辑推理能力和转化思想，有一定的计算量，属于中档题.本题所用方法为： （1）逆推法证明空间几何的垂直和平行，根据结论反向推理； （2）求空间组合体体积的割补法，如空间几何体是组合体，可通过割补法进行计算. 16．（1）；（2）分布列见解析，. 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可计算得出的值. 【详解】（1）记实验甲、乙、丙成功分别为事件、、，且相互独立， 记事件对实验甲、乙、丙各进行一次，至少成功一次， 则 ； （2）由题意可知，随机变量的可能值有、、、， 则，， ， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： X P 所以，随机变量的数学期望为（万元）. 17．（1）；（2）或. 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）依题意利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到.再由，所以.由，可得，故有，解得即可. 【详解】解：（1）因为，由余弦定理有， 因为，所以. （2）因为， 所以， 因此， 所以， 所以①， 因为，，所以， 因为，即， 解得， 由①得，解得或. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）考查导数的几何意义，即利用导数求曲线在某点处的切线方程.关键点在于计算函数在该点的导数值(切线斜率)和函数值，联立方程求解参数； （2）考查函数零点问题，需将原方程转化为三次方程，通过分析三次函数的极值点与x轴的相对位置，确定参数范围.核心思路是三次函数的极值异号时存在三个零点； （3）考查极值点的存在条件，需分析导数方程的实根数目.关键点在于导数方程的实根数目与原函数极值点的关系，通过三次方程的极值分析确定参数范围. 【详解】（1）∵，∴ ∴曲线在点处的斜率为：； 由切线方程为得，斜率，解得. 由，代入切线方程 得， 解得 所以. （2）函数的定义域为 令，即， 设 ∴， 令解得或，令解得， ∴在上单调递增；在上单调递减； ∴的极大值为,的极小值为. 要使有三个根，需且, 即,解得 ∴的取值范围为. （3）只有一个极值即有且仅有一个根或者虽有多个根但是仅有一个为极值点. 即等价于. 设，则 令解得或； ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴的极大值为，的极小值为. ∴当或时仅有一个实数根； 当或时，有两个实数根（其中一个为重根且非极值点），故仅有一个极值点. 综上， 或. ∴的取值范围为 19．(1) (2)（i） （ii）是， 【分析】（1）由椭圆的左顶点为和离心率为可得，，再根据可求得，即可求得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，将展开后代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【详解】（1）椭圆的离心率为，左顶点为，，，得； ； 椭圆的方程为. （2）（i）由（1）可得右焦点为，. 直线的倾斜角为，直线的斜率； 直线的方程为，即. 直线交于,两点，设点，. 联立，消去并整理得； ，，. . 的面积为. （ii）为定值，即，理由如下： 由直线过点，且交于,两点， 设直线：，点，. ，，. 联立，消去并整理得； 由，得，. . 为定值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三限时训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（    ） A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00 2．“”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 4．已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（    ） A．4 B．4或8 C．2 D．2或10 5．已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．设函数，若对任意实数都成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 11．在半径为2的球的球面上存在，，三点，且，，为线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．当三棱锥的体积最大时，平面截球的截面的面积为 C．当，且时，与平面所成的角为 D．当时，异面直线与所成角的正切值的取值范围为 三、填空题 12．已知的共轭复数为，则____________． 13．已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为_________________. 14．将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心A，B，C，D构成的四面体的外接球的表面积为__________，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为__________.    四、解答题 15．如图所示的空间几何体中，平面平面，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上． （1）求证：平面； （2）求多面体的体积． 16．某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、. （1）对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率； （2）该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望. 17．在中，内角，，的对边分别是，，，且. （1）求； （2）设，，求的值. 18．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为, 求； (2)若有三个零点，求的取值范围； (3)若只有一个极值，求的取值范围. 19．已知椭圆：的离心率为，左顶点为. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $