周测评(十一)平面向量(概念、运算、基本定理及坐标表示)及复数-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（B版）

2026一2027学年度学科素养周测评（十一） 数学·平面向量（概念、运算、 基本定理及坐标表示)及复数 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.已知复数之满足i·之十2=2i,则之·之= A.2 B.2√2 C.4 D.8 2.已知a+b=1,a-b=3,则a·b= ( A日 c号 3.设复数之在复平面内对应的点为Z(x,y),若|之一1=1，则 ( A.(x-1)2+y2=1 B.(x+1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 4.在平行四边形ABCD中，|AB+AD|=|AB-AD|=4,且∠BAC=∠CAD,则四边形 ABCD的面积为 () A.4 B.4√2 C.8 D.45 5.已知向量a=(3,w5),且向量a与b的夹角为牙，则a-b的最小值为 ( A.1 B.√2 C.2 D.4 学科素养周测评（十一）数学第1页（共4页） 笔尖破混沌，每一步都算数 6.设复数之1，之2是关于x的方程x2+mx十1=0(m∈R)的两个根，之1，之2在复平面内对应 班级 的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点，若OZ1·OZ2=0,则 姓名 A.之1·之2=0 B.之十之=0 C.x1≠z2 D.z1十之2为纯虚数 得分 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 答案 51 7.已知x一2则 () A.之·之=5 B.之的虚部为一2 C.x-5+6i=10 D.在复平面内，之对应的点在第三象限 8.已知0为△ABC内部的一点，且满足0店.OC=0,1OC1=21OB1=2,5OA+3OB+ 20C=0,则 () A.1OA|=1 B.cOS∠AOB=-3 5 C△ABC的面积为号 n.ad=0Ag+号Ad 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.若方程2x2十bx+c=0(b,c∈R)的一个虚数根的模为4，则b的取值范围为 10.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，设点P为平面内一动点，满足PA·PB +P心.P心-多，则PiP心- ;PA·PD的取值范围为 学科素养周测评（十一）数学第2页（共4页）】 B 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)已知复数之1，之2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O是坐标原点，M是复平 面内一点，且OM=OZ1十Z1Z2(入，4∈R). (1)若之1=2i,之2=4十6i,OM⊥Z1Z2,求入与4的关系； (2)若OZ1,OZ2不共线，M,Z1,Z2三点共线，求λ的值. B 学科素养周测评（十一）数学第3页（共4页） 12.(20分)复数除了代数形式a+bi之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著 名的欧拉公式e=cos0+isin0体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进 行乘法运算，我们可以定义旋转变换.根据(a十bi)ei0=(a十bi)(cos0+isin0)=acos0 一bsin0+(asin0+bcos0)i,我们定义：在直角坐标系内，将任意一点绕原点逆时针方 向旋转0的变换称为旋转角是0的旋转变换.设点A(α，b)经过旋转角是0的旋转变换 [a'=acos 0-bsin 0, 得到的点为A'(a',b'),且旋转变换的表达式为 曲线的旋转变换 b'=asin 0+bcos 0. 也如此，比如将“对勾”函数y一工十图象上的每一点绕原点逆时针方向旋转日得到双 y2 x2 曲线： =1. 2(√2+1)2(2-1) (1)求点(-1，一3)经过旋转角是买的旋转变换得到的点的坐标， (2)求曲线xy=1经过旋转角是T的旋转变换得到的曲线方程； (3)在等边△ABC中，B(-1,一1)，A,C均在曲线xy=1上，求△ABC的面积. 学科素养周测评（十一）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2026一2027学年度学科素养周测评（十一） 数学·平面向量（概念、运算、基本定理及坐标表示）及复数 一、选择题 二、选择题 1.D【解析】由i·z+2=21,可得之=-2+2 =2+ 7ACD【解析】由题意得之三2-1+2i,则之· i 2i,则之=2-2i,所以之·之=(2十2i)(2-2i)=4-4i =(-1)2-(2i)2=1十4=5，故A正确，B错误；z =8. 5十6i=-6+8i,所以|x-5+6i=√(-6)2+82= 2.D【解析】由a十b=1,得(a十b)2=1,即a2+ 10,故C正确；之=一1一2i,故在复平面内，之对应的，点 2a·b+b2=1;由a-b|=√3，得(a-b)2=3,即 为（一1，一2），在第三象限，故D正确. a2-2a·b十b2=3.两式相减，得4a·b=-2,所 8.ABD【解析】对于A,由5OA+3OB+2OC=0,可 以a:b-一是 得-50A=3OB十20C,两边平方，得25OA12= 910B12+120B.0元+40元12=9+16=25，解得 3.A【解析】由复数的几何意义可得之=x十y1,所 1OA=1,故A正确；对于B,由5OA+3OB+20C 以x-1=|(x-1)+yi=√(x-1)2+y2=1, 0,可得-20C=50A+30B,两边平方，得16=25+ 化简可得(x-1)2+y2=1. 4.C【解析】在平行四边形ABCD中，AB+AD 30ai·0成+9，解得0.0成=号得s∠A0B =AC,AB-AD=DB,因为AB+AD1=AB-AD1, 、3 所以AC|=DB|,所以四边形ABCD为矩形，又 故B正确对于C由B可知n∠A0B=手， ∠BAC=∠CAD,所以四边形ABCD为正方形，所以 所以nL0C-血2x-∠0B-∠B0)-9,由三 四边形ABCD的面积为2X4X4=8, 角形面积公式可得△AOB,△BOC,△COA的面积分 5.C【解析】因为a=(W3,W5),所以|a|=√3+5= 别为号1，，故△AC的面数为2，故C误：时于 2√2，由平面向量数量积的定义可得a·b=a· b1·c0s至=2b1,所以a-b:=b-2a·b十 D.因为A店-0店-0i,AC-0交-Oi,所以A+ a2=|b|2-4|b|+8=(b|-2)2+4≥4，当且仅 }4c-品ai-ai)+号d-oi)=品ai 当|b=2时，等号成立，故|a一b|的最小值为2. 6.B【解析】由题知，方程x2+mz十1=0(m∈R)无 -Oi+(-号0成-0)-ò，故D正确， 实数根，则两个复数根之1，之2必为共轭复数，之1= 三、填空题 |22,故C错误；又之1十之2=一m,之1之2=1，故之1十 9.(一16,16)【解析】由题意可知方程2x2+bx十c= x2为实数，故A,D错误；又△=m2一4，则方程的根为 0(b,c∈R)有两个虚数根，设方程2x2十bx十c=0(b, c∈R)的两个虚数根为m十ni和m一ni,m,n∈R,则 2 =名m+分4，z(-2,24-m), 1 m2+n2=16.所以号=(om十ni）om-nid=m2+n2= 16,则c=32,实系数方程2x2十bx十32=0有虚数根， z(2m,24)0元.02-0，特m 则△<0，即b2-4X2×32<0,解得-16<b<16,故b 的取值范围为(-16,16). 寻4-m)=0,旋m=2,故十=(e1十2 1n·[及5，【扪e如定影AcD 221x2=m2-2=0,故B正确. 的边长为2，∠BAD=60°，以对角线交，点O为原点， B 2027 学科素养周测评 对角线AC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的平 即OM=(a-)OZ+4OZ2②： (17分) 面直角坐标系， 由①②知十1=入一H·解得A=1,以∈R且≠0 一t=4, 或1，所以入的值为1. (20分) 12.解：(1)由题可设所求点的坐标为(x,yo), c0=-cos年+3sm49 则 故A(-√3,0)，C(3,0),B(0,-1),D(0,1), 设动点P(x,y),则PA=(-√3-x,一y),PB= yo=-sin-3cos 4' (-x,-1-y),P元=(W3-x,-y),PD= 故所求点的坐标为(6.2,6士).《分) (-x,1-y),所以PA·PB+PC·PD=2x2+ (2)设曲线xy=1上任意一点(x,y)经过旋转角 2y-,化简可得点P的轨速方程为x2+y° 是无的旋转变换所得点的坐标为(x',y'). 至即点P在以原点为感心，半径方，-停的圆 '=acos 4-ysin- '=2 π （x-y), 上，则Pi,P心-x-3+y-号，PiP防 则 即 '-sinycsy π 2 (xy), +5xyty-(+)°+(》-1又 (7分) 可得(y)2-(x)2=2xy=2, 3 点P是圆x2十y2=上的点，以原点为圆心，半 y2 x2 所以所求曲线方程为2一2=1. (10分) 经r-所以0++0-。 (3)由题意得点B(-1,-1)在旋转角是T的旋 +6≤6++o 转变换下所得的点为B'(0,一√2)， (11分) 即-<(++-)°≤+ 设A,C在旋转角是牙的旋转变换下所得的点分 别为A'和C'. 所以是8≤+}'+(-)°-1≤+。 设曲线xy=】在旋转角是的旋转变换下所得 脚P·P防的取位范周为[及一，+ 曲线为M,则由(2)可知，M:?-1 四、解答题 11.解：(1)由题意得，Z1(0,2),Z2(4,6),则0Z= 则B'是M的下顶点. (0,2),Z1Z=(4,4), (2分) 由题知△A'BC'为等边三角形，△A'B'C'的面积 所以OM=λOZ+uZ1Z?=λ(0,2)+μ(4,4)= 即为△ABC的面积. (4,2λ+4μ). 设△ABC的边长为t(t>0), 又OM⊥Z1Z2,所以OM·Z1Z2=0, 由双曲线的对称性可知，当A'和C'同在M'的下 即(4,4)·(4μ，2λ+4μ)=0， 所以入十4μ=0. (8分) 支时，有A(-台，一停-2， 因为OM⊥Z1Z2,所以OM≠0， 代入M的方程，无解； (15分) 所以入与u的关系为入=一4μ（μ≠0）.(10分) (2)若M,Z1,Z2三点共线，则有MZ1=tZ1Z2, 当A有C同在M的上支时，有A-号月一2， t∈R且t≠0或-1. 所以Mò+OZ=t(Z10+OZ2) 代入M的方程得：=2,6，则△ABC的面积为} 即OM=(t+1)0Z,-tOzZ,①. (14分) 由OM=AOZ+Z1Z2, (26X8=63 (19分) 得OM=OZ+u(Z1ò+OZ2), 综上所述，△ABC的面积为6√3. (20分) B ·2