专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形预习讲义 ·理解线段垂直平分线、角平分线的定义，熟练掌握两者的性质，初步了解相关逆命题，并尝试用尺规作出线段垂直平分线和角平分线。 ·认识等腰三角形与等边三角形，准确区分图形各部分名称，牢记等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质以及 “等角对等边” 的判定定理。 ·掌握等边三角形的性质和判定方法，尝试运用所学知识完成简单计算与推理。 ·预习时及时圈画不懂的知识点，整理疑难问题，带着问题认真听课。 预习必备 知识点梳理 1.线段垂直平分线 2.角平分线 3.等腰三角形基本概念 4.等腰三角形的性质 5.等腰三角形的判定 6.直角三角形 常考题型 精讲精炼 1.线段垂直平分线的性质 2.线段垂直平分线的判定 3.角平分线的性质定理 4.角平分线的判定定理 5.角平分线性质的实际应用 6.等腰三角形的定义 7.等边对等角 8.三线合一 9.格点图中画等腰三角形 10.找出图中的等腰三角形 11.等角对等边证明等腰三角形 12.等角对等边证明边相等 13.等角对等边求边长 14.等腰三角形的性质和判定 15.等边三角形的性质 16.等边三角形的判定 17.等边三角形的判定和性质 18.含30度角的直角三角形 19.斜边中线等于斜边一半 20.直角三角形角的性质 21.直角三角形角的判定 强化题型 解答题10题 知识点01:线段的垂直平分线 1.定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点02:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点03:等腰三角形基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点04:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图形 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点05:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点06:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点07.易错点汇总表 易错类别 具体错误 正确做法 线段垂直平分线 混淆直线与线段，和三角形高、中线概念混用 垂直平分线是直线，高、中线是线段 角平分线性质 用斜线段代替垂线段判定距离相等 必须取垂线段，才能用距离相等的结论 角平分线判定 遗漏 “点在角内部” 条件 判定时需保证点在角的内部 尺规作图 画弧半径过小、不标注作图结果 画弧半径大于线段一半，作图后标注结论 内外心区分 混淆交点对应的相等距离 外心到顶点等距，内心到三边等距 三线合一 在腰或非等腰三角形中乱用 仅等腰三角形顶角、底边对应的三线重合 等腰三角形计算 已知边角不明确，不分类讨论 分情况求解，且验证三角形三边关系 性质与判定 混用等边对等角、等角对等边 由边推角用性质，由角推边用判定 等边三角形 忽略它是特殊等腰三角形 可直接套用等腰三角形所有性质 题型1.线段垂直平分线的性质 【典例】到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【跟踪专练1】如图，的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与交于D，E两点，此时的周长是，则______． 【跟踪专练2】如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 题型2.线段垂直平分线的判定 【典例】幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【跟踪专练1】．如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【跟踪专练2】下面是小星同学的尺规作图步骤：（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点；（）画射线；（）连接．根据上面的作图方法，下列结论错误的是（    ） A． B． C．直线是线段的垂直平分线 D．是线段的垂直平分线 题型3.角平分线的性质定理 【典例】如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若的面积为，，则的长为__________． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 题型4.角平分线的判定定理 【典例】如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 【跟踪专练1】如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【跟踪专练2】如图，，连接交于F，连接．结论：①；②；③；④ 平分．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5.角平分线性质的实际应用 【典例】如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【跟踪专练1】三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 【跟踪专练2】某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 题型6.等腰三角形的定义 【典例】等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练1】已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【跟踪专练2】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 题型7.等边对等角 【典例】如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型8.三线合一 【典例】如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【跟踪专练1】如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 题型9.格点图中画等腰三角形 【典例】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练1】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型10.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【跟踪专练1】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【跟踪专练2】如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型11.等角对等边证明等腰三角形 【典例】下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【跟踪专练1】如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【跟踪专练2】如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 题型12.等角对等边证明边相等 【典例】如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】.如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 题型13.等角对等边求边长 【典例】如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于 _______ ． 【跟踪专练1】如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 【跟踪专练2】如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型14.等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线，过的中点M作的垂线，分别交，的延长线于点F，E，若，则的长为__________． 【跟踪专练2】用两张顶角均为的等腰三角形（）纸片无重叠拼出一个四边形，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 题型15.等边三角形的性质 【典例】如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在等边三角形中，为边上的高，的平分线交于点．已知的面积为4，则的面积为___________． 【跟踪专练2.】如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 题型16.等边三角形的判定 【典例】若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【跟踪专练2】已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 题型17.等边三角形的判定和性质 【典例】如图是人字梯的示意图，若支架，的长度都为（连接处忽略不计），当B，C之间的距离为时，不用测量就可以知道的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 题型18.含30度角的直角三角形 【典例】如图，中，，，，D是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【跟踪专练1】如图，在等边中，D、E分别在边上，，连接交于点F，过点A作，交延长线于点G，若，，则的长度为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型19.斜边中线等于斜边一半 【典例】如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 题型20.直角三角形角的性质 【典例】如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【跟踪专练2】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型21.直角三角形角的判定 【典例】在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【跟踪专练1】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【跟踪专练2】.如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 解答题 1．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 2．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 3．如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 4．如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． (1)与全等吗？为什么？ (2)试猜想，有何关系？并说明理由． 5．如图，在等腰三角形中，，为边上的高，E为边上一点，连接交于点F，且． (1)用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点P，交于点G．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，证明：． 6．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 7．如图，在△中，，过点作于点，点E在线段上，连接，过E作于点F，．求证：． 8．如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 9．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 10．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形预习讲义 ·理解线段垂直平分线、角平分线的定义，熟练掌握两者的性质，初步了解相关逆命题，并尝试用尺规作出线段垂直平分线和角平分线。 ·认识等腰三角形与等边三角形，准确区分图形各部分名称，牢记等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质以及 “等角对等边” 的判定定理。 ·掌握等边三角形的性质和判定方法，尝试运用所学知识完成简单计算与推理。 ·预习时及时圈画不懂的知识点，整理疑难问题，带着问题认真听课。 预习必备 知识点梳理 1.线段垂直平分线 2.角平分线 3.等腰三角形基本概念 4.等腰三角形的性质 5.等腰三角形的判定 6.直角三角形 常考题型 精讲精炼 1.线段垂直平分线的性质 2.线段垂直平分线的判定 3.角平分线的性质定理 4.角平分线的判定定理 5.角平分线性质的实际应用 6.等腰三角形的定义 7.等边对等角 8.三线合一 9.格点图中画等腰三角形 10.找出图中的等腰三角形 11.等角对等边证明等腰三角形 12.等角对等边证明边相等 13.等角对等边求边长 14.等腰三角形的性质和判定 15.等边三角形的性质 16.等边三角形的判定 17.等边三角形的判定和性质 18.含30度角的直角三角形 19.斜边中线等于斜边一半 20.直角三角形角的性质 21.直角三角形角的判定 强化题型 解答题10题 知识点01:线段的垂直平分线 1.定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点02:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点03:等腰三角形基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点04:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图形 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点05:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点06:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点07.易错点汇总表 易错类别 具体错误 正确做法 线段垂直平分线 混淆直线与线段，和三角形高、中线概念混用 垂直平分线是直线，高、中线是线段 角平分线性质 用斜线段代替垂线段判定距离相等 必须取垂线段，才能用距离相等的结论 角平分线判定 遗漏 “点在角内部” 条件 判定时需保证点在角的内部 尺规作图 画弧半径过小、不标注作图结果 画弧半径大于线段一半，作图后标注结论 内外心区分 混淆交点对应的相等距离 外心到顶点等距，内心到三边等距 三线合一 在腰或非等腰三角形中乱用 仅等腰三角形顶角、底边对应的三线重合 等腰三角形计算 已知边角不明确，不分类讨论 分情况求解，且验证三角形三边关系 性质与判定 混用等边对等角、等角对等边 由边推角用性质，由角推边用判定 等边三角形 忽略它是特殊等腰三角形 可直接套用等腰三角形所有性质 题型1.线段垂直平分线的性质 【典例】到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【答案】B 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 【跟踪专练1】如图，的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与交于D，E两点，此时的周长是，则______． 【答案】3 【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质得出，，再根据周长定义列式计算，即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ∴，， ∵的周长为， ∴，， ∵的周长是， ∴的周长， ∴， ∴ 【跟踪专练2】如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断是的垂直平分线，由垂直平分线性质得，从而将△的周长转化为，再结合求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹判断是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵， ∴的周长为A． 题型2.线段垂直平分线的判定 【典例】幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 【跟踪专练1】．如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，由题意得，， 进而根据线段垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据得到，代入已知计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， . 由题意知，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ， ∵，四边形的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面是小星同学的尺规作图步骤：（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点；（）画射线；（）连接．根据上面的作图方法，下列结论错误的是（    ） A． B． C．直线是线段的垂直平分线 D．是线段的垂直平分线 【答案】D 【详解】解：由作图可知，，， ∵， ∴，故选项正确，不合题意； ∵， ∴，故选项正确，不合题意； ∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项正确，不合题意； 由作图无法得知，， ∴不能确定点是否在线段的垂直平分线上， ∴不一定是线段的垂直平分线，故选项错误，符合题意． 题型3.角平分线的性质定理 【典例】如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若的面积为，，则的长为__________． 【答案】 18 【分析】首先，过D作于H，然后，根据角平分线的性质得出，最后，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∴， 根据作图知是的角平分线， 又∵，， ∴， ∵的面积为，即， ∴． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 【详解】解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 题型4.角平分线的判定定理 【典例】如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 【跟踪专练1】如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，连接交于F，连接．结论：①；②；③；④ 平分．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设交于点O，证明，可以判断①②，由，，可以判断③，过点C作，于点G，H，由，得，根据角平分线的性质可以判断④． 【详解】解：如图，设交于点O，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误； 过点C作，于点G，H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分，故④正确， 综上所述：结论正确的为①②④，共3个． 题型5.角平分线性质的实际应用 【典例】如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 【跟踪专练1】三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 【答案】4 【分析】此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知． 【详解】 解：如图 故答案为：4． 【跟踪专练2】某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 题型6.等腰三角形的定义 【典例】等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需分情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，得到正确结果. 【详解】解：∵等腰三角形已知两边长为和，第三边有两种可能，分情况讨论： ∴当第三边长为， ∵ ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当第三边长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形； ∴第三边长为. 【跟踪专练1】已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【答案】11或13 【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是11或13． 【跟踪专练2】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 题型7.等边对等角 【典例】如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵，，点在边上，的周长为13， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误； 且题干中没有给出的大小，故D选项错误； 故选：C 【跟踪专练1】如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 ，利用等边对等角得到 ，再根据角平分线的定义得到 ，即可求解． 【详解】解： 的垂直平分线交 于点 ， ． ． ， ． 平分 ， ． ． 【跟踪专练2】如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，利用“”可证即可判定①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，即可判定②；利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，进而可得，即得，又由全等三角形的性质得，即得到，由三角形的边角关系可得，即得到，即可判定③④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵，， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③错误； ④由③知，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故选：． 题型8.三线合一 【典例】如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果． 【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，， ，， ． 【跟踪专练1】如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【答案】6 【分析】根据在中，，D是的中点，于点E，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题等腰三角形三线合一的性质．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故选：A． 题型9.格点图中画等腰三角形 【典例】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 【跟踪专练1】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 【跟踪专练2】我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 题型10.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，，，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 题型11.等角对等边证明等腰三角形 【典例】下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，分两种情况求解是解题的关键．设点P、Q的运动时间为，，分和两种情况，分别列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：， ， 点D是的中点， ， 设点P、Q的运动时间为，， 则，， 当，时，， ， 解得， 点Q的速度为； 当，时，， ， 解得， 点Q的速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识．根据为等边三角形得到，根据，求出．同理可得，，……，得到规律即可求出边长为． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 同理可得，，…… ∴ ∴边长为． 故选：D 题型12.等角对等边证明边相等 【典例】如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】.如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 【跟踪专练2】在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =． 题型13.等角对等边求边长 【典例】如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于 _______ ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义及平行线的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵的周长为，， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边． 设，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，设， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长到点H，使得，连接，证明得到，再证明，得到，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型14.等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，平分，得到是底边上的中线，继而得到的长度． 【详解】解：，平分， 是等腰底边上的中线， ． 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线，过的中点M作的垂线，分别交，的延长线于点F，E，若，则的长为__________． 【答案】7 【分析】延长至点N，使，连接，设交于点G，推导出，得到，进而推导出，得到，证明，得到，则，即可解答． 【详解】解∶延长至点N，使，连接，设交于点G，如图 ∵M为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】用两张顶角均为的等腰三角形（）纸片无重叠拼出一个四边形，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、三角形内角和、垂直定义，先利用等腰三角形性质和三角形内角和求出各角度数，再分两种拼接情况，根据平行线判定和垂直定义判断各选项．已知两个等腰三角形顶角均为，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为，可得两个三角形的底角均为. 将、分别与重合拼接得到四边形，再判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①两个三角形分别在两侧： 此时，，则，同旁内角互补，因此，选项A正确；，与不平行，选项B错误；此时，，都不为，此拼法下选项，不成立；   ②两个三角形在同侧： 如图2，此时，，则，同旁内角互补，因此，选项A正确；因为和居于两侧，所以与相交，故不成立，选项B错误；此时，，都不为，此拼法下选项，不成立． 题型15.等边三角形的性质 【典例】如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在等边三角形中，为边上的高，的平分线交于点．已知的面积为4，则的面积为___________． 【答案】12 【分析】利用等边三角形“三线合一”的性质（高、中线、角平分线重合），结合角平分线的性质与三角形面积的比例关系，推导各部分面积之间的联系，进而求出的面积． 【详解】解：在等边三角形中，为边上的高， 同时是的中线和的角平分线； 是的平分线， ． 是的角平分线， ， 是的角平分线， ， ， 即． 在中，，则， ， 即． ． ， ． ． 是的中线， ． ． 【跟踪专练2.】如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型16.等边三角形的判定 【典例】若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查平方的性质，等边三角形的判定，熟记平方的性质是解题的关键． 由平方和为零可得，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴，， 即且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定． 根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可． 【详解】证明：，，， （全等的判定方法为） ，即为等边三角形． 即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形， 只有选项B符合； 故选：B． 题型17.等边三角形的判定和性质 【典例】如图是人字梯的示意图，若支架，的长度都为（连接处忽略不计），当B，C之间的距离为时，不用测量就可以知道的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，由题意可得，从而得出为等边三角形，即可得出结果，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 【答案】，，是等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形得到，，结合已知条件可得，即可证明，那么，那么可得到是等边三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】结合等边三角形和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可知，利用角平分线的判定可证平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等易得，故④正确． 【详解】解：∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中，， ∴， ∴， 故①正确； 又∵，，， ∴， ∴， 故②正确； 连接，过分别作于，于，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， 所以③正确； 如图2，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 题型18.含30度角的直角三角形 【典例】如图，中，，，，D是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵D是的中点， ∴． 【跟踪专练1】如图，在等边中，D、E分别在边上，，连接交于点F，过点A作，交延长线于点G，若，，则的长度为________． 【答案】5 【分析】证明，得到，，求出，根据得到，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形的性质得出，根据尺规作图得出，最后根据三角形底边和高的特征得出面积比． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由尺规作图可得，， ∴， ∴，且与等底同高， ∴． 题型19.斜边中线等于斜边一半 【典例】如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：在中，，，点为的中点， ． 【跟踪专练1】如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，，，． ∴， 在中，，是斜边上的中线， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 由，可以得出是等腰三角形，故越大，就越大．当点D与点A重合时，取最大值．计算出此时的值，对比选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴越大，就越大， 当点D与点A重合时，取最大值，即取最大值，如图， . 此时， ∵， ∴， ∴，即点C为斜边的中点， ∴， ∴点D运动过程中，，只有选项A符合． 故选：A． 题型20.直角三角形角的性质 【典例】如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴. 【跟踪专练1】如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【答案】50 【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ． ， ． ， ． 【跟踪专练2】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型21.直角三角形角的判定 【典例】在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 【跟踪专练1】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 【跟踪专练2】.如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 解答题 1．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 【详解】（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积， ∴． 2．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，容易证得，得到，结合，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可证明结论． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ，， ∴． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分． 3．如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． (1)与全等吗？为什么？ (2)试猜想，有何关系？并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)，，理由见解析 【分析】（1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，，通过角之间的等量代换，得出即可得到． 【详解】（1）解：全等，理由见解析： ， ， ， 在与中， ， ； （2）解：，，理由如下： 由（1）知，， ，， ∵，， ∴， 即， ， ， ∴， 则． 5．如图，在等腰三角形中，，为边上的高，E为边上一点，连接交于点F，且． (1)用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点P，交于点G．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，证明：． 【答案】(1)如图， (2)证明：如图，连接， ∵是等腰三角形，， ∴的垂直平分线过点B，且， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【分析】（1）利用尺规作垂直平分线的方法作图； （2）连接，由三线合一得到，证明，得到，然后证明，然后利用三线合一证明． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)，，，，， 证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，进而证明和，则，，因此．由等腰三角形的性质可得，，，从而证明和． （2）证明步骤见（1）． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，在△中，，过点作于点，点E在线段上，连接，过E作于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，得到，继而证明，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，， ， ，，． ， ，， ， ． 8．如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由题意易得是直角三角形，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】（1）证明：为边上的高， 都是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：为边上的高， ， ， ， 是直角三角形， 为边上的中点，， ． 9．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 10．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由垂直的定义得到，求出，即可证明是等边三角形； （）由含度角的直角三角形的性质求出，得到，再由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $