天津市静海区第一中学2026-2027学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C C D A A C B A 10． 11．0或 12． 13． 14．5 15．（1） （2） （3）和 （4） （5）或． （6）截距式或点斜式，设截距式注意截距为0需要单独讨论． 【详解】（1）过，斜率为，，所以直线的一般方程为． （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为． （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过， 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即． 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和． （4）联立，得，， 设平行于直线的直线方程为，代入点， 得，得， 所以满足条件的直线方程为； （5）设垂直于直线的直线方程为， 点到直线的距离，解得或， 所以满足条件的直线方程为或． 16．（1）由可得，， 令所以直线过定点． （2）由（1）可知，直线恒过定点． 点到直线的距离，可以看作是点到经过点的动直线的垂线段长度． 根据几何性质，当直线与线段垂直时，点到直线的距离达到最大，此时最大距离即为线段的长度． 首先计算线段的斜率： 因为直线与垂直，所以直线的斜率． 将直线的方程化为斜截式，其斜率为： 令，即： 此时，点到直线的最大距离为： （3） 由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为（），直线与轴、轴正半轴的交点分别为，， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 17．（1），，∴平面为平行四边形，， 平面，平面，平面． （2）设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为，则． （3）∵正方体棱长为2，同（2）中假设， ，，，平面的法向量， ∴点到平面的距离 18．（1） （2） 【详解】（1）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为， 则，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）当时，的直线方程为， 已知边在直线上，的平分线所在直线为：． 由对称性可知，直线与直线关于直线对称，即直线是直线关于直线的对称直线． 联立与的方程： 解得交点的坐标为． 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为． 由对称性质可得： 解得，，即． 直线经过点和点， 其斜率为： 所以直线的方程为： 化简得直线的方程为． 19．（1）·坐标系建立： 以为原点，、、分别为、、轴，得： ·，，，，（中点）． ·法向量求解： ·平面法向量：，取单位方向． ·平面法向量：由，，解得． ·夹角余弦： （2）（i）证明：平面平面 ·确定点坐标： ·由且，结合几何对称性，得． ·关键垂直关系： ·，，． ·计算点积： · · ·因，故平面． ·又平面，因此平面平面． （3）设，，即，由 ，， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 化简整理得：，解得或， 所以存在点，当或时，使得二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2026—2027第一学期高二数学（10月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（120分）和第Ⅱ卷提高题（30分）两部分，含卷面分3分，共150分． 知识与技能 学习能力（学法） 内容 空间向量与立体几何 直线的方程 易混易错 规律总结 分数 60 87 22 10 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题：（每小题5分，共45分）． 1．已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．直线的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 4．直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 6．已知直线：，：，且，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A．3 B． C．1 D． 8．如果直线经过，（）两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 9．已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D．3 二、填空题：（每小题5分，共25分）． 10．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则__________． 11．已知，两点到直线：的距离相等，则实数的值为__________． 12．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13．在直棱柱中，为的中点，，，则异面直线与所成角的大小为__________． 14．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 三、解答题：（本大题共3小题，共50分） 15．（22分）15．根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且倾斜角为的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． （4）经过两条直线和的交点，且平行于直线； （5）垂直于直线，且到点的距离为1． （6）针对（3）问中“截距相等”的条件，可以设方程的哪几种形式？各自有什么局限？ 16．（13分）已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． （3）过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 17．（15分）如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离． 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 18．（12分）已知直线：，：． （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若，的边在直线上，的平分线所在直线为，求直线的方程． 19．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 20卷面分：（3分） 学科网（北京）股份有限公司 $