25.2.2公式法 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.2 公式法 知识点梳理 1. 求根公式推导来源 对于一元二次方程 ，由配方法可以推导出求根公式。 配方： 记判别式：。 2. 一元二次方程求根公式 当 时，方程 的实数根为： 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3. 判别式 与根的关系 · ：方程有两个不相等的实数根； · ：方程有两个相等的实数根； · ：方程没有实数根。 4. 公式法解方程步骤 1. 化为一般形式：； 1. 确定系数 （注意连同前面符号）； 1. 计算判别式 ； 1. 判断：若代入求根公式计算根；直接写无实数根； 1. 化简根式，写出两个根。 5. 重要提醒 · 使用公式法前必须整理为一般形式； · 是二次项系数，不能为0； · 判别式是中考高频考点，可不解方程直接判断根的情况。 典型题型 题型1：确定一元二次方程的系数 核心：化为一般形式，注意符号。 例1 将方程 化为一般形式，并写出。 举一反三 将下列方程化为一般形式，并写出。 1. 1. 1. 1. 1. 题型2：利用判别式判断根的情况 思路：计算，根据正负判断根。 例2 判断方程 的实数根情况。 举一反三 判断下列方程实数根的情况 1. 1. 1. 1. 1. 题型3：用公式法解一元二次方程 思路：套公式完整求解。 例3 用公式法解方程：。 举一反三 用公式法解下列方程 1. 1. 1. 1. 1. 题型4：根据根的情况求参数取值范围 核心：二次项系数不为0 + 满足对应条件。 例4 关于的一元二次方程 有两个不相等实数根，求取值范围 （2024武汉元调真题）。 举一反三 1. 方程有实数根，求范围 。 1. 有两个相等实数根，求= 。 1. 无实数根，求的取值范围 。 1. 有两个不等实根，求的取值范围 。 1. 有两个相等实数根，求的值 。 题型5：判别式综合应用 思路：结合代数式、整数根等综合考察。 例5 已知一元二次方程，求证：无论取何实数，方程总有实数根。 举一反三 1. 求证总有两个不等实根。 1. 方程，证明方程一定有实数根。 1. 若方程有整数根，求整数的值。 1. 已知有实根，求的最大值。 1. 当为何整数，方程有整数根。 课后练习 一、选择题（10道） 1. 一元二次方程中，的值依次是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实根 D. 无法判断 1. 方程的判别式的值为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 下列方程没有实数根的是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 用公式法解方程，正确的是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 关于的一元二次方程有两个不等实根，则取值范围（ ） A. ​ B. 且 C. ​ D. 且 1. 一元二次方程的根是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 若方程有两个相等实数根，则（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. 关于的方程有实数根，则取值范围（ ） A. ​ B. 且 C. ​ D. 且 1. 已知一元二次方程，，则（ ） A. 两个相等实根 B. 两个不等实根 C. 无实根 D. 无法确定 二、填空题（5道） 1. 方程的判别式。 1. 一元二次方程化为一般形式是 。 1. 若方程有两个相等实数根，则。 1. 用公式法解方程，则。 1. 若关于的一元二次方程无实数根，则取值范围 。 三、解答题（5道） 1. 用公式法解方程：。 1. 用公式法解方程：。 1. 用公式法解方程：。 1. 求证：无论取何实数，方程总有两个不相等实数根。 1. 已知关于一元二次方程。 （1） 若方程有实数根，求取值范围； （2） 若方程一个根是，求的值及另一根。 参考答案与详细解析 题型1 例题解析 例1： 举一反三 1. ​ 1. ​ 1. ​ 1. ​ 1. ​ 题型2 例题解析 例2：， ，方程有两个不相等实数根。 举一反三 1. ，两个相等实数根； 1. ，无实数根； 1. ，两个不等实数根； 1. ，无实数根； 1. ，两个相等实数根。 题型3 例题解析 例3：， 举一反三 1. ，， 1. ，， 1. ，， 1. ，， 1. ，， 题型4 例题解析 例4：一元二次方程，故； 有两个不等实根： 综上：且。 举一反三 1. 当时，一元一次方程有根；，。综上。 1. ，。。 1. 。 1. 且。 1. ，。 题型5 例题解析 例5： 恒成立，无论取何实数，方程总有实数根。 举一反三 1. ，可以大于0，，总有两个不等实根； 1. ，一定有实数根； 1. ，，任意整数都有整数根； 1. ，最大值； 1. ，，整数。 课后练习解析 一、选择题 1. A。一般式，。 1. B。，两个相等实数根。 1. C。。 1. C。，无实数根。 1. B。整理，。 1. D。。 1. B。，。 1. C。。 1. A。时一次方程有根；，。 1. B。判别式大于0，两个不等实数根。 二、填空题 1. ；。 1. 。 1. ；。 1. 。 1. ；。 三、解答题 1. ​ · 。 1. ​ · 。 1. ​ · 。 1. 证明： · 恒成立，，方程总有两个不等实数根。 1. （1）。 （2）将代入，。方程为，解得另一根。 学科网（北京）股份有限公司 $