精品解析：天津市第二新华中学2026-2027学年高二上学期学科练习（一）数学试题

2026—2027学年度第一学期高二年级学科练习一 数学学科 Ⅰ卷 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线与线段AB有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 10. 已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 两条平行直线与间的距离是__________． 12. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 13. 已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为______. 14. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 15. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 16. 已知直线，直线过定点__________；过点作直线使直线与两负半轴围成的的面积等于，直线的方程为__________． 三、解答题：本题共2大题，共20分． 17. （1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 18. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高二年级学科练习一 数学学科 Ⅰ卷 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 3. 若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 4. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知点，，若直线与线段AB有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程知直线过定点，求出的斜率，结合图象得直线的斜率满足的关系，从而得的范围. 【详解】直线过定点，，， 由于，所以直线的斜率满足或，所以或. 故选：C 7. 与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出已知直线和轴的交点，再求出要求直线的斜率，用斜截式求出要求直线的方程． 【详解】解：直线，即，它与轴的交点为， 它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即. 故选：C． 8. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 9. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 10. 已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先说明与、与不重合，作出截面，设，根据台体的体积公式求出，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离. 【详解】如图，设平面与线段交于点，连接， 又平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又，所以， 则，所以， 当与重合时，截面为， ，不合题意； 同理，与重合时，也不合题意； 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，则，，，， 故，，， 所以三棱台的体积， 所以，化简整理得，解得或（不合题意）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离. 故选：C Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 两条平行直线与间的距离是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系求得a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，故． 可得符合题意， 由平行线距离公式可得所求为． 故答案为：1 12. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即，解得或 故答案为：0或 13. 已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】结合图象，求出点关于直线的对称点为，的最小值即为，解出即可. 【详解】如图： 设点，关于直线的对称点为， 则，解得则， 则 , 故答案为： 14. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，分解向量，然后由数量积的运算律、向量夹角公式即可求解. 【详解】设， 棱长为1，则． 因为底面边长和侧棱长都相等，且， 所以，所以， ，． 设异面直线的夹角为， 所以． 故答案为：. 15. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离. 【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离为. 因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 16. 已知直线，直线过定点__________；过点作直线使直线与两负半轴围成的的面积等于，直线的方程为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用直线系方程的性质，求得定点的坐标，设直线的方程为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点， 设过点的直线方程为，可得，即， 因为围成的的面积等于，可得，所以，则， 联立方程组，解得， 所以直线的方程为，即. 三、解答题：本题共2大题，共20分． 17. （1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将目标式转化为原点与直线上的点的距离，进而结合几何意义与点到直线的距离公式求解即可. （2）根据题意，分和，两种情况讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，求解参数得到直线方程即可. （3）将直线方程变形为，得直线恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，求出直线方程即可． 【详解】（1）由题意得表示原点与直线上的点的距离， 结合直线的性质可得的最小值为原点到直线所作垂线的长度， 设垂线长度为，由点到直线的距离公式得. （2）当时，直线，即为， 则经过点的直线的方程为， 此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去； 当时，可设直线的方程为，即为， 可得，解得，故直线方程为. （3）∵直线l：， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，，由此可得直线l恒过点， 所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∵，∴直线l的斜率为，∴，∴， ∴直线l的一般方程为． 18. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）在线段上存在一点满足题意，且 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值； (3)假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置. 【详解】（1）略 （2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，所以. 设平面的法向量为， 则即解得 令，得 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，据此可得 ， 则平面的一个法向量为， ，于是. 故二面角的正弦值为. （3）设存在点满足条件. 由， 设，整理得， 则. 因为直线与平面所成角的大小为， 所以 解得， 由知，即点与重合. 故在线段上存在一点，且. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题： (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． (2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $