精品解析：陕西省宝鸡市三迪中学2026-2027学年度上学期八年级数学第一次学情自测试题

2026-2027学年度第一学期第一次作业检测 八年级数学试题（卷） 一、单选题：（共30分） 1. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. 3，4，6 B. ，， C. 8，15，17 D. 0.9，1.2，1.5 2. 在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 在下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B. 1的平方根等于它的立方根 C. 负数没有立方根 D. 是13的一个平方根 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一茅屋的屋顶剖面图，它呈等腰三角形，屋檐米，横梁米，那么从横梁上的任意一点支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（共21分） 11. 的算术平方根是_________． 12. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 13. 在一直角三角形中，已知两边的长是3、4，则第三边的长是_______． 14. 若，则的平方根是__________． 15. 如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是______． 16. 如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 17. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为_________． 三、解答题：共9题，计75分． 18. 计算： （1）． （2）． 19. 计算： （1） ； （2）． 20. 如图，在6×6的方格图中，每个小方格的边长都是为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画出以A点出发，另一端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的一条线段． （2）画出一个以题（1）中所画线段为腰的等腰三角形． 21. 已知中，，，，求的长． 22. 如图，四边形是一个菜园，已知，，，，． （1）王大叔准备在，两点之间搭建一条篱笆，求篱笆的长． （2）求四边形的面积． 23. （1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 24. 如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度． 25. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 26. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次作业检测 八年级数学试题（卷） 一、单选题：（共30分） 1. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. 3，4，6 B. ，， C. 8，15，17 D. 0.9，1.2，1.5 【答案】C 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、三个数都是正整数但，故A选项不符合题意； B、不满足三个数都是正整数，故B选项不符合题意； C、三个数都是正整数且，故C选项符合题意； D、不满足三个数都是正整数，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 2. 在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：， 无理数有，π，1.010010001…， ∴无理数有3个， 故选：A． 3. 在下列四个式子中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B. 1的平方根等于它的立方根 C. 负数没有立方根 D. 是13的一个平方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴、平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系、平方根和立方根的定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 数轴上的点与实数一一对应， ∴ 选项A错误； ∵ 1的平方根是，立方根是1，两者不相等， ∴ 选项B错误； ∵ 负数有立方根，且为负数， ∴ 选项C错误； ∵ 13的平方根是， ∴ 是13的一个平方根，选项D正确． 故选：D． 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据平方根与立方根的性质，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，选项A符合题意； B．，选项B不符合题意； C．，选项C不符合题意； D．，选项D不符合题意； 故选：． 6. 如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识解决问题的关键．根据勾股定理可求出，则题目可求． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 7. 如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 8. 如图，这是一茅屋的屋顶剖面图，它呈等腰三角形，屋檐米，横梁米，那么从横梁上的任意一点支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，三线合一，过点A作于E，则米，根据勾股定理可求出的长，根据求出线段的长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， ∵米，米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， 由垂线段最短可得， 又∵点D在线段上， ∴， ∴， 故选：B． 9. 有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为； 【详解】展开后图形是： 因为底面周长为，高，故， 故绕礼盒侧面2周后彩带最短为， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，关键是能理解题意知道求出那一条线段长，题目比较典型，是一道比较好的题目． 10. 如图，这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝4，求4的算术平方根即可得到结论． 【详解】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝102﹣4×24＝4， ∴正方形EFGH的边长＝2， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的面积，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题：（共21分） 11. 的算术平方根是_________． 【答案】 【解析】 【详解】的平方根是±，的算术平方根是. 故答案为：. 【点睛】此题考查了算术平方根的概念，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的概念． 12. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】解：∵，，且18＞12， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜ 13. 在一直角三角形中，已知两边的长是3、4，则第三边的长是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当3、4均为直角边时；当3为直角边，4为斜边时；利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：当3、4均为直角边时，第三边长为， 当3为直角边，4为斜边时，第三边长为， 综上所述，第三边的长是或， 故答案为：或． 14. 若，则的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 15. 如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是______． 【答案】##49平方厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明，同理可得，，则． 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 17. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：过点作， 点到的距离为， ， ， 根据勾股定理，得， 当时，如图所示： 此时点与点重合，则 根据题意，得， 解得； 当时，如图所示： ，，，， ， 根据勾股定理，得，， ， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或， 故答案为：或． 三、解答题：共9题，计75分． 18. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据立方根，绝对值，算术平方根的性质化简，再计算即可； （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在6×6的方格图中，每个小方格的边长都是为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画出以A点出发，另一端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的一条线段． （2）画出一个以题（1）中所画线段为腰的等腰三角形． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析. 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出答案； （2）利用等腰三角形的定义得出符合题意的一个答案． 【详解】（1）如图所示：AB即为所求； （2）如图所示：△ABC即为所求． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用网格是解题关键． 21. 已知中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， 答：的长为． 22. 如图，四边形是一个菜园，已知，，，，． （1）王大叔准备在，两点之间搭建一条篱笆，求篱笆的长． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理的逆定理可证明，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 答：篱笆的长为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 23. （1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 【答案】（1）；（2）9 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的性质求出a，b的值，再估算出的大小，可得c的值，即可求解． （2）根据平方根的性质可得，求出a的值，即可． 【详解】解：（1）∵的立方根是3， ∴， 解得， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∵， 解得：， ∵c是的整数部分，而， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）∵正数x的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴正数． 24. 如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则， 在中，由勾股定理可得： ， 整理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米． 25. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：由得， 则， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 26. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】 （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $