25.2.1 配方法第2课时教学设计2026—2027学年数学人教版九年级上册

25.2.1 配方法（第2课时）教学设计 课题 配方法 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 教学重点 利用配方法解一元二次方程。 教学难点 把一元二次方程通过配方转化为 的形式。 教学方法 启发式教学、类比迁移、讲练结合 教学准备 多媒体课件、直尺、学案 课后练习 课本P9练习第1-2题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境， 引入课题 1. 创设情境，引入课题 【探究1】填上适当的数，使下列等式成立： （1）　　= （2）　　=(x-　　 （3）　　=(x+　　 （4）　　=（x+　　 （5）　　=（x+　　 观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？ 【师生活动】学生自主完成，小组讨论，师生共同总结：所填常数等于一次项系数一半的平方。答案核对：（1）36、6；（2）36、6；（3）16、4； （4）、（5）、 独立完成 5 个等式填空，小组讨论填的数与一次项系数的关系，归纳：所填常数等于一次项系数一半的平方，即（1）36、6；（2）36、6；（3）16、4；（4）、；（5）、 探究1旨在引导学生回顾完全平方式，为配方法做准备，目的是为了让配方法的思想更自然；填空即配方的最小单元，让学生发现“所填常数等于一次项系数一半的平方”，为后续“移项”“方程两边加一次项系数一半的平方”奠基。 二、类比探究， 归纳解法 2. 类比探究，归纳解法 【探究2】怎样解方程 ？ 分析：如果能将方程左边转化为关于x的完全平方式，右边是非负数，我们就可以直接降次解方程了。那么，如何这样转化呢？ 【学生活动】学生先思考，再讨论。 解这个方程，得 ，。 检验， 是方程 的两个根。 【教师活动】教师总结：像上面这样通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。 总结用配方法解方程的一般步骤： (1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数． (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项． (3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的) (4)方程变形为 的形式． (5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解． 先思考、再讨论如何把 的左边配成完全平方式，经历、、 的过程，得 ，；跟随教师总结配方法及五步骤 将方程 x²+6x+4=0 与 (x+3)²=5 相比较，可发现是要将方程中含 x 的项配成完全平方的形式，为后续“移项”“方程两边加一次项系数一半的平方”等步骤奠基；让学生对照 x²=p 的解法体会降次转化思想。 三、学以致用， 应用新知 3. 学以致用，应用新知 【典例精讲】 例　用配方法解下列方程： （1）；　　（2）；　　（3）。 【答案】 解：（1），； （2），； （3）方程无实数根。 【讲评要点】 （1）配方法的关键：配方时，方程两边加上一次项系数一半的平方，即可把左边配成完全平方式 (x+m)² 的形式；（2）二次项系数不为1时，一般先把二次项系数化为1再配方，如（2）先移项得 2x²−3x+1=0，两边除以2，再配方；（3）把方程配方成 (x+n)²=p 后，需要根据 p 的取值情况对方程的解进行讨论，如（3）配方得 ，因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数都不成立，即原方程无实数根。 【追问】 （1）为什么要在方程两边加上一次项系数一半的平方？去掉这一步，左边还能配成完全平方式吗？（2）方程（3）配方后右边为负数，它在实数范围内有解吗？你能类比 x²=p 的解的讨论说明理由吗？ 独立尝试配方解题：① → → ；② 先移项 ，两边除以2再配方，得 ，；③ 配方得 ，判断无实数根；对照讲评核对，思考 p<0 时无解的原因 以例题为载体完整呈现配方法的三类情形（二次项系数为1、二次项系数不为1、配方后右边为负数）；把方程配方成 (x+n)²=p 后，需要根据 p 的取值情况对方程的解进行讨论，让学生类比 x²=p 的讨论自主完成；一元二次方程不一定有解，这里让学生想一想什么条件下有解，为后面讲判别式埋下伏笔；方程（3）配方后为负，这一步骤应先让学生自己尝试解决。 四、随堂训练， 巩固新知 4. 随堂训练，巩固新知 （1）用配方法解一元二次方程 时，此方程可变形为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 答案：D 解析：移项，得 ，两边加4，得 ，即 【变式】用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 答案：C 解析：两边都除以2，得 ，移项，得 ，两边加 ，得 （2）若代数式 是完全平方式，则 k 的值为（　　） A.3　　B.0　　C.6　　D.±6 答案：D 解析：，所以 −k=±6，即 k=±6。 （3）把一元二次方程 配方，需在方程两边加（　　） A.2　　B.−2　　C.4　　D.−4 答案：C 解析：一次项系数 −4 的一半是 −2，，所以需在方程两边加 4。 （4）解下列方程：① ；　　② 。 解：① 移项，得 。 配方，得 ，即 。 开平方，得 。 所以 ，。 ② 由原方程，得 。 配方，得 ，即 。 所以 或 。 所以 ，。 【变式】解下列方程：① ；　　② 。 解：① 两边都除以4，得 。 移项，得 。 配方，得 ，即 。 开平方，得 。 所以 ，。 ② 方程两边都除以6，并移项，得 。 配方，得 ，即 。 开平方，得 。 所以 ，。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 逐题独立完成：选D（(）；变式先化二次项系数为1，选C（(）；由 是完全平方式得 k=±6；配方 需加4；完整书写① 与② 的配方过程及变式两题；同桌互查、集体订正 通过“选择—变式—选择—选择—解方程—变式”多层次练习巩固配方法；如何配方实际上是利用 a²+2ab+b²=(a+b)² 把二次项系数化为1，可以把注意力放在一次项系数上，为正确配方带来方便；配方关键：配方时方程两边加一次项系数一半的平方，二次项系数不为1时一般先把二次项系数化为1再配方；学生独立完成，教师巡视指导并集中订正。 五、课堂小结， 自我完善 5. 课堂小结，自我完善 （1）一元二次方程“降次”──转化的数学思想。 （2）通过根据平方根的意义解形如 ，知识迁移到根据平方根的意义解形如 的方程。 （3）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法；一般步骤：化1→移项→配方→变形为 (x+m)²=n →开平方求解，配方时方程两边加一次项系数一半的平方。 思想方法：降次转化（一元二次方程→两个一元一次方程）、类比迁移（x²=n→(x+m)²=n）、配方构造（利用 a²±2ab+b²=(a±b)² 配成完全平方式）。 回顾“降次”──转化思想，复述配方法的概念与五步骤（化1→移项→配方→变形为 →开平方），梳理由 迁移到 的解法及降次转化、类比迁移、配方构造思想 “降次”是解一元二次方程的基本策略，通过小结帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，使知识结构化；配方法不仅是解一元二次方程的基本方法，而且也是讨论二次函数等所必备的基础，是一种重要的代数变形工具，应引导学生完全掌握该法。 六、布置作业 6. 布置作业 课本P9练习第1-2题。 要求：先观察二次项系数，不为1时先化为1；移项后，在方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程配成 (x+m)²=n 的形式；n≥0 时用直接开平方法求解，n<0 时判断方程无实数根；书写规范，独立完成。 记录作业，明确要求：先化二次项系数为1，移项后两边加一次项系数一半的平方，配成 的形式再求解，注意 n<0 时无实数根，规范书写 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率；规范配方法的完整步骤，为后续公式法、因式分解法解一元二次方程打下基础。 板书设计 25.2.1 配方法（第2课时） ——配方法 一、回顾：直接开平方法 若 ，则 → 二、配方关键（完全平方式） 两边加一次项系数一半的平方 三、用配方法解一元二次方程 → ， 四、一般步骤 化1 → 移项 → 配方 → 变形 → 开方 注意：右边为负数时方程无实数根 板演：例（1）x²-8x+1=0 的完整过程 学生板演区 教学反思 本节课从回顾完全平方式入手，探究1通过五个等式填空，引导学生发现“所填常数等于一次项系数一半的平方”，为配方法做好铺垫。教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程，因此需熟练掌握完全平方式的形式，如 a²±2ab+b²=(a±b)²。 由解方程 x²+6x+4=0 展开探究，通过“移项→两边加一次项系数一半的平方→配成 (x+3)²=5→直接开平方”的完整过程，让学生体会降次转化思想，并自然过渡到配方法五步骤的归纳；典例与随堂训练涵盖二次项系数为1、不为1及配方后右边为负数三类情形，让学生想一想“什么条件下方程有解”，为后面讲判别式埋下伏笔。 配方法不仅是解一元二次方程的基本方法，而且也是讨论二次函数等所必备的基础，是一种重要的代数变形工具，应引导学生完全掌握该法。个别学生对“两边同时加一次项系数一半的平方”、二次项系数先化为1等步骤易遗漏，需在后续练习中持续强化，并注意书写规范。 学科网（北京）股份有限公司 $