精品解析：江西南昌中学2026-2027学年度上学期10月考试高一数学试卷

南昌中学2026-2027学年度上学期10月考试高一数学试卷 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 所有著名的作家可以形成一个集合 B. 0与 的意义相同 C. 集合 是有限集 D. 方程的解集只有一个元素 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，，则集合的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 10. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 11. 已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（ ） A. 是“4可分集” B. 若是“4可分集”，则为偶数 C. 对于任意的偶数不为“可分集” D. 对于任意的奇数均为“可分集” 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数的值为__________. 13. 设集合，则集合的真子集个数为__________． 14. 由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为每一个中所有元素的积为，则_______. 四．解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知全集，，，或求 （1）， （2） 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 17. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； （2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18. 二次函数满足对任意的，恒成立． （1）求证：为定值； （2）若，求二次函数的表达式； （3）求的取值范围． 19. 对于定义域为R的函数与实数，定义集合 （1）若，求； （2）若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； （3）是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2026-2027学年度上学期10月考试高一数学试卷 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 所有著名的作家可以形成一个集合 B. 0与 的意义相同 C. 集合 是有限集 D. 方程的解集只有一个元素 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的相关概念逐项分析即可. 【详解】所有著名的作家是模糊的，不可以形成一个集合，故A错误； 0可以表示一元素，表示的是集合，故B错误； 集合是无限集，故C错误； 由得，则方程的解集为 故D正确. 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 4. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. 故选:C. 5. 一元二次不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知不等式的解集求得的关系及的正负，再代入待解不等式可求解． 【详解】因为一元二次不等式的解集是， 所以，即，且， 所以不等式为，即，，． 故选：A． 6. 已知集合，，，则集合的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】解：集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合，， 可得， 综上可得 故选：C． 7. 已知，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将化简为，再根据判断，，，，最后运用基本不等式求最小值即可. 【详解】解： ∵ ， ∴ ，，，， ∴ 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式，是基础题. 二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用将转化为关于的关系式，代入，利用基本不等式即可求出对应的最小值；对于B，利用基本不等式，并将代入即可求出对应的最小值；对于C，对运用基本不等式，再解不等式即可得求出对应的最大值；对于D，把关于的关系式代入，利用因式分解和基本不等式即可求出对应的最小值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对； ，当且仅当时，即当，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，B错； 因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，C对； ， 当且仅当即，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，D对. 11. 已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（ ） A. 是“4可分集” B. 若是“4可分集”，则为偶数 C. 对于任意的偶数不为“可分集” D. 对于任意的奇数均为“可分集” 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用定义易判断A，利用定义计算可判断BC；设奇数，利用构造法证明即可判断D. 【详解】对于A，因为均只有一个元素，即元素之和为1，2，3，4， 互不相等，故A错误； 对于B，若为奇数，那么2k能被4整除，因为能被4整除， 所以2k必须能被4整除，因此为偶数，故B正确； 对于C，若为偶数，那么能被整除，于是必然是整数， 这与为偶数矛盾，所以不为“可分集”，故C正确； 对于D，不妨设奇数，下面给出一种构造： 由于，则前组为 ， ， 后组为 ，因此对于任意的奇数均为“可分集”，故D正确. 故选：BCD. 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解. 【详解】因为，则或或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或（舍） 当时，，符合题意； 综上所述：或， 故答案为：或 13. 设集合，则集合的真子集个数为__________． 【答案】63 【解析】 【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数． 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 14. 由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为每一个中所有元素的积为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据子集的元素中是否含0分类，再写出所有不含0元素的子集，然后计算求解． 【详解】首先考虑取出的元素中含0，则无论子集中有多少元素，其积都为0； 当取出的元素不为0，即只在集合中取元素， 则所得的子集分别是，， 其所有元素之和为 ， 故答案为：． 四．解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知全集，，，或求 （1）， （2） 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【小问1详解】 ，， 所以，． 【小问2详解】 或，或 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式化简集合；把代入，解一元二次不等式得到集合，再根据集合并集定义求出； （2）由充分条件可得，先因式分解化简集合，再根据集合包含关系，列不等式求出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 当a＝3时，或， 因为， 所以或. 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，, ，即， 或，或， 而，要使得，则或，或． 17. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； （2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】（1）， （2）当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【小问1详解】 由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18. 二次函数满足对任意的，恒成立． （1）求证：为定值； （2）若，求二次函数的表达式； （3）求的取值范围． 【答案】（1）证明：对任意的，恒成立，则， 所以，为定值. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可. （2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解. （3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，由，得，则， ，不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立，则， 解得，此时，恒成立， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，， 不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立， 则，且方程有相等的实数根，因此， 不等式， 同理，且方程有相等的实数根，因此， 从而，， 所以的取值范围是. 19. 对于定义域为R的函数与实数，定义集合 （1）若，求； （2）若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； （3）是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】（1） （2） （3）见解析，不存在 【解析】 【分析】（1）根据集合定义，结合，得到不等式求解； （2）法一：根据集合定义，结合得到恒成立求解；法二：因为对任意实数均有，所以等价于对任意、，不等式恒成立，所以将，，代入不等式，化简得到关于和的式子，将式子转化为关于的二次型恒成立问题，利用二次函数恒成立的条件求解的范围； （3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在. 【小问1详解】 由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； 【小问3详解】 当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $