周测评(六)一元函数导数的综合应用-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（B版）

2026一2027学年度学科素养周测评（六） 数学·一元函数导数的综合应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.某跳水运动员在10米高的跳台起跳后，其速度v(单位：米/秒)与时间t(单位：秒)之间 的函数关系式为v(t)=一9.8t十4.7，则该运动员（身高忽略不计）在t=1秒时距离水 面的高度为 () A.9.6米 B.9.7米 C.9.8米 D.9.9米 2.已知函数f(x)=xlnx-ax有极值-e,则a= A.1 B.2 C.e D.3 3.已知命题p:Hx∈(0，十∞)，ex>lnx,则 A.p是真命题，p:3x∈(0，十∞)，e≤lnx B.p是真命题，7p:3x∈(-∞，0)，e≤lnx C.p是假命题，p:]x∈(0，十∞)，e≤lnx D.p是假命题，p:3x∈(-∞，0)，e'≤lnx 4.已知函数f(x)=lnx一√x,则f(2),f(4),f(8)的大小关系为（参考数据：√2≈1.41， ln2≈0.69) () A.f(8)<f(2)<f(4) B.f(8)<f(4)<f(2) C.f(2)<f(4)<f(8) D.f(4)<f(2)<f(8) 5.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如图，分别以OA,OB的方向为 x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与x轴，y轴均相切，A,B两点 间的曲线可近似看成函数f(x)的图象，f(x)的导函数为f'(x),为了让雨水最快排出， f(x) f(x)需要满足螺旋线方程f'(x)=a√十bFm,其中a,6为常数，则 () VA 学科素养周测评（六）数学第1页（共4页） 笔尖刻下的不是字，是未来的轮廓 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 班级 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 8 In a 7 Inb 6 In c 6.已知a,6c∈1，+∞)，。ni0'6-n-ni2则 姓名 A.c>b>a B.a>6>c C.b>c>a D.c>a>b 得分 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 8 答案 e 7.已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示，设函数g(x)=f(x)则 曲线M 曲线W 92 bx A.曲线M为f(x)的图象 B.曲线N为f(x)的图象 C.g(x)在区间[0,2]上是增函数 D.g(x)在区间[a,b]上是减函数 8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,函数g(x)=f'(x),若Hx∈R, f(x)=f(6-x),g(4十x)=g(4-x),则 () A.f(-2)=f(8) B.g(-1)+g(3)=2 c岁g)=0 D.f(0)+f(4)=2 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.若曲线y=e一2x在点(0,1)处的切线与曲线y=lnx在点(xo,lnxo)处的切线的倾 斜角互补，则xo= 10.在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在 矩形的左边上（如图所示），其中AB=12cm若∠FEB=看，则△FAP的面积是 cm.随着点P的位置不同，折痕EF的长度在改变，其最小是 cm. 学科素养周测评（六）数学第2页（共4页） B 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之 美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'(x)是 f(x)的导函数，f"(x)是f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的曲率 f"(x) K- (1+[f'(x)]) (1)求曲线f(x)=1nx+x在(1,1)处的曲率K1的平方； (2)求余弦曲线h(x)=cosx(x∈R)曲率K2的最大值. B 学科素养周测评（六）数学第3页（共4页） 12.(20分)已知函数f(x)=x2-alnx-a(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性，并求相应极值； (2)若a>0,关于x的不等式f(x)>一a一aln2十2e恒成立，求实数a的取值范围. 学科素养周测评（六）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 令h(x)=-2n1-x)+1-x 1 -1,x<1,则 (3)由上述分析可知，当x<一1时，f(x)<0;当 x=-1时，f(x)=0;当x>-1时，f(x)>0. 1 '(x)=x1-)2>0, 结合1D冲了C)的单调性和极小值f(一2》=一， 所以h(x)在（一∞，1）上单调递增， 又h(0)=0,所以当x<0时，h(x)<0恒成立， 作出f(x)的大致图象如图所示， 即t<0,又t∈Z,所以t的最大值为一1.(20分) A 12.解：(1)由于函数f(x)=(x+1)e, 则f'(x)=(x十2)e. y=f(x) 令f'(x)=0,得x=-2. -4-3-2- 当x<-2时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>一2时，f'(x)>0,f(x)单调递增，(4分) e 故f)的极小值为f(-2)=- e,无极大值. 方程f(x)=a解的个数等价于函数y=f(x)的图 象与直线y=a的交点个数： (6分) (2)由(1)知，f(x)在(-∞，-一2)上单调递减，在 当a<-。时，无交点，即方程无解； (一2,0]上单调递增， 则于)在x=-2处取得最小值- 当-1 <a<0时，有2个交点，即方程有2个解； 又f(0)=1,当x>一∞时，f(x)→0， 当a-一或a≥0时，有1个交点，即方程有1 所以当<0时f)的值球为[(12分) 个解. (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（六） 数学·一元函数导数的综合应用 一、选择题 4.A【解析】函数f(x)=lnx一√E的定义域为(0， 1.C【解析】设高度h与时间t的函数关系式为h(t), 则h'(t)=o(t)=-9.8t+4.7,故可设h(t)=-4.9t 十0，又f)=1-12,E,则当0<< x 2x 2x +4.7t+k,因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.9t2+ 4时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x>4时，f'(x) 4,7t十10，则该运动员在t=1秒时距离水面的高度 <0,f(x)单调递减，则f(2)<f(4),f(8)<f(4), 为h(1)=-4.9+4.7+10=9.8米. 又f(2)-f(8)=ln2-√2-ln8+√8=√2-2ln2 2.B【解析】由题意得f'(x)=lnx十1-a(x>0), ≈1.41-0.69×2>0，所以f(8)<f(2)<f(4). 显然f'(x)单调递增，又f(x)有极值，则f'(x)=0 有正根，不妨设为x=xo,则 nx十1-a=0,解得 5.D【解析】观察图象知，函数f(x)单调递减，即 f'(x)<0,于是a<0,又f(x)的图象与y轴相 (coln xo一axo=-e, 切，则当x从大于0的方向趋于0时，f'(x)趋于 [xo=e, 负无穷大，即1+bf(0)趋于0，又f(0)>0,因此b a=2. <0.综上，a<0,b<0. 3.A【解析】设函数f(x)=e-x(x>0),则f'(x) 6.B【解析】设函数f(x)=xlnx(x>l),g(x)= =e-1>0,所以f(x)=e*-x在(0，十∞)上单 调递增，所以f(x)>f(0)=1,所以e>x,x> 18-x)1nx(x≥10)，因为8-ha,?=ln6 a In 10'6In 11' lnx,所以命题p:Hx∈(0，十∞)，e>lnx为真 c=n12,所以alna=8ln10,blnb=71n11, 6 In c 命题.7p:]x∈(0，+∞)，e≤lnx. ·10· ·数学· 参考答案及解析 clnc=6ln12,即f(a)=g(10),f(b)=g(11), =lnx在点(xo,lnxo)处的切线方程为y-lnxo fc)=g12),g'(x)=-1nx+18 一1，显然 =1（红一x,),又直线y=-x十1的斜率为-1， To g'(x)在[10，十∞)上单调递减，g'(x)≤g'(10)<0, 倾斜角为135°，曲线y=e一2x在，点(0,1)处的切 所以g(x)在[10，十∞)上单调递减，所以g(10)> 线与曲线y=lnx在点(xo,lnxo)处的切线的倾斜 g(11)>g(12),即f(a)>f(b)>f(c),又f'(x)= lnx+1,当x>1时，f'(x)>0,所以f(x)在 所以直线y=nxo=Cz一o)的 (1,十o∞)上单调递增，所以a>b>c. 为45，斜率为an45°=1，即=1，x0=1. 二、选择题 7.BD【解析】对于A,B,因为当f'(x)>0时，f(x) 10.8√3；9√3【解析】设∠FEP=∠FEB=0,EF 单调递增，当∫'(x)<0时，f(x)单调递减，所以由 =l,则FP=BF=lsin0,又因为∠AFP=20,所 图可知曲线M为f'(x)的图象，曲线N为f(x)的 以AF=FP·cos29=lsin0cos20.又由AF+ 图象，故A错误，B正确；对于C,D,由图可知当x∈ BF=lsin0cos29+lsin0=12,解得l= (0,a)时，f(x)-f'(x)>0;当x∈(a,b)时，f(x) f'(x)<0,又因为g'()=ef(x)-f'(x] sn91十os20若0=石，则1=16，所以FP- 12 f2(x) 所以当x∈(0，a)时，g'(x)>0,当x∈(a,b)时， 6=8,所以AF=4,AP=43,所以 16sin g'(x)<0,所以g（x)在区间[0，a]上是增函数， 在区间[a,b]上是减函数，故C错误，D正确. △FAP的面积为4X45X2-8w5cm2.周为 8.AC【解析】因为f(x)=f(6一x),所以f(x)的 12 12 图象关于直线x=3对称.令x=一2，得f(一2)= sin01+cos20),所以1= sin 0X2 cos20 f(8),故A正确；因为f(x)=f(6一x),所以 6 f'(x)=-f'(6-x),即g(x)=-g(6-x),所以 sin8×(1-sin'9)令y=t-t(0<t<1),则y' g(4十x)=-g(2-x),因为g(4+x)-g(4-x), =1-32(0<t<1),当te(0,3】 3 时，y'>0,y 所以g(4-x)=-g(2-x),即g(x十2)=一g(x), 所以g(x十4)=-g(x十2)=g(x),则g(x)的 单调递增；当t∈ 停)时y<0y单遂该 一个周期为4.因为f(x)的图象关于直线x=3 对称，所以x=3是∫(x)的一个极值点，所以 √3 所以当t= 2V3 3 时，ymax= ,故lnm=93cm. g(3)=f'(3)=0,所以g(-1)=g(3)=0,则 g(-1)十g(3)=0,故B错误；由g(x十2)= 四、解答题 -g(x),得g(1)+g(3)=0,g(2)+g(4)=0,即 11.解：1)因为f(x)=1nx十，则f'(c)=1+1, 2 g1)+g(2)+g3)+g4=0,所以学g(i) f"(x)= 1 506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1) 23, =0,故C正确；设h(x)=f(x)十c(c为常数)，定义 |f"(1) 1 所以K1= 域为R,则h'(x)=f'(x)=g(x),h(3+x)=f(3+ (1+[f'(1)]2)(1+22)5’ x)十c,h(3-x)=f(3-x)+c,又f(3+x)-f(3 11211 (8分) -x),所以h(3十x)=h(3-x),显然h(x)=f(x) 故K=（写)=3-125 十c也满足题设，即f(x)上下平移均满足题设，显 (2)因为h(x)=cosx(x∈R),则h'(x)=-sinx, 然f(0)十f(4)的值不确定，故D错误. h"(x)=-cosx, 三、填空题 所以K2= h"(x)-cos zl 9.1【解析】设函数f(x)=e一2x,g(x)=lnx,则 (1+'(x)]2)(1+sin2x)’ f'(x)=ew-2,所以f'(0)=e°-2=一1，所以曲 cosx cos2x 线y=e-2x在，点(0,1)处的切线方程为y=一x 则K3=1十simx)=(2-c0s2x)' (12分) +1,又g'x)=,所以g')=,所以曲线y x 令1=2-cosx,则∈1,2]，K=2 t3; ·11· B 2027 学科素养周测评 设pm)=2-t a t3 (2)由(1)可知，当a>0时，fx)在x一√2处取得 则p'e)=-t-322-0）_2-6 极小值，也是最小值，即fx)m=一一2n2’ aa 当t∈[1,2]时，p'(t)<0,p(t)单调递减， (9分) 所以p(t)max=p(1)=1,即K?最大值为1， 所以K2的最大值为1. (20分) a 因为关于x的不等式f(x)>-a一alh2+2e恒 12.解：(1)由于函数f(x)=x2-alnx-a的定义 域为(0，+∞)，所以fa)=2z-a-2x2-a 成立，所以fz)m>-a-aln2+2e, xx (x>0), (2分) aa a、 a 即-2-2ln2>-a-aln2+2e, 当a≤0时，2x2-a>0,即f'(x)>0在 (0,十∞)上恒成立，所以f(x)在(0，十∞)上单 化简得a十aln2>4e, (11分) 调递增，无极值； 当>0时，令f)=2x二a=0,解得工= 令g(a)=a+aln2,a>0, x (=8合去)小 则ga)=1+hg+a×名 2- 2+2, (13分) 则当0<</侣时，f)0f)单调递诚：当 (14分) >√号时，e)≥0,1e)单调递增， 令g'a)=l1n受+2=0，解得a e2 0 故当0<a<。时，g'(a)<0,g(a)单调递减；当 所以f(x)在x= 处取得极小值，极小值为 2 f(-a-a=- a a a>时，g'(a)>0,g(a)单调递增， 2- n2无 极大值 (6分) 易知h号≤-1，所以a+aha+a( 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增， 当a0时ga)→0即当0a<号时ga)a a2 无极值； 当a≥0时，f)在(o号 上单调递减，在 又因为g(2e)=2e十2elne=4e, 所以原不等式即为g(a)>g(2e),根据单调性可 (+上单调递增，极小值为-号一受h台 aa a 得a>2e, 无极大值. (8分) 因此实数a的取值范围为(2e,十∞).(20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（七） 数学·三角函数的概念及诱导公式 一、选择题 边在第一或第三象限，所以当cos0<0,tan0>0 1.C【解析】由cos0<0,得角9的终边在第二或第 时，日为第三象限角 三象限或x轴非正半轴；由tanO>0,得角0的终2.B【解析】设a的终边上有一点P(x,y),则点P B ·12·