周测评(九)三角恒等变换-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（A版）

·数学· 参考答案及解析 2在[0，n)上恰好有6个交点， 即g(x2)∈[-1,3] (16分) 所以红-看<6n-≤5十看解得<n≤。 当x1∈ 时，2x-e ,所以 故n的最大值为元. (13分) 3由2知gc)=2sin6x-）+1, 「3 即h)∈厂2a+3,-a+3' (18分) 若∈引3∈月使-g) a>0, 3 成立，则h(x1)的值域是g(x2)值域的子集，(14分) 所以 a+3≥-1，解得a∈,】, 当，∈b,时，6x-e5所以 a+3≤3， sim6x-）e[-1,1, 即实数a的取值范围为0,3]： 8 (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（九） 数学·三角恒等变换 一、选择题 fx）=2sn(4x-若）-1，因为f(a)=2sn(4×牙 1.B【解析】由0<a<π，cosa= 5,得sina= 若）-1=2n0-1=-1,所以（经0）不是fx) 2tan a 25,故tandsin d=2,所以tan2a1-tan'a cos a 的对称中心，故@错误：对于④，当x∈(0，）时， 2.D【解析】在Rt△ADE中，由AE=1,∠DEA= 吾∈(。-）若f)在o,）上 2x,可得DE=cos2x,在Rt△AEF中，可得AF= AEcos x=cosx,在Rt△ABF中，可得AB= 有且只有两个索点：剔管<行。一吾<“，解得号 AFcos z=cos2z,所以DE-0s2zcos2z-5in2z AB cosx cosx ≤号即w(侵，引故@借民缩上，仅有② =1-tan2x. 正确，故正确结论的个数为1. 3.A【解析】f(x)=|cos2wx+2 sin wx cos wx 5.B【解析】由tan n月=3，可得如asi如日=3，即 cos acos B sire=cos2ar十sn2ar=2sn2ar+F)， sin asin B=3cos acos B,cos(a-B)=cos acos B+ 头爱小正同期T乙-2，解得w一景 sin asin 3,将sin asin B=3 cosc B代入可 4.B【解析】f(x)=2√3 sin wxcos wx一2cos2ax= 得4a8m月=号，解得os8m日=一石，所以 5sin2ar-cos2ar-1=2sn2r-）-1.对于①， sin asin A=-7,故cos(a+g)=cos acos月 若f)的最小正网期为，则-元，得=1，故 sin asin 错误：时于@，当a=2时，f)=2sin(红-石）-1， 6.B【解析】3sina=sin28cosa一cos2 Bsin a,即(3十 cos 28)sin a-sin 2cos a,sin a sin 28 cosa3+cs29,即 y=mx在[名哥引上单洞适增，所以)本区间 2sin Bcos B sin 23 2sin Bcos B cos2Bsin2B tan a= 0,上单调递增，故②正确；对于③，当。=2时， 3cos 2 oBsin Bsint cos B+sinB ·17· A 2027 学科素养周测评 2tan B 2t 1+tanB 1+t2 号n(a,+若》又图为0，∈0，引，所以 2 = 3大1tan2B,令t=tanB>0,则tana月 1-t2 3+十 1+tanB 1+t2 a+后e[后周xm(a+e[安小 2t 1 2 4+2t2= 22√2 4 ,当且仅当t=√2时等 成a.e[昌引 t+ 三、填空题 号成立 9.5十V3【解析】由题可知，∠CED=15°，则在Rt△CDE 二、选择题 中，CD=EDtan∠CED=√3tan15°=√3tan(45°-30) 7BC【解折】对于A,当血eas日=一名时，e -有×甲温部-2行-多自是了物， =-sin cos-0月=-7-了<-1，所0 △ABCO△DBC,则8-B.所以AB- Sinc0s日=一-号不可能成之，放A错联；时于B, ACXDE (AD-DC)XDE 73-9 DC DC =5+3. 由co n8一号得号 3≤cosa≤1，则cos2a= 23-3 2m。-1[日gw2a-号可能流点，改B 16,）【指】由随老释g)=管- 正确；对于C,取sina=-3,c 5,0sa5sn月= 4 r一智）作出两个函教图象，如图所示， 6此 时om血g-号血e月-一专则血n9 2 一2可能成立，故C正确；对于D,由c0 s asin月= y=g(x) 31 得号<nl≤1，则cs9=1-2∈ A,B,C为连续相邻的三个交点，不妨设B在x轴 下方，D为AC的中点，由对称性可知△ABC是以 [1,放m29-号不可能成2，放D错误 B为顶角的等腰三角形，AC=T=2红，由c0sr= 8.BCD【解析】依题意， cos-）,整理得=3 in,故anar sin(g-0）+sin0-9,) 3,所以cosr= √3 2 2,即yc=-yg=?,所 12 (sin3cos-co +sin20o 以BD=2|yB=√3，因为△ABC为钝角三角形， 2 所以/A0B<受所以m/ACB-畏-< 3 12 2sin o +sin200 1,解得0。<甲的取值龙用类，酒 四、解答题 4c0s0, cos0,sn9,+}snr0a,tsin2a, 1,朗：0)面数fa)=sg如十5m十 1 1 >—si2O。c。s0。sip。 2 1 sin 2x+ ×1+c0s2x+ 2 2 4sn2+ 4·c0s2z z雪2②。si豆29。 号如2aea-》6s分 31. 令2-≤2x+≤2x+∈7. A ·18· ·数学· 参考答案及解析 解得kπ 故ymin=3,则a≤√3， 所以a的取值范围是（一∞，W3]. (20分) 所以f(x)的单调递增区间为 [登++小， 12,解：1)由题意，∠MON=子，扇形半径即OM= k∈Z (8分) 30m, (2)由a)可得af(份x-）-f(分+) 则前形OMN的面积为号×智×30=150xm. asinx-cosx≤2， (6分) 当x=0,x=π时，asin x-cosx=士1<2； (2)在Rt△OBC中，BC=30sina,OB=30cosa, 若x∈(0，π)，则a 2十cos工恒成立，只需要a 在Rt△OAD中，AD=BC=30sina,则OA= sin x < AD√3 即可 (10分) ×30sina=10w3sina, (8分) /min √33 2+cos 所以AB=OB-OA=30cosa-10W3sina. sin x 则S(a)=BC·AB-30sina(30cosa-l0√3sina) 2s如}'+2(eos)}'+(os2)°-(m)月 =300W3(√3 sin acos a-sin2a） 2sin cos2 =1503 (3 sin 2a+cos 2a-1) =3003 (2 sin 2a+ 2 cos 2a- 2 (13分) 2sin cos2 =3003sin(2a+）-1503,0<a< 31 sin 2 即5a)=30w3sin2a+若） 1505.0a< 令t= =tan 2' (14分) c092 (3)由(2)知，Se)=30、3sin(2a+）-150,3, 因为x∈0，，所以受∈(0，）》， 0a子 所以i=iam∈(0，+∞)， π5π 所以2+cosx-3+231t 6<2a+6<6, sin x 2t2tT2’ 则当2a十日-即a-吾时5a)m=1503. T 当：@+w-+号×5-，当 放当a=合时，So)取最大值，最大值为1503m㎡. ,3t 且仅当：2，即t=5时等号成立， (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（十） 数学·函数的应用 一、选择题 1 1.C【解析】函数f(x)=一√元一x十4的定义域 +2e<1,得t>-10ln4=20ln2≈20X0.69 为[0，+∞)，且f(x)在[0，十∞)上单调递减，而 ≈13.8，所以要让教室内二氧化碳浓度低于1%， f(2)=2-√2>0，f(3)=1-W3<0,所以f(x)的 则至少要开窗通风13.8分钟. 零，点所在的区间是(2,3). 3.B【解析】设f(x)=sinx在区间[0，π]上的“中值 2.C【解析】由题知，当t=0时，y=2.5,即0.5十 点”为xo,又f'(x)=cosx,则由拉格朗日中值定理 ke°=2.5，解得k=2,所以y=0.5十2e而.令0.5 得，f(π)-f(0)=f'(x。)(π-0)，即πcosx。=0,而 ·19· A2026一2027学年度学科素养周测评（九） 数学·三角恒等变换 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.已知0<a<π，cosa= 5,则tan2a= A.- R专 C、2 3 n-8 2.数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就 能完整传达数学定理的证明.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（四边形 DE ABCD为矩形)完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知 AB () A.sinx B.tanx C.tan2x-1 D.1-tan2x 3.若函数f(x)=cos2wx十2 sin wxcos wx一sin2wx的最小正周期为2，则正实数w= () A C.π D.2π 4.已知函数f(x)=2,3 sin wxcos wx一2cos2wx(w>0),对于①若f(x)的最小正周期为 元，则。=2：②当w=2时，f)在区间0，日上单调递增：③当w=2时，(2经0)是 于红)的一个对称中心：④若了x)在0，)上有且贝有两个零点，则。∈（侣，》其中正 确结论的个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 学科素养周测评（九）数学第1页（共4页） 今天所有的劳力，都是明天的底气 5.已知cos(aB)=-子，tan atan=3,则cos(a十g)= 2 班级 A 1 C.一3 .3 D. 姓名 6.已知9∈0,2），且3sina=sin(2g-a),则tana的最大值为 得分 A. B. 2 4 C.、3 4 D. 4 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 答案 2 7.已知cos asin=3,则以下等式可能成立的有 1 4 A.sin acos B-- 2 B.cos 2a= 9 C.sin asin=-】 2 D.cos2 8定义：A sin2(0,-0)+sim2(0。-0)十…+sin(0。一9o）为一组数据01,02，…，0n相对 n 于常数0。的“正弦方差”.若0∈ o.. 组数据0，骨相对于0。的“正弦方差”为，则 入。的取值可能是 () A子 B C.2 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.《九章算术》中“勾股”章有这样一个题（如图1所示）：“今有井，径五尺，不知其深.立五 尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸.问：井深几何？” E 井深 井径 图1 图2 其算法为讲径-人径×立木_5尺一4)×5尺5丈7尺5寸.如图2所示，已知 入径 4寸 一口井的井径AD=4一√3，立木ED=√3，从木末E望水岸B的俯角为75°，则这口井 的井深AB为 学科素养周测评（九）数学第2页（共4页） A 10.设A,B,C是函数fc)=cos w(w>0)与gz)=sim-uzu>0)的图象上连续 相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.(2分)尼知隔数fe)=sn+引cosx+立n2x+}-月 (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若Vx∈o,对af(分-）-侵+2)≤2恒成立，求a的取值范围. A 学科素养周测评（九）数学第3页（共4页） 12.(20分)近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生 态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力.为扩大养殖规模，某鱼类养殖场计 划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在OM上，点 C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=,OM=30m,设∠COM=a. D 01 (1)求扇形OMN的面积. (2)求矩形ABCD的面积S(a). (3)当a为何值时，S(a)取最大值？求出这个最大值. 学科素养周测评（九）数学第4页（共4页）