山东 淄博市张店区重庆路中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月学情自测试卷

初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，满分40分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 5. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的个数是（ ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 9. 如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 13. 某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 14. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 15. 如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共8个小题，满分90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. “分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 18. 如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 19. 如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点C，连接，． （1）求二次函数的解析式； （2）求的值． 20. 已知二次函数，m为常数． （1）当时，求该二次函数的对称轴； （2）若在该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离． 21. 某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示，飞机在距水面垂直高度为的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点B，点C．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） （1）已知点A与点O所在直线的表达式为，分别求出A，B两点的坐标； （2）若水面上处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁． 22. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量． （1）小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）． （2）小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，） （3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）． 23. 综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，满分40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】7 【14题答案】 【答案】5 【15题答案】 【答案】 三、解答题（本题共8个小题，满分90分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】744米 【18题答案】 【答案】（1） 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； （2）①75 ②的长为厘米 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）直线 （2） 【21题答案】 【答案】（1），； （2）能避开障碍物和暗礁； 【22题答案】 【答案】（1），  和 ，  （2） m （3）不一致． 原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致． 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $