周测评(九)三角恒等变换-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（B版）

2026一2027学年度学科素养周测评（九） 数学·三角恒等变换 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.已知0<a<π，cosx= 5,则tan2a= A-i R c- 2.数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就 能完整传达数学定理的证明.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（四边形 DE ABCD为矩形)完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知 AB () A.sin x B.tan x C.tan2x-1 D.1-tan2x 3.若函数f(x)=|cos2wx十2 sin wxcos wx一sin2wx的最小正周期为2，则正实数w= () A .2 C. D.2π 4.已知a,8∈(o,）,cosa-)=,tan atan9=5,则a+8= ( A.3 2π D 5.已知函数fx)=asnx十cos女十)的图象关于直线x=了对称，则a= A.1 B.2 C.-1 D.-2 6.已知8∈(0,2)，且3sina=sin(2g-a),则tana的最大值为 学科素养周测评（九）数学第1页（共4页） 今天所有的劳力，都是明天的底气 A.、② 班级 4 B 4 C、3 4 0 4 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 姓名 题号 7 8 答案 得分 7.已知cos asin B= 3,则以下等式可能成立的有 1 A.sin a cos B=- 2 B.cos 2a-g 1 C.sin asin B-- 2 4 D.cos28 &.定义A=im20,-8。)+sin0:-6)+…+sin0.-9》为一组数据0，02，…，0.相对 n 于常数0。的“正弦方差”.若0∈ 02 组数据0，行相对于0，的“正弦方差”为。，则 入，的取值可能是 () 5 A.4 b.8 1 C.2 D.i 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.《九章算术》中“勾股”章有这样一个题（如图1所示）：“今有井，径五尺，不知其深.立五 尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸.问：井深几何？” 井深 井径 图1 图2 其算法为讲径一人径)X立木_5尺-4寸)X5尺-5丈7尺5寸.如图2所示，已知 入径 4寸 一口井的井径AD=4一3，立木ED=√3，从木末E望水岸B的俯角为75°，则这口井 的井深AB为 10.已知关于x的方程2sinx十cosx=1在[0,2π)内有2个不同的解a,3,则cos(a一B)= 学科素养周测评（九）数学第2页（共4页） B 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)已知函数f(x)=cosx(cos3x+sinx)+sinx(sin3x+cosx). (1)求f(x)的单调递增区间及最小正周期； (2)设m<0,若集合{xf(x)=√2，m≤x≤0}恰有一个元素，求m的取值范围. B 学科素养周测评（九）数学第3页（共4页） 12.(20分)近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生 态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力.为扩大养殖规模，某鱼类养殖场计 划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在OM上，点 C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=,OM=30m,设∠COM=a. 仪 A (1)求扇形OMN的面积. (2)求矩形ABCD的面积S(a). (3)当a为何值时，S(a)取最大值，并求出这个最大值. 学科素养周测评（九）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 @T-言×[晋-(】-5则。 2m-9 8π-4 综上的取值集合为2，号} (20分) 9 (19分) 2026一2027学年度学科素养周测评（九） 数学·三角恒等变换 一、选择题 关于直线x=智对称，则0十智-灰x十分，&EZ。 1.B【解析】由0<a<π，cosa= 5,得sina= 解得0=π十刀， 个6k∈Z则tan0三22.1=3，解 2W5 2tan a 5,故tana二ng=2,所以tan2a cos a 1-tan2a 得a=2. 、4 6.B【解析】3sina=sin2 Bcos a-cos23sina,即(3+ 3 cos 28)sin a-sin 28cos ,sina sin 28 2.D【解析】在Rt△ADE中，由AE=1,∠DEA= cosa3+c0s20,即 2x,可得DE=cos2x,在Rt△AEF中，可得AF= 2sin Bcos B sin 28 2sin Bcos B cosB+sinB AEcos x=cosx,在Rt△ABF中，可得AB= tan a-3+cos 28 3cossinB 3cos'Bsin DE cos 2x cos'x-sin'x AFcos z=cos2x,所以AB=cOs2元 cosBsinB cos'x 2tan B =1-tan'x. 1tanB 1+t2 令t=tanB,则tana= 3.A【解析】f(x)=|cos2wx+2 sin wxcos wx一 3+ 1-tanB' 1+tanB snar=as2ar+sn2ar=2sn(2ar+T）。 2t 1 12 4+2t2= 22√2 =4,当且仅当无=V2时等 共最小正月期T-元-2，解得a= t+ t 号成立. 4.D【解折】由tan atan=5,得如asi加月=5， cos acos B 二、选择题 所以sin asin B=5 cos acos B,又cos(a-β)= 7.BC【解析】对于A,当s血aasB=-2时，sin(a 3 cos acs+-sin asin月=4，所以cos acos B=-g, g)=sin acos-cos asin=-2-31,所以 sin asin B=8,所以cos(a+B)=cos acos B sin acc0sB=)不可能成立，故A错误；对于B) sin esin=-君，又a,Be(0,）,所以a十Be 由cos asin月=3,2 3≤|cosa≤1，则cos2a= 0,x,所以a+日-2 2cos2a-1∈ ,则cs2么=号可能成立故B 1 5.B【解析】f(x)=asin十cos(x+)=asinx 正确；对于C,取sina=-3,c 4 5 5,cosa=5,sinB=6,此 2 1 时cos asin=3,sin asin B=--2,则sin asin月= -√a-》'+si血(x+9,因为f✉)的周象 2可能成立，故C正确；对于D,由cos asin B ·18· ·数学· 参考答案及解析 -号释号<1sm创<1，则m29-1-2aBc 其中sin9= cos 1 =V后，an9=2,画出 2 [1,日】，故c0s2卵=号不可能成立，故D袋花 f(x)的图象以及y=1的图象，结合图象，令x 8.BCD【解析】依题意， sin(管-a）+sin0-9) B=π一2p,所以cos(a-B)=cos(-B)=cosB= 入0 14 cos(x-2)=-cos 2p=sin'g-cos55 (sincos.-cossin,）'+sin0, 5 2 3 12 2sin0+sin20。 2 (a)0 2πx 3 4cos=2。N3cos0sin0。+sn20。十sin0。 2 四、解答题 11.解：(1)由题意得，函数f(x)=sinxsin3x+ 2sin2。- 1 2cos0sin0。+4 cos xcos 3x+2sin xcos x 2 =cos(3x-x)十sin2x 1-720,n2, cos 2x+sin 2x-2 cos 2x+v2 2 sin 2x 2 (3分) -号ga+g如m 1_11 -Esm2x+》, L不≤灭+2kπ，k∈Z, 令-2十2k≤2x十4≤2 -}如(a+》又周为引所以 解得+<管十，E7。 2a+音e[后得m+）e[名小， 所以f(x)的单调递增区间为 智+智+u 故x,∈8 「151 ED,f(x)的最小正周期为2=元 (8分) 三、填空题 9.5十√3【解析】由题可知，∠CED=15°，则在Rt△CDE (2)令fx)=Esim(2z+）=a, 中，CD=EDtan∠CED=√3tan15°=√3tan(45°-30) -i×m5 所以2x+至=受+2x,∈Z。 =23一3.由题可知， 解得x=8十x,k∈乙， (11分) AB DE AABC∽ADEC,则AC=DC,所以AB= 因为m<0,且集合{xf(x)=√2，m≤x≤0}恰 ACXDE (AD-DC)XDE 73-9 DC DC =5+3. 23-3 有-个元米，当及=-1时x=当及=一2 10.-号【解析】茂f6)=2nx十osx,x∈[0， 时，x=-15 8’ (15分) 2x),f(0)=2sin0+cos0=1,所以x=0是方程 所以在m≤x≤0内，fa)=2的解为x=一7π 8 2sinx+cosx=1在[0,2π)内的一个解，不妨设 7π a=0,又f(x)=2sinx+cosx=√5sin(x十p), ·19· B 2027 学科素养周测评 即m的取值范围为一g,一8 15π7π (20分) =300v8f3 1 2 sin 2a+2 cos 2a-2 12.解：(1)由题意，∠MON= 3,扇形半径即OM- =3003sim(2a+g）-1505,0a<号 30m, 即5a)-3003sin2a+g）-1503.0a< 则扇形0MN的面积为号×了×302=150xm3. 1 (14分) (6分) (2)在Rt△OBC中，BC=30sina,OB=30cosa, (3)由(2)知，Sa)=3003sim(2a+君）-1503， 在Rt△OAD中，AD=BC=30sina,则OA= AD30sin 10 sin a Oceg √33 (8分) <2a+g<, 放 所以AB=OB-OA=30cosa-10√3sina. 则S(a)=BC·AB=30sina(30cosa-l0√3sina) 则当a+6-2,即a=名时，Sam=1503. =3003 (3 sin acos a-sin2a) 放当a-时.Se)取最大值，最大值为150，后， =1503 (3 sin 2a+cos 2a-1) (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（十） 数学·函数的应用 一、选择题 2e-2e2+e=3e-2e2<0,h(2)=3e2-2e2+e=e2+e 1.C【解析】函数f(x)=一√元-x十4的定义域 >0,则h(x)在(1,2)上有唯一零点，即方程2e2-e= 为[0，十∞)，且f(x)在[0，十∞)上单调递减，而 (x十1)e在区间(1,2)上有1个解，因此g(x)在区间[1， f(2)=2-√2>0，f(3)=1-3<0,所以f(x)的 2]上的“中值点”的个数为1，即n=1,所以m十n=2. 零点所在的区间是(2,3) S-1 2.C【解析】由题知，当t=0时，y=2.5,即0.5十 4.C【解析】由题意得 In N1 2.85 In N2 3 -1=3.8,即nN=4, ke°=2.5，解得k=2,所以y=0.5+2e6.令0.5 In N2 +2e6<1.得>-1020lh2≈20×0.69 即4lnN2=3lnN1,即lnN=lnNi,即N=N. 5.A【解析】由于f(-x)=cos(-x)-a[(-x) ≈13.8，所以要让教室内二氧化碳浓度低于1%， +1=cosx-a(x2+1)=f(x),所以f(x)是偶 则至少要开窗通风13.8分钟. 函数，要使f(x)在（一1,1）上有唯一的零，点，则 3.B【解析】设f(x)=sinx在区间[0，x]上的“中值 f(0)=0,即f(0)=1-a=0,解得a=1. 点”为x0,又∫'(x)=cosx,则由拉格朗日中值定理 6.A【解析】依题意得b=cosa,d=cosc= 得，f(π)一f(0)=f'(xo)(π-0)，即πcosx0=0,而 0≤a≤3π， x∈0，，则w=分，即fx)在区间[0，]上的 cosx-2）=-cosg且0 解得 “中值，点”的个数为1，因此m=l;设g(x)=xe 在区间[1,2]上的“中值点”为x1,又g'(x)=(x 0≤a≤3π，所以g(a)=b-2d=cosa+2cos2 十1)e,则由拉格朗日中值定理得，g(2)一g(1)= g'(x1)(2-1),即2e2-e=(x1+1)e1,令函数h(x) 2cos号+2cos号一-1.令1=60s号，则[-1,1， =(x+1)e-2e2+e,则h'(x)=(x+2)e,x∈(1， 2),故h'(x)>0,h(x)在(1,2)上单调递增，又h(1)= 因为y=21+22-1在(-1-号)上单调道减， B ·20·