周测评(十)函数的应用-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（A版）

2026一2027学年度学科素养周测评（十） 数学·函数的应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.函数f(x)=一√x-x+4的零点所在的区间是 A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 2.教室常常通风，有利于改善学习环境.若教室内二氧化碳浓度在0.35%~0.45%，则教 室内如同一般室外环境；若浓度在0.45%~1%，则教室内空气清新，呼吸顺畅；若浓度 高于1%，则教室内空气浑浊，会使人昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化 碳浓度为2.5%，开窗通风后教室内二氧化碳浓度y%随时间t(单位：分钟)的变化规律 可用函数y=0.5十ke(k∈R)描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于1%，则至少要 开窗通风（参考数据：ln2≈0.69） () A.6.9分钟 B.10.4分钟 C.13.8分钟 D.17.2分钟 3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数f(x)在闭区 间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少存在一个点xo,使得f(b) -f(a)=f'(xo)(b一a),x=xo称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点.若函数 f(x)=sinx在区间[0，π]上的“中值点”的个数为m,函数g(x)=xe在区间[1,2]上 的“中值点”的个数为n,则m十n=(参考数据：π≈3.14，e≈2.72) () A.1 B.2 C.0 D.3 生物丰富度指数d二，八、是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中生花 种类数和生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生 物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.85提高到 3.8,则 () A.3N1=4N2 B.3N2=4N1 C.N3=N D.N=N (In(a-x),x<0 5.已知函数f(x) 的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值 2-x,x≥0 范围为 ) A.(-∞，e) B.(-∞，e2) c.[0,e) D.0,e2) 学科素养周测评（十）数学第1页（共4页） 把答案交给时间，把行动留给自己 6.已知甲、乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是f(x)=cosx(0≤x≤3π)的图 班级 象.某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时， 小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(a,b),小红行走轨迹的点记为(c,d),且 姓名 满足%十c=3x,函数ga)=6-2d,则ga)的一个单调递减区间为 ------------- 得分 甲 .. (货，到 c.） D.(2π，3π) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 8 答案 1 7.已知函数f(x)=x-3x+4,x∈22，则 () A.f(x)在区间 2,2上单递 B.f(x)的值域为[2,6] C.f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=一3x十4 D.当且仅当a∈2,2剁时，关于z的方程f)=a有2个不同的根 8.某校南门前有条长80m,宽8m的公路（如图矩形ABCD),公路的一侧有16个长5m, 宽2.5m的停车位（如图矩形AEFG),由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校 提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边 绿化带及改变停车位方向来增加停车位数量，记绿化带被压缩的宽度AM=3m,停车 位相对道路倾斜的角度∠EAM=a,其中a∈（名，），则 () 绿化带 绿化带 汽车通道 汽车通道 图1（改造前） 图2改造后) 学科素养周测评（十）数学第2页（共4页） A 4 A.cos a= 5 B.cos a= C.该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D.该路段改造后的停车位比改造前增加9个 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位： W/m)清足dx)=10·lg0一般两人正常交谈时声音的等级约为60dB,燃放烟 花爆竹时声音的等级约为150dB,若燃放烟花爆竹时的声音强度为b,两人正常交谈时 音强度为a,则1g x2+2x+3,x≤0， 10.已知函数f(x)= 若存在实数x1,x2,x3且x1<x2<x3,使得 (In x,x>0, f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,则x3(x1十x2+lnx3)的最大值为 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a,投放 后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低 于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空 气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，请说明理由； 如果不能，最多可净化多长时间（精确到0.1小时）？ (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为 达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案（每次投放的瓶数为整数，投放用 时忽略不计)， 参考数据：1g3≈0.477,0.96≈0.53. A 学科素养周测评（十）数学第3页（共4页） 12.(20分)设函数f(x)=e- (1)求f(x)的单调性. (2)证明：当x>0时，(x)>2x+1. (3)若函数F(x)=f(x)一a sin x一1在(0，π)上有零点，求实数a的取值范围. 学科素养周测评（十）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 解得kπ 故ymin=3,则a≤√3， 所以a的取值范围是（一∞，W3]. (20分) 所以f(x)的单调递增区间为 [登++小， 12,解：1)由题意，∠MON=子，扇形半径即OM= k∈Z (8分) 30m, (2)由a)可得af(份x-）-f(分+) 则前形OMN的面积为号×智×30=150xm. asinx-cosx≤2， (6分) 当x=0,x=π时，asin x-cosx=士1<2； (2)在Rt△OBC中，BC=30sina,OB=30cosa, 若x∈(0，π)，则a 2十cos工恒成立，只需要a 在Rt△OAD中，AD=BC=30sina,则OA= sin x < AD√3 即可 (10分) ×30sina=10w3sina, (8分) /min √33 2+cos 所以AB=OB-OA=30cosa-10W3sina. sin x 则S(a)=BC·AB-30sina(30cosa-l0√3sina) 2s如}'+2(eos)}'+(os2)°-(m)月 =300W3(√3 sin acos a-sin2a） 2sin cos2 =1503 (3 sin 2a+cos 2a-1) =3003 (2 sin 2a+ 2 cos 2a- 2 (13分) 2sin cos2 =3003sin(2a+）-1503,0<a< 31 sin 2 即5a)=30w3sin2a+若） 1505.0a< 令t= =tan 2' (14分) c092 (3)由(2)知，Se)=30、3sin(2a+）-150,3, 因为x∈0，，所以受∈(0，）》， 0a子 所以i=iam∈(0，+∞)， π5π 所以2+cosx-3+231t 6<2a+6<6, sin x 2t2tT2’ 则当2a十日-即a-吾时5a)m=1503. T 当：@+w-+号×5-，当 放当a=合时，So)取最大值，最大值为1503m㎡. ,3t 且仅当：2，即t=5时等号成立， (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（十） 数学·函数的应用 一、选择题 1 1.C【解析】函数f(x)=一√元一x十4的定义域 +2e<1,得t>-10ln4=20ln2≈20X0.69 为[0，+∞)，且f(x)在[0，十∞)上单调递减，而 ≈13.8，所以要让教室内二氧化碳浓度低于1%， f(2)=2-√2>0，f(3)=1-W3<0,所以f(x)的 则至少要开窗通风13.8分钟. 零，点所在的区间是(2,3). 3.B【解析】设f(x)=sinx在区间[0，π]上的“中值 2.C【解析】由题知，当t=0时，y=2.5,即0.5十 点”为xo,又f'(x)=cosx,则由拉格朗日中值定理 ke°=2.5，解得k=2,所以y=0.5十2e而.令0.5 得，f(π)-f(0)=f'(x。)(π-0)，即πcosx。=0,而 ·19· A 2027 学科素养周测评 x∈(0，，则=即fx)在区同[0，]上的 cos号在(2x,8）上单调递增且y=c0s号∈ “中值，点”的个数为1，因此m=1;设g（x)=xe 在区间[1,2]上的“中值点”为x1,又g'(x)=(x (-1,-2),此时外函数单调递减：y=c0s号在 十1)e*,则由拉格朗日中值定理得，g(2)一g(1)= 3x上单通增且y-e0s2∈(2o,此 g'(x1)(2-1),即2e2-e=(x1+1)e1,令函数h(x) =(x+1)e-2e2+e,则h'(x)=(x+2)e,x∈(1， 时外函教单调递增，所以ga)在区间(0，智）， 2),故h'(x)>0,h(x)在(1,2)上单调递增，又h(1)= 2e-2e2+e=3e-2e2<0,h(2)-3e2-2e2+e=e+e 8)上单调递减。 (2元，3 >0,则h(x)在(1,2)上有唯一零点，即方程2e2一e= 二、选择题 (x十1)e在区间(1,2)上有1个解，因此g(x)在区间 [1,2]上的“中值，点”的个数为1，即n=1,所以m十n=2. .Bc【解折】对于Af)=x2-3e[合习， S-1 要品N-是 令了)，解得<1，则f)在[日上* 4.C【解析】由题意得 调递减，故A错误；对于B,令∫(x)>0,解得1<x In N2 ≤2，则f(x)在(1,2]上单调递增，则f(x)m=f(1)= 即4lnN2=3lnNi,即lnN=lnNi,即Ni=N. 5.D【解析】由题意，f(x)的图象上存在关于y轴 2,fx)m=mmx分)f(2}=f2)=6,故f) 对称的，点，则y=x十2与y=ln(a一x)的图象在 x<0上有交点，即x十2=ln(a-x)在x<0上有 在17 22上的值城为2,6]，故B正确；对于C,由题意 解，可转化为a=x十e+2在（一∞，0）上有解.令 得，f'(0)=-3,f(0)=4,则f(x)在点(0，f(0)处的 g(x)=x十ex+2,x∈(-∞，0)，则g'(x)=1十 切线方程为y=一3x十4，故C正确；对于D,原问题等 e+2>0,故g(x)在(-∞，0)上单调递增，所以 价于f(x)的图象与直线y=a有两个交，点，由上述分 g(x)<g(0)=e2,且当x→-∞时，g(x)→ 析可得f(x)的大致图象如图所示，要使f(x)的图象 -o∞，所以g(x)∈(-∞，e2),故a<e2,又a-x 与直线y=a有两个交点，则a∈(2,8 。21 ,故D错误 >0恒成立，所以a≥0.综上，实数a的取值范围 为[0，e2). VA 6.A【解析】依题意得b=cosa,d=cosc= 0≤a≤3π， cos(3x-2）=-cos2,且o a 解得 0<3x-名<3x, 0a<3x,所以ga)=6-2d=e0sa+2cos号 0 2os2号+2os号-1.令1=cos号，则u[-1,11, 8.AD【解析】因为AM=3=5cosa+2.5sina- 2.5,所以10cosa十5sina=11,构造对偶式，可得 因为y=22+2-1在(-1，-2)上单调递减， (10cos a+5sin a=11, cos a=m+11 20 得 在(-2,1上单词道增，又y=c0s2在(0，）上 10cos a-5sin a=m, 11-m sin a= 10 单调运浅且y=60s台∈（日，小，北时外画教单 24 4 由cosa+sin2a=1,可得cosa-25或cosa=5, 调递增)=c0s受在（怎，2）上单调递减且y= 又a∈（后》，所以cose=手，故A正确，B错 0s∈(1，》，此时外画数单减y 误；改造后停车位数为(80-3-2)÷25+ 8+1=25, A ·20· ·数学· 参考答案及解析 改造前停车位数为80÷5=16，故该路段改造后的 .9X0.95-3 停车位比改造前增加9个，故C错误，D正确. 由第二个不等式可得n≤0,9-0.9≈7.1， 三、填空题 (18分) 所以5.7<n<7.1. 9.9【解析】依题意得，d(a)=10·lg10=60,则 又因为n∈N,所以n可取6或7. b 1ga十12=6，解得ga=-6;d(b)=10·lg10 所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6 瓶，第二次投放3瓶；或第一次投放7瓶，第二次 6 =150,则1gb十12=15，解得1g6=3,所以1g 投放2瓶 (20分) 12.(1)解：由题意得，f(x)的定义域为{xx≠0}，且 =1g b-1g a=9. (x≠0)！ 10.e3【解析】根据题意作出函数y=f(x)的图象 f'(x)=Gx-1)e+1 如图所示： 设r(x)=(x-1)e十1，则r'(x)=xe, 当x>0时，r'(x)>0,r(x)单调递增，则r(x)> r(0)=0,即f'(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单 3 二0 调递增； 2 当x<0时，r(x)<0,r(x)单调递减，则r(x)> 2 r(0)=0,即f'(x)>0,所以f(x)在(-∞，0)上 单调递增， 综上，f(x)在（一∞，0），(0，十∞)上单调递增 由题意可知y=a与y=f(x)有三个交点，则2 (5分) <a≤3，此时-2≤x1<-1<x2≤0<e2<x3≤ e3,且x1十x2=-2,所以x3(x1十x2十lnx3)= 2证明当>0时，f)=+1,即 (-2+a)e,令g(a)=(-2十a)e(2<a≤3)， er 1 2x2+x+1. 则g'(a)=(-1十a)e>0恒成立，所以g(a)在 (2,3]上单调递增，则g(a)的最大值为g(3)= 令h(x)=e-7x2=z-1, e3,即x3(x1十x2十lnx3)的最大值为e3. 则h'(x)=e2-x-1, 四、解答题 设m(x)=h'(x)=e-x-1,则m'(x)=e-1, 11.解：(1)假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时， 当x>0时，m'(x)>0,即h'(x)在(0，十∞)上单 则9a·(1-10%)r≥3a(x≥0)，所以0.9≥3， 调递增，所以h'(x)>h(0)=0, 故h(x)在(0，十∞)上单调递增，所以h(x)>h(0) (4分) 两边取常用对数得x·lg0.9≥lg3, 1 -0,即e>+z+1成立， 1 所以≤ 故原不等式fx)>2x十1得证. (11分) ≈10.4 (3)解：令函数g(x)=e一a.csin x一x-l, 因为10.4<12，所以不能达到净化目的，最多可 “函数F(x)=f(x)-asin x-1在(0，π)上有零点” 净化10.4小时. (8分) 等价于“函数g(x)=e一a.xsinx-x-1在(0，π) (2)设第一次投放n瓶，第二次投放(9一n)瓶，n 上有零点” ∈N"且n<9,依据题意得 设y=x-sinx,x∈(0，π)，则y'=1-cosx>0, [na(1-10%)≥3a, 所以y=x一sinx在(0，x)上单调递增， na(1-10%)12+(9-n)a(1-10%)≥3a, 因而y>0,即x>sinx, (14分) 故由x∈(0，π)，可得0<xsin x<x2. 由第一个不等式可得n≥。9≈5.7，(16分) 当a号时sin< ·21· A 2027 学科素养周测评 由(2)知，当x∈(0，π)时，g(x)=ex一axsin x 因此t'()在(o,）上存在唯一的零点x x-1>e- 1 2x2-x-1>0, 当x∈(0，xo)时，t'(x)<0,g'(x)单调递减；当 此时g(x)在(0，π)上没有零点，不符合题意，故 x∈(xo,π)时，t'(x)>0,g'(x)单调递增， 舍去 (13分) 又g'(0)=0,g'(xo)<g'(0)=0,g'(π)=e+a元 当a>时gx)=e-a血E-x-1,则g) -1>0,因此g'(x)在(0，π)上存在唯一的零点 x1,且x1∈(x0,x), ef-a(xcos x+sin x)-1, 故当x∈(0，x1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 设t(x)=g'(x), 当x∈(x1,π)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， t'(x)=e*+a(xsin x-2cos x), (17分) 当ze[时d)>0,所以g)单调递增， 又g(0)=0,g(x1)<g(0)=0,g(π)=e"-π-1 >0,所以g(x)在(0，x1)上没有零点，在(x1,x) 当x∈(b,)时，设Gx)=e+a(csin 上存在唯一零点x2, 因此g(x)在(0，π)上有唯一零点x2. 2cosx),则G'(x)=e+a(3sinx十xcos x), 因为e>0,a(3sinx十xcos x)>0,所以G'(x)> 所以当a>2时，函数F(x)=f(x)-asin-1 0,故t(x)单调递增， 在(0，π)上有零点 又10)=1-2a<0,d(）=ei+2a>0, 综上，a的取值范围是（分，+∞）： (20分) A ·22·