专题 3.10 全等三角形作辅助线常用方法讲义（七大题型）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题 3.10 全等三角形作辅助线常用方法讲义（七大题型） 目录 【题型1】连接两点 1 【题型2】作垂线 4 【题型3】延长相交 9 【题型4】作辅助线构造一线三直角 13 【题型5】倍长中线 17 【题型6】截长补短（1） 21 【题型7】截长补短（2） 28 【题型1】连接两点 方法：（1）题目中出现等腰三角形、线段相等、对顶三角形时，常用连接公共边或连接顶点与中点构造全等；（2）通过连接辅助线，构造出公共边、相等角或中线，直接利用 SAS、SSS、ASA 等判定全等；（3）借助全等实现线段转化、角转化、面积转化，用于证明相等、求长度或判断面积是否不变。 【例题1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．先证明，从而推出，最后利用求得答案． 解：连接，如图， ，，， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：3． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由已知可得是公共角，，结合各选项的条件即可作出判断． 解：∵， A. 添加条件，根据可以证明，该选项不符合题意 B. 添加条件    ，根据可以证明，该选项不符合题意， C. 添加条件，不可以证明，该选项符合题意， D. 添加条件，连接， ∵， ∴， ∴，再根据可以证明，该选项不符合题意， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 连接，证出得出，设，得出，，即可解得． 解：连接， 设， ，， ， ， ， ， 的周长为12， ， 的周长为6， ， ， 解得：， ∴． 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，点是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数是______° 【答案】150 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是构造全等三角形． 由等边，线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，得，得三角形是等边三角形，得，得，由，得，即可得． 解：连接， 由等边，线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， 得， 得三角形是等边三角形， 得， 得， 由， 得， 得． 故选：D． 【题型2】作垂线 方法（1）构造直角三角形，可用AAS、ASA 证明全等；（2）实现线段、角的等量转移，把分散条件集中；（3）创造公共直角，为全等提供角相等条件。 【例题2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在四边形ABCD中，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 先作，，再证明，可得，进而得出，可得，最后根据勾股定理得出答案.． 解：如图所示，过点D作，于点E ，作，交延长线于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在等腰直角中，已知，于点，，则的面积是（   ） A．16 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 作交于E，根据等角的余角相等得到，证明，得到，即可求出的面积． 解：如图，作交于E， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作，证明出，得到，，，，然后证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图是模拟海盗船娱乐场景的示意图．当海盗船静止时，转轴到地面的距离，当海盗船在处时，此时测得点到地面的距离，当船从处摆动到处时，，且到地面的距离，则海盗船静止时到地面的距离（）是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作垂线，构造直角三角形． 过点作，，垂足分别为，先证明，，然后在中，运用勾股定理求解即可． 解：过点作，，垂足分别为， ∴， 由题意得，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】延长相交 方法：（1）构造 “8 字型全等”延长线段相交，形成对顶角，配合已知相等边或角，直接出全等；（2）补全三角形把折线、不规则图形补成完整三角形，方便用判定定理进行证明；（3）转移边与角让原本不在同一组三角形里的线段、角，通过全等 “搬” 到一起。 【例题3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 【答案】证明：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 【分析】延长交于点F，则 ，可得，由，可得，根据证得两三角形全等即可完成解答． 解：略 【变式1】（2025·浙江台州·二模）如图，在和中，，平分．若，，则的长为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，分别延长相交于点E，证明，得出，，根据勾股定理求出，在中根据等面积法求出即可． 解：如图，分别延长相交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，于点于点A，点是的中点，若，则的长是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：延长交于点F，然后证明可得，，进而得到、，最后运用勾股定理求解即可． 解：如图：延长交于点F． ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理可得． 故答案为：8． 【变式3】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 解：如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ， 故选：A． 【题型4】作辅助线构造一线三直角 方法：（1）遇到直角、垂直、90° 角条件时，过关键点向同一条直线作垂线，构造一线三直角模型；（2）利用同角的余角相等得出角相等，结合已知边相等证明三角形全等，实现线段与角的转移；（3）通过全等将未知线段转化为已知线段，再利用线段和差或面积公式完成计算与证明。 【例题4】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点E作于F，先证明得到，，进而证明得到，再根据线段之间的关系即可得到答案． 解：如图所示，过点E作于F， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故选：B 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；根据题意证明得出，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 解：如图所示，过点作于点，则， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴ 在中， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是________． 【答案】17 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，作辅助线构造全等是解题的关键；作于D，作于E，证明，再根据勾股定理求解即可． 解：作于D，作于E，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：17． 【变式3】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 解：如图，过点作，交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【题型5】倍长中线 方法：（1）看到中点、中线，优先用倍长中线法，延长中线使两段相等，构造全等三角形； （2）通过全等将分散的边、角、线段转移集中，放到同一个三角形中利用三边关系或等腰三角形性质解题； （3）遇中点相关线段和差、角度证明、线段相等问题，均可用倍长造全等实现条件转化与代换。 【例题6】（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，，中线，则的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；延长到点，使，连接，可证明，则，所以，则，然后问题可求解． 解：如图，延长到点，使，连接，则， 是的中线，， ， ∵， ∴， ∴，， ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． 【变式1】（24-25八年级下·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，中线，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的判定以及性质，三角形中线的有关计算，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．且．延长至点E，使，连接．再证明，由全等三角形的性质得出，再利用勾股定理求解即可． 解：在中，，中线， ， ∵， ， 是直角三角形．且． 如图，延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ． ， ． ，，． ． ． 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则，由题意可得，证明，得出，再由三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴边上的中线长可能是， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图， 中，是 边上的中线，，，那么边长度的取值范围是_________ 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，则，然后证明，再由三角形的三边关系建立不等式组求解即可． 解：∵，， ∴，， 延长至点，使得，连接，则 ∵是 边上的中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得． 【题型6】截长补短（1） 方法：（1）当题目出现线段和差关系，或角平分线条件时，采用截长或补短作辅助线；（2）在较长线段上截取一段等于已知短线段，连接相应线段，构造全等三角形，实现线段等量代换；（3）通过全等将分散的线段关系集中，把和差证明转化为线段相等证明，完成推导。 【例题7】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为__________． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1），9；（2）；（3），证明如下： 如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质得，，则，进而得到，则有，再利用线段的和差即可求出的长； （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差即可求出的长； （3）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论． 解：（1）由折叠的性质得，， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：，9； （2）如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ； （3）略 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式3】（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【答案】解：方法一：如图①，在上截取，使，连接． 在和中， ， ． 在中，，即， ． 方法二：如图②，延长到，使，连接． 在和中， ， ． 在中，， 即， ． 【分析】（1）截长法：在上截取，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． （2）补短法：延长至点使，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． 解：略 【题型7】截长补短（2） 方法：（1）当题目出现线段和差关系、对角互补或等边 + 角平分线条件时，采用补短法作辅助线；（2）延长短线段，使延长部分等于另一短线段，构造全等三角形，实现线段与角的转移；（3）通过两次全等，将分散的线段整合，把证明线段和转化为证明线段相等，完成结论推导。 【例题8】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，点分别在边上．连接，且． （1）若，则的长为______． （2）若，则的值为______． 【答案】 10 4 【分析】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算； （2）延长至点，使，连接，证明≌，得到，证明≌，，设，，再结合勾股定理计算即可． 解：（1）∵， ∴； （2）如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ≌， ，， ， ， ， 即． 在和中， ≌， ， ，设，， 则，，， ， 在中，， ， ． ， ， 即， 的值为4． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是_____（填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得所以，可判断①正确；由，可知，不平分，可判断③错误；因为，所以，可判断②正确；由，且，得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 解：延长到点，使，连接，则， ∵于点，于点， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 故①正确，②正确； ， ， 不平分， 故③错误； ，且， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点拨】此题重点考查多边形的内角和、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点G，使得，证明，得到，，进而得出，再证明得到，即可解答． 解：延长至点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，，连接．若，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长到点，使得，连接．根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形再由勾股定理求解即可． 解：如图，延长到点，使得，连接． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.10 全等三角形作辅助线常用方法讲义（七大题型） 目录 【题型1】连接两点 1 【题型2】作垂线 2 【题型3】延长相交 3 【题型4】作辅助线构造一线三直角 4 【题型5】倍长中线 5 【题型6】截长补短（1） 6 【题型7】截长补短（2） 8 【题型1】连接两点 方法：（1）题目中出现等腰三角形、线段相等、对顶三角形时，常用连接公共边或连接顶点与中点构造全等；（2）通过连接辅助线，构造出公共边、相等角或中线，直接利用 SAS、SSS、ASA 等判定全等；（3）借助全等实现线段转化、角转化、面积转化，用于证明相等、求长度或判断面积是否不变。 【例题1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，点是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数是______° 【题型2】作垂线 方法（1）构造直角三角形，可用AAS、ASA 证明全等；（2）实现线段、角的等量转移，把分散条件集中；（3）创造公共直角，为全等提供角相等条件。 【例题2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在四边形ABCD中，则__________． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在等腰直角中，已知，于点，，则的面积是（   ） A．16 B．4 C．8 D．6 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为______． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图是模拟海盗船娱乐场景的示意图．当海盗船静止时，转轴到地面的距离，当海盗船在处时，此时测得点到地面的距离，当船从处摆动到处时，，且到地面的距离，则海盗船静止时到地面的距离（）是______． 【题型3】延长相交 方法：（1）构造 “8 字型全等”延长线段相交，形成对顶角，配合已知相等边或角，直接出全等；（2）补全三角形把折线、不规则图形补成完整三角形，方便用判定定理进行证明；（3）转移边与角让原本不在同一组三角形里的线段、角，通过全等 “搬” 到一起。 【例题3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 【变式1】（2025·浙江台州·二模）如图，在和中，，平分．若，，则的长为___________． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，于点于点A，点是的中点，若，则的长是______． 【变式3】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【题型4】作辅助线构造一线三直角 方法：（1）遇到直角、垂直、90° 角条件时，过关键点向同一条直线作垂线，构造一线三直角模型；（2）利用同角的余角相等得出角相等，结合已知边相等证明三角形全等，实现线段与角的转移；（3）通过全等将未知线段转化为已知线段，再利用线段和差或面积公式完成计算与证明。 【例题4】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是________． 【变式3】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型5】倍长中线 方法：（1）看到中点、中线，优先用倍长中线法，延长中线使两段相等，构造全等三角形； （2）通过全等将分散的边、角、线段转移集中，放到同一个三角形中利用三边关系或等腰三角形性质解题； （3）遇中点相关线段和差、角度证明、线段相等问题，均可用倍长造全等实现条件转化与代换。 【例题6】（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，，中线，则的面积为_____． 【变式1】（24-25八年级下·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，中线，则的长为_____． 【变式2】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【变式3】（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图， 中，是 边上的中线，，，那么边长度的取值范围是_________ 【题型6】截长补短（1） 方法：（1）当题目出现线段和差关系，或角平分线条件时，采用截长或补短作辅助线；（2）在较长线段上截取一段等于已知短线段，连接相应线段，构造全等三角形，实现线段等量代换；（3）通过全等将分散的线段关系集中，把和差证明转化为线段相等证明，完成推导。 【例题7】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为__________． 【变式1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是______． 【变式3】（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点． 求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【题型7】截长补短（2） 方法：（1）当题目出现线段和差关系、对角互补或等边 + 角平分线条件时，采用补短法作辅助线；（2）延长短线段，使延长部分等于另一短线段，构造全等三角形，实现线段与角的转移；（3）通过两次全等，将分散的线段整合，把证明线段和转化为证明线段相等，完成结论推导。 【例题8】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，点分别在边上．连接，且． （1）若，则的长为______． （2）若，则的值为______． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是_____（填写正确的序号） 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是_____． 【变式3】（2025·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，，连接．若，，则的长为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $