精品解析：天津市实验中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段性调查（12月）数学试卷

2024-2025学年度高二上学期 第二次阶段学情调查数学学科试卷 命题人：高二备课组 审核人：高二备课组 一、单选题(本题共有8个小题，每小题4分) 1. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 所以抛物线的焦点在上，开口向下，且，即，故抛物线的标准方程为， 故选：D. 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　） A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程. 【详解】由题意，，，则，， 由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 3. 已知实数列、、、、成等比数列，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，利用等比中项的性质可求得结果. 【详解】设等比数列、、、、的公比为，则， 由等比中项的性质可得，所以，， 因此，. 故选：C. 4. 等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故． 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和． 5. 在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知 ．由此可知，所以在中最大的是． 【详解】由于 ， 所以可得． 这样， 而>0， ， 所以在中最大的是． 故选C． 【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题. 6. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果. 【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为， 因为，所以， 即，由 可得，， 故所求椭圆的方程为. 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题. 7. 已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴⇒⇒an＝n. ∴＝＝， S100＝＋＋…＋ ＝1－＝. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为e，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，设出焦半径，利用余弦定理，可得答案. 【详解】设，则，所以，也就是， 由余弦定理，可得， 则， 因此， 故选：B． 二、填空题(本题共有6个小题，每小题4分) 9. 已知等差数列满足：，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式转化为基本量进行计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则 解得， ∴. 故答案为：. 10. 设是公比不为1的等比数列，且 ，则的通项公式_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列方程求出公比，从而可求出通项公式． 【详解】设等比数列公式为， 因为， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以， 故答案为：． 11. 与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】据题意可设所求方程为,代入点坐标可得到，进而求得双曲线方程. 【详解】据题意可设所求方程为，把)代入易得，故所求双曲线方程为. 答案： 【点睛】求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；离心率相同的方程可设为. 12. 数列的前n项和，则的通项公式为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用递推关系当时，；当时，，再验证时的情形即可得出结果． 【详解】时，． 当时，， 当时，不满足， 则数列的通项公式为：， 故答案为：． 13. 直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则=，当时，. 考点：直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值. 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】在焦点三角形中，先利用椭圆的定义、与内切圆半径有关的三角形的面积公式，求出的面积，然后借助余弦定理和三角形的面积公式建立关于和的方程组，求得的值，从而可求得的值． 【详解】设椭圆的半焦距为内切圆的半径为，由题可得， 所以的面积． 设，则， 在中，由余弦定理得， 得， 即． 由，解得， 所以， 所以． 故答案为： 三、解答题(本题共有3个小题，每小题12分) 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 16. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 17. 已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， （ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ⅱ）当取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设， 的中点为， 由，可设直线的方程为， 代入椭圆方程，得， 所以， 所以，则直线的斜率为， 因为，所以， 所以三点共线，所以平分线段； （ⅱ）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）由题意得，再由的关系求出，即可得椭圆的标准方程； （2）（i）设，的中点为，，设直线的方程为，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证； （ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点的坐标. 【小问1详解】 由题意得， ，所以， 所以椭圆方程为 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ii）由两点间的距离公式得 由弦长公式得 所以， 令，则，由在上递增，可得，即时，取得最小值4， 所以当取最小值时，点的坐标为 【点睛】此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二上学期 第二次阶段学情调查数学学科试卷 命题人：高二备课组 审核人：高二备课组 一、单选题(本题共有8个小题，每小题4分) 1. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　） A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1 3. 已知实数列、、、、成等比数列，则（ ） A. B. 4 C. D. 4. 等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和 A. B. C. D. 5. 在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是 A. B. C. D. 6. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 A. B. C. D. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为e，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本题共有6个小题，每小题4分) 9. 已知等差数列满足：，，则___________. 10. 设是公比不为1的等比数列，且 ，则的通项公式_________ 11. 与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________. 12. 数列的前n项和，则的通项公式为__________ 13. 直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____________. 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则_________ 三、解答题(本题共有3个小题，每小题12分) 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 17. 已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， （ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ⅱ）当取最小值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $