25.2.1 配方法（第 1 课时）教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

25.2.1 配方法（第1课时 直接开平方法）教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册 课题名称 直接开平方法 课型 新授课 教学资源 多媒体课件 教学内容解析 内容：直接开平方法解形如x²=p（p≥0）和(x+n)²=p（p≥0）的一元二次方程；降次思想。 内容解析 本课时是人教版（2024）九年级上册第二十五章25.2.1配方法的第1课时（教材P5—P7）。教材以“油漆刷正方体盒子”实际问题引出x²=25，根据平方根意义得x=±5；再通过x²=4、x²=0、x²+1=0三个方程归纳x²=p的三种情况；然后类比迁移到(x+3)²=5，体会“降次”——把二次方程转化为两个一元一次方程。本课时是学生学习的第一种一元二次方程解法，为下一课配方法奠定基础。 目标与目标解析 1. 运算能力：会用直接开平方法解形如x²=p（p≥0）和(x+n)²=p（p≥0）的方程。 2. 推理能力：理解“降次”思想，体会把一元二次方程转化为两个一元一次方程的化归方法。 3. 抽象能力：能根据p的正负分类讨论方程根的情况，体会分类讨论思想。 4. 模型观念：能根据实际问题列出x²=p型方程，并根据实际意义取舍根。 教学重点 运用直接开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p（p≥0）的方程。 教学难点 理解“降次”思想；把(x+n)²=p中的(x+n)看作整体直接开平方。 学情分析 学生已掌握平方根的概念和一元二次方程的基本概念。容易出错：①开平方时漏掉负根（只写x=）；②p<0时仍硬写根；③把(x+n)²=p开平方时错误写成x+n=而漏掉±；④忘记实际问题中负根要舍去。 教学策略：从实际问题引出x²=25→归纳x²=p三种情况→类比迁移到(x+n)²=p→讲练结合，强调“降次”思想和开平方要带±号。 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 一、 复习导入 （约5 分钟） 【复习】 1. 什么叫平方根？正数a的平方根怎样表示？ 答：若x²=a（a≥0），则x叫a的平方根，记作x=±。 2. 求下列各数的平方根： 25的平方根是±5；0的平方根是0；−4有没有平方根？没有。 【实际问题·教材P5】一桶油漆可刷面积1500dm²，恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面。求盒子棱长。 设棱长为x dm，则一个正方体表面积为6x² dm²，列方程： 10×6x² = 1500，整理得 x² = 25。 根据平方根的意义，得 x = ±5，即 x₁=5，x₂=−5。 因为棱长不能为负，所以盒子棱长为5 dm。 教师提问平方根概念。 出示实际问题，引导列方程。 学生根据平方根意义求解。 学生能否正确求出平方根；能否根据实际意义舍去负根。 从实际问题引出解法。 二、 探究一： x²=p型 （约10 分钟） 【教材P5 探究】解下列方程： （1）x²=4； （2）x²=0； （3）x²+1=0。 解： （1）由平方根意义，x=±2，即 x₁=2，x₂=−2； （2）x=0，即 x₁=x₂=0； （3）x²=−1，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根。 【归纳】一般地，对于方程 x² = p： （1）当 p>0 时，方程有两个不等的实数根 x₁=，x₂=−； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x₁=x₂=0； （3）当 p<0 时，因为任何实数的平方都非负，方程无实数根。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程根的方法，叫做直接开平方法。 学生独立解三个方程。 教师引导归纳p>0、p=0、p<0三种情况。 学生能否正确分类讨论；开平方是否带±号。 从特殊到一般，归纳规律。 三、 探究二： (x+n)²=p 型（约10 分钟） 【思考】怎样解方程 (x+3)² = 5？ 把(x+3)看作一个整体，它是5的平方根： x+3 = ±，即 x+3= 或 x+3=−。 所以 x₁ = −3+，x₂ = −3−。 【降次思想】由(x+3)²=5得到x+3=±，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程来解。 【例1】解下列方程： （1）x²−900=0； （2）4x²+1=0； （3）3(x−1)²−6=0。 解： （1）移项得 x²=900，开平方得 x=±30，即 x₁=30，x₂=−30； （2）移项得 4x²=−1，即 x²=−1/4<0，原方程无实数根； （3）移项得 3(x−1)²=6，即 (x−1)²=2，开平方得 x−1=± 所以 x₁=1+，x₂=1−。 【注意】①开平方必须带±号；②先把方程化为x²=p或(x+n)²=p的形式再开方；③p<0时直接判断无实数根。 教师引导把(x+3)看作整体。 学生独立完成例1，教师巡视。 强调降次思想和±号。 学生能否把(x+n)看作整体；开平方是否带±号。 类比迁移，体会降次。 四、 巩固练习 （约12 分钟） 【练习1·教材P6练习】解下列方程： （1）2x²−8=0； （2）9x²−5=3； （3）(x+6)²−9=0； （4）x²−4x+4=5。 答案： （1）x²=4，x=±2，即 x₁=2，x₂=−2； （2）9x²=8，x²=，x=±，即 x₁=，x₂=−； （3）(x+6)²=9，x+6=±3，即 x₁=−3，x₂=−9； （4）(x−2)²=5，x−2=±，即 x₁=2+，x₂=2−。 【练习2】辨析：小明解方程 x²=36 时，写 x=6。他做对了吗？ 答案： 不对。漏了负根。正确应为 x=±6，即 x₁=6，x₂=−6。开平方必须带±号。 【练习3】若关于x的方程 (x−2)²=m 有实数根，求m的取值范围。 答案： 因为(x−2)²≥0，要使方程有实数根，必须 m≥0。 【练习4】解方程：(2x−1)²=(x+2)²。 答案： 两边开平方得 2x−1=±(x+2)。 当2x−1=x+2时，x=3；当2x−1=−(x+2)时，x=− 。 所以 x₁=3，x₂=− 。 学生独立完成练习。 教师巡视，选取漏±号、p<0硬解等典型错误讲评。 学生能否正确开平方；是否带±号；p<0时能否判断无实数根。 分层练习，及时纠错。 五、 总结与 作业 （约3 分钟） 【课堂小结】 1. 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求根。 2. 两种基本形式：x²=p（p≥0）→ x=±；(x+n)²=p（p≥0）→ x+n=±。 3. 降次思想：把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 4. 注意：开平方带±号；p<0时无实数根；实际问题负根要取舍。 【布置作业】 1. 教材第6页 练习第1题； 2. 习题25.2 第1题； 3. 思考：x²+6x+4=0不能直接开平方，怎样把它转化成(x+n)²=p的形式？ 学生自主归纳，教师补充。 学生能否说出直接开平方法的依据和步骤。 为下一课配方法铺垫。 板书设计 25.2.1 配方法（第1课时 直接开平方法） 一、x²=p型 p>0：x=±（两个不等实根）；p=0：x₁=x₂=0；p<0：无实数根 二、(x+n)²=p型（p≥0） x+n=±，即 x₁=−n+，x₂=−n− 三、降次：一元二次方程 → 两个一元一次方程 注意：开平方带±号；p<0无实根 学科网（北京）股份有限公司 $