精品解析：上海市市南中学2026-2027学年高三上学期0月素养检测数学试卷

2026学年年高三年级10月素养检测数学 考生注意： 1．本卷共4页，21题，满分150分．完成时间120分钟． 2．分设题卷和答纸，题卷包括问题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答纸上，在题卷上作答一律不得分． 3．答题前，务必用钢笔或圆珠笔在答纸正面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分．其中第1-6题每题满分4分，第7-12题每题满分5分） 1. 已知集合，，则___________． 2. 关于的不等式的解集为___________． 3. 已知，若，则___________． 4. 已知，若，则的最大值为__________． 5. 如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 6. 的二项展开式中，的系数为____________. 7. 已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 8. 已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 9. 已知复数满足的最小值为___________ 10. 在中，若，，，则的最大值为___________． 11. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 12. 如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，点分别在线段上，，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形材料，则矩形面积最大时，的长为___________．（精确到0.1） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案 13. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 14. 设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 15. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 16. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 18. 设 （1）解不等式： （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且方程在区间上有且仅有1个解，求实数的取值范围． 20. 已知双曲线， （1）求双曲线离心率： （2）过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 21. 设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年年高三年级10月素养检测数学 考生注意： 1．本卷共4页，21题，满分150分．完成时间120分钟． 2．分设题卷和答纸，题卷包括问题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答纸上，在题卷上作答一律不得分． 3．答题前，务必用钢笔或圆珠笔在答纸正面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分．其中第1-6题每题满分4分，第7-12题每题满分5分） 1. 已知集合，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，则. 2. 关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得到，解得， 所以不等式的解集为. 3. 已知，若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，且， 所以，解得. 4. 已知，若，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得到答案. 【详解】因为，所以，解得， 当且仅当即，时，等号成立． 所以的最大值为2. 故答案为：2 5. 如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 【答案】166.5 【解析】 【分析】直接利用百分位数计算公式即可； 【详解】由茎叶图可知共10个数据， ，是整数，第百分位数为第 6 项和第 7 项数据的平均值. 由茎叶图，可知第6项：166；第7项：167. 故第百分位数为. 6. 的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 7. 已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 8. 已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 【答案】 【解析】 【详解】在抛物线中，，得. 焦点坐标为，焦点在轴上， 根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离为. 9. 已知复数满足的最小值为___________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案. 【详解】设复数在复平面对应点 . ：点在以原点为圆心，半径的圆及其外部. ：点到定点的距离. 原点到点的距离：. 定点在圆内部，所以圆外（含圆周）上点到的最小距离 . . 10. 在中，若，，，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将，作为基底表示，然后构造二次函数，求出最大值即可. 【详解】已知，则，所以. 又，所以 . 已知，，设,则， 所以， 令，抛物线开口向下， 所以当时，. 所以的最大值为. 11. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 12. 如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，点分别在线段上，，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形材料，则矩形面积最大时，的长为___________．（精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，设，写出矩形面积关于的函数并确定定义域。利用导数研究函数单调性，求得最大值点，算出的近似长度. 【详解】以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 正方形边长为，由，得， 曲线是以（轴）为对称轴的抛物线，设抛物线方程为， 将，代入：，解得， 抛物线方程：，整理得， 设，则点，直线交抛物线于， 矩形的长，矩形的高， 矩形面积：， 求导：， 令，即，整理得， ， 由一元二次方程求根公式： ， 得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以为极大值点，也是区间上的最大值点， ， 故矩形面积最大时，的长为. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案 13. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 14. 设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 15. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A：已知，，， 因为，，所以或， 又，则垂直平面内的任意直线，即，故A正确； 对于B：，，， 可能平行于平面，也可能在平面内，不一定满足，故B错误； 对于C：，，， 直线的位置关系可为平行，相交或异面，不一定平行，故C错误； 对于D：，，， 直线有可能落在平面内部，此时不能推出，故D错误. 16. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积； （2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【小问1详解】 正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 【小问2详解】 连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 18. 设 （1）解不等式： （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查对数不等式求解，对等价变形可解； （2）本题考查恒成立求参数范围：先将原式化为 ，参数全分离后构造函数 ，由导数符号表得其在 处取最大值 ，从而 . 【小问1详解】 解不等式 ，即 ，即，变形可得，等价于 即：，即，即不等式解集为. 【小问2详解】 若恒成立，即 对恒成立， 因为， 即：恒成立 令 ，则 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，即 【点睛】本题考查对数不等式与恒成立问题的参数范围，重点考查定义域优先意识、参数分离与构造差函数求最值的能力。 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且方程在区间上有且仅有1个解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据，可得，即可求导以及利用点斜式求解切线方程； 利用整体换元法，结合正弦函数图象与性质，确定换元后变量的取值区间，再根据方程解的个数限制，列出不等式求解参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 求导得， ，，切点为，切线斜率， 由点斜式方程：，整理得切线方程：. 【小问2详解】 已知最小正周期， 由，解得， ， 方程，即， ，， 因为方程在上只有一个解， 所以，化简得. 故的取值范围是. 20. 已知双曲线， （1）求双曲线离心率： （2）过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由标准方程读出 ，利用 求 ，代入离心率公式 即得 ； （2）由 三点位置，结合中点条件可求，代入双曲线方程可求（依右支舍去负根），再代回斜率公式得 ； （3）将 展开整理得 ，与双曲线方程联立消元求得 ，以 为底求焦点三角形面积。 【小问1详解】 双曲线 【小问2详解】 已知 是 中点， 设 ，由中点公式： ∵ 在双曲线 上，代入双曲线方程可得，故， 把 代入可得，所以， ∵ 在右支， 由 ，得 ，即 直线 过 【小问3详解】 由已知 设 ， ，故， 又在双曲线上，故，即， 联立方程组， 所以 s所以 21. 设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【答案】（1）没有，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2） （3）证明：充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【解析】 【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； （2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可； （3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可. 【小问1详解】 函数不具有“性质”，理由略； 【小问2详解】 因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $