精品解析：上海市复旦大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性教学质量评估数学试卷

复旦大学附属中学2026-2027学年第一学期高三年级 数学学科10月阶段性教学质量评估试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，，则________________． 2. 若向量，在向量方向上的数量投影分别为3和，则在向量方向上的数量投影为____________． 3. 已知，则___________． 4. 展开式中的常数项为___________． 5. 若方程在区间上有实数根，则实数λ的取值范围是_____. 6. 甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是__________. 7. 在中，角、、所对边分别为、、，若，，则______． 8. 已知数列的通项公式为，数列是首项为1、公比为2的等比数列，则___________． 9. 设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足，线段CO上有点N满足，设，已知，则_________． 11. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 12. 已知，且．若存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，且，则实数的取值范围为_______________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 14. 设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 对于三棱锥 ，“、、所在直线两两垂直且与平面所成角相等”是“三棱锥是以为顶点的正三棱锥”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 16. 一个台风的中心正在匀速向西移动，台风在移动过程中始终保持圆形．已知该台风正在减弱，台风面积减小的速率与台风的半径成正比，则更能反映台风影响范围（即台风扫过的区域）的图是（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，，函数在点处的切线方程为． （1）求函数的表达式； （2）求函数 的单调区间与极值点（需说明是极大值点还是极小值点）． 18. 已知实数，函数的定义域为，若函数满足： ①对于任意，有；②对于任意，当时，恒成立， 则称为“积轴函数”． （1）设，证明：是“1积轴函数”； （2）设，且是“积轴函数”，求实数的值． 19. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，． （1）求的长； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合． （1）求椭圆的焦距与离心率； （2）若轴上一点满足，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的面积． 21. 已知圆上有三点，其中，． （1）若，，当在轴右侧时，求的取值范围； （2）已知点，若，，求的取值范围； （3）若，且对于任意，，，，都存在使得且，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2026-2027学年第一学期高三年级 数学学科10月阶段性教学质量评估试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，，则________________． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得，则， 而，故. 2. 若向量，在向量方向上的数量投影分别为3和，则在向量方向上的数量投影为____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量在向量方向上的数量投影为3，所以， 因为在向量方向上的数量投影为，所以， 则在向量方向上的数量投影为. 3. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 4. 展开式中的常数项为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：15 5. 若方程在区间上有实数根，则实数λ的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】方程区间上有实数根，等价于函数与在区间有交点 【详解】在区间上有实数根，等价于在上有解，即函数与在区间有交点，其中在上单调递增，故，解得：，所以才能使得函数与有交点，故实数λ的取值范围是 故答案为： 6. 甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出两人均没能破译这份密码的概率，进而利用对立事件求概率公式求出答案. 【详解】两人均没能破译这份密码的概率为， 故甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率为. 故答案为： 7. 在中，角、、所对边分别为、、，若，，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】由余弦定理，得， 则 ， 将，代入得. 8. 已知数列的通项公式为，数列是首项为1、公比为2的等比数列，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由等比数列通项公式，得 ，所以 . 因为 ，所以 . 于是 . 9. 设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】令，可得，结合双曲线的定义可得，结合题意可得，即可得离心率. 【详解】令，，解得，故， 因为，所以， 又因为，解得， 所以双曲线的离心率为. 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足，线段CO上有点N满足，设，已知，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由，根据三点共线，用基底表示，由，可得，进而用表示，根据向量基本定理，建立等量关系，即可求解. 【详解】， ，， ， ， 由平面向量基本定理，得 ，解得， 故答案为：3. 11. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 【答案】32 【解析】 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图： 记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 12. 已知，且．若存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，且，则实数的取值范围为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先由函数值域约束得，然后排除，再在范围内，通过三次迭代满足且非常数列，结合分段定义域边界条件推导出k的下界，最终得到. 【详解】当时，，不符合， 当时，恒为，对任意初值，迭代后，后续所有项均为0，数列是常数列， 若，数列为常数列，不符合“不是常数列”的要求； 若，则后续所有项均为0，所以，不满足对任意都有，因此时也不存在符合题意的数列，所以. ，在处取得最大值， ，单调递减， ，， 由，得最大值满足，即，所以. 当时， 若，则，且； 若，则，且， 因此对任意，恒有，数列单调不增且有下界0，必收敛于不动点，即越往后越稳定，最后趋近于一个固定数字，不波动、不循环，不存在周期为3的非常数列. 所以， 因为存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，则，且， 设，，则满足，且、， 设，，若，则，不符合，所以， ，且， 代入迭代关系得， 整理得，因，约去得， 由，得 等价于，因为，所以恒成立， ，由得，结合，解得，恒成立， ，由得，因为时，故，恒成立. 当时，（分段闭区间端点，仍符合定义域），依然成立. 综上，的取值范围为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】数据从小到大排列：，共个数据， ， 为非整数，向上取整结果为，对应有序数据中的第个数据， 因为第个数据是， 所以这组数据的第百分位数是，对应选项为C. 14. 设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，即，所以， 而，，则，即实数的取值范围是. 15. 对于三棱锥 ，“、、所在直线两两垂直且与平面所成角相等”是“三棱锥是以为顶点的正三棱锥”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】通过两两垂直+线面角相等可推出正三棱锥，反之推不出，因此为充分非必要. 【详解】①充分性推导：若、、两两垂直，可得在底面的射影为的垂心， 又、、与平面所成角相等，可得，其在平面上的投影，即为外心， 故为正三角形，满足以为顶点的正三棱锥定义，充分性成立. ②必要性推导：若三棱锥是以为顶点的正三棱锥，仅满足、底面为正三角形， 无法推出、、两两垂直，必要性不成立，故为充分非必要条件. 16. 一个台风的中心正在匀速向西移动，台风在移动过程中始终保持圆形．已知该台风正在减弱，台风面积减小的速率与台风的半径成正比，则更能反映台风影响范围（即台风扫过的区域）的图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由台风面积减小的速率与台风的半径成正比推出台风半径匀速减小，结合圆心匀速西移，可知扫过区域右为圆弧、上下边界为直线、左端汇聚成尖点，对应选项 B. 【详解】台风面积减小的速率与台风的半径成正比可得台风半径匀速减小，台风中心正在匀速向西移动，圆心的位置随时间也是匀速变化， 一边是圆心匀速向西移动，一边是半径匀速缩小，我们可以直观理解扫过的区域： 右端：初始时刻台风是一个完整的圆，因此扫过区域的最右侧是初始圆的右半部分，是一段向右凸的圆弧； 上下边界：因为圆心移动和半径减小都是匀速（线性）的，所以台风上边缘、下边缘扫过的轨迹是两条直线； 左端：随着时间推移，半径最终会减小到 0，台风缩成一个点，因此扫过区域的最西侧是一个尖点，不会分叉、也不会无限延伸. A：上下边界是向外凸的曲线，对应 “半径减小得越来越慢” 的情况，和我们推导的 “半径匀速减小” 不符，错误； B：右侧为圆弧、左侧为尖点，上下边界是直线，完全符合推导结论，正确； C：左侧分叉，不符合 “半径最终减为 0、汇聚成一点” 的规律，错误； D：左侧无限延伸，和 “台风不断减弱、最终消失” 矛盾，错误. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，，函数在点处的切线方程为． （1）求函数的表达式； （2）求函数 的单调区间与极值点（需说明是极大值点还是极小值点）． 【答案】（1）函数表达式为； （2）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值点为，极小值点为. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义（切线斜率等于该点导数值），结合切点同时在曲线与切线上，联立求出参数，得到函数表达式； （2）求导，解导数零点，根据导数符号判断单调区间与极值点. 【小问1详解】 对求导得： 由切线斜率为得：，解得. 将代入切线方程得，将、代入原函数得：，解得. 因此函数表达式为. 【小问2详解】 由（1）得导函数：. 令，解得或. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 左侧导数大于0，右侧导数小于0，故是极大值点；左侧导数小于0，右侧导数大于0，故是极小值点. 18. 已知实数，函数的定义域为，若函数满足： ①对于任意，有；②对于任意，当时，恒成立， 则称为“积轴函数”． （1）设，证明：是“1积轴函数”； （2）设，且是“积轴函数”，求实数的值． 【答案】（1）证明：的定义域为. 对任意，满足条件①； 对任意，当时，， 则，满足条件②，故是“1积轴函数”. （2）4 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：. 由“积轴函数”定义，对定义域内任意，有，代入得： . 展开整理得：. 该式对任意恒成立，因此： ，解得，即. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，． （1）求的长； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，由勾股定理求解即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量求解平面与平面夹角的余弦值即可； 【小问1详解】 如图： 在等腰梯形中，过点作于，过点作于， 因为，则，所以， 连接，在三角形中，由余弦定理得：， 所以，又，所以， 所以，又，且平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 在三角形中，由余弦定理得：， 所以，由于平面， 所以以为坐标原点，分别以向量的方向为轴的正方向， 过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 设平面的一个法向量为， ， ，所以， 令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， ，所以， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则． 20. 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合． （1）求椭圆的焦距与离心率； （2）若轴上一点满足，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】（1）焦距为，离心率为. （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程确定椭圆的焦距和离心率即可. （2）设直线，联立直线与椭圆方程组，结合韦达定理，对进行化简即可求出结果. （3）根据已知条件，结合韦达定理，可得到，然后求出点到直线的距离和，进而可求出的面积. 【小问1详解】 由椭圆方程得，则，. 所以，所以焦距为，离心率为. 【小问2详解】 椭圆右焦点，设直线，，. 联立，整理得：. 由韦达定理得：. 由得，即：. 化简得，即. 代入韦达定理结果：，化简得. 即，对任意成立，故. 【小问3详解】 由得，代入得，代入得： ，化简得，即. 因此. . 点到直线的距离：. 所以. 21. 已知圆上有三点，其中，． （1）若，，当在轴右侧时，求的取值范围； （2）已知点，若，，求的取值范围； （3）若，且对于任意，，，，都存在使得且，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在轴右侧可得，求解的取值范围即可； （2）根据，代入坐标化简，根据三角函数有界性得到，进而得到； （3）取使得两个正弦值可以同时取得较大值时的参数，然后利用二倍角公式，结合三角函数恒等式，得到不等式，解得实数的最大值为. 【小问1详解】 由题得，，在轴右侧， 所以，解得. 【小问2详解】 由题得， 又因为，，所以. . 易知等号均可取得，所以， 所以. 【小问3详解】 设，单位圆上两点的距离， 则题设等价于对任意，存在使得 即， 当时，两个正弦值可以同时取得较大值. 设，则需 所以，结合 代入得，因为，所以两边约去，得 又因为 所以，解得. 即实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $