广东省深圳市聚龙科学中学（教育集团）2027届高三上学期调研考试（二）数学试题

《数学试题（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 e A A B D A C ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1.C【详解】集合B={xy=lg(x-}={xx},而集合A={x2<x<4, 所以AB={x|2<x<4}=(2,4).故选：C 2.A详解】a+a+0+-a士，因为为纯店数，所以0，a口 1-i 2 2 1-i 2 3.A【详解】因为定义域均为R且f(x)+g(x)=x(x+I), 所以可得f(-x)+g(-x)=-x(-x+1)=x(x-1), 又因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 即上式可化简为-f(x)+g(x)=x(x-1), 再与f(x)+g(x)=x(x+1)相加可得2g(x)=x(x+I)+x(x-1)=2x2→g(x)=x2, 代入f(x)+g(x)=x(x+1)可得f(x)+x2=x(x+)→f(x)=x,所以f(I)=l,g()=1,即f四)-g()=0. 故选：A. 4.C【详解】因为函数y=x3是定义在R上的单调递增函数，所以d<b3等价于a<b. 选吸本、取06=小，满是方但此时d>分 说明>无法推出口<6，充分性不成立，选项A错误： 选项B、取a=-l,b=-2,满足a2<b2,但此时a>b3, 说明a<b2无法推出<b,充分性不成立，选项B错误： 选项C、对数函数y=gx的定义域为(0，+∞)，且在定义域上单调递增， 若lga<lgb,则0<a<b,可推出a3<b,充分性成立： 若a3<b即a<b,当a≤0或b≤0时，lga或gb无意义，无法推出lga<lgb,必要性不成立， 因此lga<lgb是a3<b的充分不必要条件，选项C正确： 选项D、指数函数y=2是定义在R上的单调递增函数， 2<2等价于a<b,即等价于a3<b3,因此2<2是a3<b的充要条件，选项D错误. 5.B【详解】函数f(x)=sinx+cosx=V2sinx+元 的图象向左平移p(p>0)个单位， 答案第1页（共8页） 得到y=V2simx+p+刀 图象关于y轴对称，即p+T=刀+mkeZ), 4 42 解得p=标+子又>0，当k=0时，勿的最小值为买 4 6.D【详解】设g(x)=x-hx,x>0,则g()=1-1-=1 当0<x<1时，g(x)<0,g(x)单调递减：当x>1时，g(x)>0,g(x)单调递增，故g(x)≥g(1)=1, 显然当a≤0时，fd没有最天值，当a>0时，f=n5a,放因=a=2 7.A【详解】设等差数列{an}的公差为d. 由S3=18,得a+a2+a=a+a+d+a+2d=3a+3d=18①， 由T=10得a,-8+2a2+1=4-8+2(a,+d)+1=10,得3a,+2d=17②， 3a+3d=18 联立①②， 3a+2d=17解得a=5d=l,所以a,=a+(n-1)d=5+n-)x1=n+4. 则e-8=a-m=-1则-62'e 所以T0=(b+b+…+bg)+(b2+b+…+b0）=（-3-1+1+…+15)+(13+17+…+49) -315x10+8490=30, 2 8.C【详解】设|MF上m,NFFn,过点M,N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为M1,N, 则MM=m,NW=n,如图， 因为点A为线段MN的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为d=m+” M 2 在△MFN中，由余弦定理得MNP=m2+n2-2 mn cos 2元=m2+m+mn, 所以 MN IMNP4(m+n+mn)4[(m+n)-mn mn d 2 (m+n)2 (m+m)2 (m+n)2 又(m+m224mn,所以，mn (m+2≤ :（当且仅当m=n时，等号成立)， 所以≥4个-》-3.即的最小值为5。 9.ACD【详解】对于A,因随机变量X~N(1,o2),则μ=1，由正态曲线的对称性可得P(X≤0)=P(X≥2)， 故A正确；对于B,由事件A,B相互独立可知P(AOB)=P(A)P(B),对于随机事件A,B, 都有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B), 答案第2页（共8页） 故仅当A,B互斥时，才有P(A∩B)=0,故结论不成立，即B错误； 对于C,由思意，x=之x,2-2x-=2,对于数据2x+1,2x+1,,2x,+1, n i n i-l 其均值为7-2(2x+)=2x25+m×！-2x+1, n i n 其方差为s”=22x+-x=220x-P=4x2x-=4=4×2=8,故C正确： n na间 对于D,相关指数R越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故 D正确： 10.ABD【详解1对于A点（0与(0的中点为 因为直线x=和x=为函数∫(x)图象上的两条相邻对称轴。 3 所以点（倍，0为高数a钊的肉象与鞋的交点：所以 5π 1 =0,故A正确： 对于B,因为直线x=亚和x 6 2为函数f(x)图象上两条相邻对称轴， ,可得0=2，故B正确： 0 所以+p=akeZ,若0受则p石所以f国=sm2+ 6/: 12c0s2x+ 则由y=c0s2x图象向左平移元个单位得到y=cos2x+】 12 ≠sin2x+ 故C错误； 6 （6 对于D若0<p号由c得-m2x+引当x 5π2π 123 时，则2x+[x,-1s2x+ ”2 0, 6L 所以f(x)在区间 5π2π 12’3 上的值域为[-l,O],故D正确故选：ABD. 11.ACD 【详解】对于A,正四面体顶点A在底面BCD上的投影为底面正ABCD的重心O,连接BO并延长，交CD 于E,连接AE, 所以AO⊥平面BCD,BE⊥CD,E为CD中点 在正△BCD中，OE=BE=×2xsin-5;在正AACD中，AB=2xin=N5 3 33 3 B 在R△A0E中，A0=VAB-OE_2y6 在Rt△AOP中，OP=VPA-AO_2 3 即在平面BCD内，点P的轨迹是以点O为圆心，r 25为半径的圆，A正确 3 对于B,设点P到BC的距离为d. 答案第3页（共8页） 1 F3×2 所以当三棱锥P-ABC体积最大时，点P到BC的距离d最大. 又点P到BC的距离最大值d=5+, 2+r=V3, 3 所以（化，-Ac)n= ,55-29B错发 3 对于C,在正△BCD中，BC⊥DO 因为AP.BC=AO+OPBC=AO.BC+Op.BC=Op.BC, 所以当PO⊥BC时，AP.BC=0,此时AP⊥BC. 故存在点P,使得AP⊥BC,C正确 D.AP.CD-(40+OP)CD-40.CD+OP.CD-OP.CD-OPCDcoSOF.CDcosOP.CD. 3 又ao0rG可l=-1.所以(D.CD）=45此时0p与CD反阿关线 3 散当OP与CD反向共线时，P-CD取到最小值，为-43，D正确 12子/号x【详解】由单位向量a,6满足+2-6-利， 可得子+466+46=心-26+，又因为同=6=1，可得a6=7设向量a与万的夹角为0、且 coso=aB 1 同万2：因为0∈0，列，所以0=2红 3 详解】设等比数列Q的公比为g,由已知9≠山，因为S号 1-9 S。=a0-g9-a0-g0+g 1-9 1-9 S_1_1 S01+g3’g=2,S0=3S, S。-40-g”_a0-g01+g0+g9-s.0+gX1+g°)=80+2X0+4=158. 1-9 1-9 S S 1 So+S203S,+15S,18 4,7详解】掷一枚质地均的骰子3次，总的基本事件数为：6=216，可分为以下四种情祝 a>b>c,可理解为从1到6任选3个数，最大的赋给a,中间值赋给b,最小的赋给c,所以包含的基本 事件数为：C6=20, a=b>c,可理解为从1到6任选2个数，较大的赋给a,b,较小的赋给c,所以包含的基本事件数为：C?=15, a>b=C,可理解为从1到6任选2个数，较大的赋给a,较小的赋给b,c,所以包含的基本事件数为： C%=15,a=b=c,可理解为从1到6任选1个数，把这个数都赋给a,b,c,所以包含的基本事件数为：C6=6, 答案第4页（共8页） 所以所求事件概率为P=20+15+15+67 216 27 15.(1)C=2 a b c ,(②6+2V万【详解K1)设△MBC的外接圆半径为R,由正弦定理，sinsinBsinC =2R, 3 其中R>0.代入已知等式，得2R(sinAcosB+sinBcosA-+2 sinCcosC)=0. 由A+B+C=π，sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以2 RsinC(l+2cosC)=0. 又因为0<C<,所以smC>0.从而coC=弓所以C= 3 (2)自第1)间，C=,且a=2b, 由三角形面积公式Sc=absinc,得25=2)sin2年-56.于是公=4. 32 因为b>0,所以b=2,从而a=4.由余弦定理，c2=a2+b2-2 abcosC=16+4-2×4×2 228. 因为c>0,所以c=2W7.故△ABC的周长为a+b+c=6+2W7. 16.(1)证明如下：取AB的中点F,连接EF,CF,AC, 因为点E是棱PB的中点，所以EF /IPA, 又因为PA⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD,所以PA⊥AB, 因为EF/IPA,所以EF⊥AB,由底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形， 因为F是AB的中点，所以CF⊥AB, 又因为EF∩CF=F,且EF,CFc平面CEF,所以AB⊥平面CEF, 因为CEc平面CEF,所以AB⊥CE (2)取CD的中点M,连接AM,因为F是AB的中点，可得AM/ICF, 因为CF⊥AB,所以AM⊥AB, 又因为PA⊥平面ABCD,且AB,AMC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AM, 以A为坐标原点，以AB,AM,AP所在直线分别为x,,z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设PA=h,可得A0,0,0),B(2,0,0),C1,V5,0,D(-1,V5,0,P0,0,), 所以BC=(-l,5,0,PC=1,5,-h,CD=(-2,0,0), n.PC=x+3y-hz =0 设平面PCD的法向量为n=(化，y,z),可得 i.CD=-2x=0 令y=h,可得x=0,z=5,所以i=(0,h,3): 答案第5页（共8页） 因为点B到平面PCD的离为，可得d= BC.n 3 3 V02++(3 则3h29 解得h=9,所以h=3,所以P0,0,3),且i=(0,3,3) h2+34 又因为平面PAB与y轴所在直线垂直，所以平面PAB的一个法向量为m=(O,L,O), 设平面PMB与平面PCD夹角为0，可得cos0=s(m列=历，3写=5 m1×2521 所以平面PMB与平面PCD夹角的余弦值y 2 17片+y2=1回k=4【详解】1)解：依题意可得b=1,2c=25,又c2=-, =2,所以椭圆方程为+y=1:(2)由思意，过点P2,斜率为k的直线为y1=kc+ 设B(x,y)、C(x2,y2),不妨令-2≤x<x2≤2， y-1=k(x+2) +y2=1,消去y整理得1+4k2)x+16k2+8k)x+16k+16k=0 所以△=(16k2+8k)-41+4k2)16k2+16k)>0,解得k<0, 所以+55- 1+4k2 且线侣附力程为1=，令y=0,鲜得产 x 直线4C的方程为y-1=与，令=0，解得产为 X2 X, 所以N-,w-男-[6+2)+可[(G+2)+可k(6+2G+2列 (s2+2)x-(x+2 2x-x2 k(x2+2)(x+2) (3+206+2)=2, 所以x-x=(s+2)(x+2), 即V(x+x)2-4xx=k[+2(2+x)+4] 16k2+8k 162+16k -k 16k2+16k -4× 6k2+8k\4 1+4k2 1+4k2 1+4k2 +2 1+4k2 里e0+-0+je+-ie[c+16t-20++40:4月 即8 整理得8V-k=4k,解得k=4 答案第6页（共8页） 1800号：@⊙码【详解】1)①号知小明从甲口袋中有散回快出-个白球的秘率为；，从Z袋 64 中摸出一个白球的概率为)，设“小明4次摸球中，至少摸出一个白球为事件A,则“小明4次摸球都是红 ②X的所有可能取值为0,1,2,3,4， 庙0相x=0=P团gPx==G-+-×G Px=2-+-8+c-c8 Px=4-6 P(X=3)=1-111311 9336366 所以E(X)=0x+1x+2x3+3x2+4x是= 15 9 3 36 6 363 (2)易知此时连续摸4次相当于4次独立重复性试验， 设小明每次摸出一个红球的横率为人，则k=产2其中m∈心， 则P)=C-)=4-4,P=122-16=-16&- 所以当0<<时，P()>0:当}<k<1时，P)<0, 所以P)车0引单调港范，在？小上单涧造减， 4 则k=4时，P(k)最大，此时，k=m, 3 m+24 解得m=6. 故当m=6时，商幸绿大此时P)一忍 19.【详解】(1)当a=2时，f(x)=e-2x2-x-1,则f'(x)=e*-4x-1,从而f(1)=e-4,f"(1)=e-5, 故所求切线方程为y-(e-4)=(e-5)(x-1),即y=(e-5)x+1. a为比较e与x+1,令)=1-1-l,共中1>0，则W@- 故u(t)在(0，)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以u(t)≥()=0，等号当且仅当1=1时成立. 取t=e,得e≥x+l,等号当且仅当x=0时成立. 当a时.f)=c--x-1小了e)=心--120，且仅在x=0时取等号，因f创在(-西m)上 答案第7页（共8页） 严格单调递增.所以当x≤0时，f(x)≤f(0)=0,即所证结论成立.(3)由题意，f(0)=0,f'(x)=e-2ax-1. ①当a≤0时，由第(2)问证明中的e-x-1>0(x≠0)，得f(x)=e-x-1-a2>0(x≠0)，故f(x) 只有零点x=0,不符合题意. 图a>0时：记bQ=2为判断e与1+2的大小，令hn0+2四)x,定义域为6，切》 则d)2上。所以h)在6，c)上单调递增，在(G+切)上单调递减，且0)0 当x从右侧趋近b时，h(x)→-o,当x→+o时，h(x)→-o. 当xb时，1+2ar≤0，故f'(x)>0,当x>b时，由指数函数的单调性，f'(x)>0、=0、<0分别等价于 h(x)<0、=0、>0. ②当0<a<.时，b<c<0,由h(x)在(c,+o)上单调递减及h(O)=0知h(c)>0,结合连续性及上述单调 性，h(x)在(b,c)内有唯一零点x。,其另一零点为0. 于是h(x)>0当且仅当x∈(x,0),在定义域内其余非零点处h(x)<0,故f(x)在(-o,x)、(0,+∞)上为 正，在(，0)上为负. 因此f(x)在(-∞，x)、(0,+∞)上分别单调递增，在(x,0)上单调递减. 又f(x)>f(0)=0,当x→-o时f(x)→-o,由连续性和单调性，f(x)在(-o,x)内恰有一个零点，在 [x,0)和(0，+o)上均为正，连同x=0,恰有两个零点，符合题意。 @当a=2时，由第(2)问证明可知f(y在()上严格单调递增，又f0)=0,所以只有一个弯点， 不符合题意. ④当a>时，b<0<c,由()在么，d)上单调递增及(0)=0知()>0，结合连续性及)→ (x→+o),h(x)在(c,+o)内有唯一零点x,其另一零点为0 于是h(x)>0当且仅当x∈(0，x),在定义域内其余非零点处h(x)<0,故f'(x)在(-o,0)、（x,+∞)上为正， 在(0，x)上为负.因此f(x)在(-o,0)、(:,+∞)上分别单调递增，在(0，x)上单调递减. 又f(x)<f(0)=0,当x→+o时f(x)→+0，由连续性和单调性，f(x)在(x,+o)内恰有一个零点，在 (o,0)和(0，x]上均为负，连同x=0,恰有两个零点，符合题意。 综上，a的取值范围为 6 答案第8页（共8页）数学试题（二） 命题人：刘利静、陈琪 审核人：黄东平 时间：2026.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合A={x2<x<4),B={xy=lg(x-1)},则AnB等于() A.(1,+oo) B.[0,+oo) C.(2,4) D.[1,+co) 2.已知aeR,i为虚数单位，若告为纯虚数，则a的值为() A.1 B.2 C.0 D.-1 3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，其定义域均为R,且f()+g()=x(x+),则f)-g(①=() A.0 B.2 C.-2 D.1 4.已知a,beR,则“a3<b3”的一个充分不必要条件是（) 1、1 A.> B.a2<b2 ab C.Iga<lgb D.29<2 5.若将函数f(x)=sinx+cosx的图象向左平移p(p>0)个单位后的函数图象关于y轴对称，则P可取值为 () A君 B. C. D. 3 2 6.已知函数f(间x-血的最大值为2，则a=（ ) A.分 B.1 C 3-2 D.2 7.已知数列{an}是等差数列，bn= an-8n=2k-1 2a,+lm=2k,keN,记8，T,分别为{a},,}的前n项和，若8=18， T2=10,则T0=（） A.370 B.0 C.450 D.1024 8.已知直线I与焦点为F的抛物线C:y=4x相交于M,N两点，且∠MN=号，线段BW的中点A到抛 物线C的准线的距离为d,则W的最小值为( ) 0 A.1 B.√2 C.5 D.2 试卷第1页（共4页） 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是( A.若随机变量X~N(1,σ2)，则P(X≤0)=P(X≥2) B.若事件A,B相互独立，则P(AUB)=P()+P(B) C.若样本数据x,2,…,n的方差为2，则数据2x+1,2x2+1,…,2xn+1的方差为8 D.用相关指数R2刻画回归效果，R越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10.已知直线x=严和x=2匹为函数f()=$i血(@x+p)(@>0)图象上两条相邻的对称轴.则下列说法正 6 3 确的是( 5π A.八2) =0 B.0=2 C.若0<<受，则f)图象可以由y=os@x图象向左平移个单位得到 12 D.若0<0<， 则f(x)在区间 5π2π 12’3 上的值域为[-l,0] 11.在棱长为2的正四面体ABCD中，点P在平面BCD内，且PA=2,则下列说法正确的有() A.点P的轨迹是圆 B.三棱锥P-ABC的体积最大值为 C.存在点P,使得AP⊥BC D.PCD的最小值为-4W 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知两单位向量ā，6满足a+2=a-列，则à，的夹角为 B.改品是等比数别列a的前项和，若号=则一鸟一 S2o+S1o 14.掷一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为4，b,c,则a≥b≥c的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且acos B+bcos A+2 ccos C=0. (1)求C: (2)若a=2b,△ABC的面积为2√5，求△ABC的周长. 试卷第2页（共4页) 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD, 点E是棱PB的中点. 1 (I)求证：AB⊥CE: D 2)若点B到平面PCD的距离为3，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 17.(15分)已知椭圆E:三+茶=1(a>b>0)的一个顶点为4(0，)，焦距为25 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N, 当|MN=2时，求k的值. 试卷第3页（共4页） 18.(17分)已知甲口袋有m（m≥1，meN)个红球和2个白球，乙口袋有n（n21,neN)个红球 和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球 2次，每次摸出一个球. (1)当m=4,n=2时， ①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率： ②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X,求X的数学期望： (2)当m=n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P,求P的最大值 19.(17分)已知函数f(x)=e*-2-x-1. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(Lf()处的切线方程： ②当a=时，证明：当x≤0时，f()s0, (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 试卷第4页（共4页）