精品解析：江西省南昌市第十中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

南昌十中2026-2027学年上学期第一次月考 高一数学试题 命题人：周梦娟 审题人：涂方珍 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分 本卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 2.答卷前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上. 3.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 4.考试结束后，答题纸交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、、均为实数，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 4. 孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种．孟加拉虎有四种变种，分别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪虎（全身白色，有淡淡的黑色斑纹），金虎（全身金黄色，有黑色斑纹），纯白虎（全身白色，没有斑纹）．已知甲是一只孟加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 6. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 7. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 二、多选题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 中最小的元素是0 C. 的近似值的全体构成一个集合 D. 一个集合中不可以有两个相同的元素 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，” C. 设、，则“且”是“”的充分不必要条件 D. 设、，则“”的必要不充分条件是“” 11. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知集合，且，则实数的值为________. 13. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 14. 定义集合运算：.若集合，，则_____. 四、解答题（本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设集合，，，求： （1）； （2）. 16. 设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 18. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设． （1）当时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？ 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十中2026-2027学年上学期第一次月考 高一数学试题 命题人：周梦娟 审题人：涂方珍 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分 本卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 2.答卷前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上. 3.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损. 4.考试结束后，答题纸交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集和补集运算求解. 【详解】由题意可得：或， 所以. 故选：C. 2. 设、、均为实数，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，B，当时，显然不成立， 对于C：由可得：，正确. 对于D，取，满足，显然不成立， 故选：C 3. 已知集合，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合B中的元素，从而判断出C中可能的元素，结合子集的个数计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 由于，则C中元素必有，且C中元素多于2个， 其余可能有的元素可从中选取， 故C的个数等于集合的非空子集的个数，为个， 故选：D 4. 孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种．孟加拉虎有四种变种，分别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪虎（全身白色，有淡淡的黑色斑纹），金虎（全身金黄色，有黑色斑纹），纯白虎（全身白色，没有斑纹）．已知甲是一只孟加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识对问题进行分析，从而确定正确选项. 【详解】由“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”， 由“甲全身白色”不能推出“甲是纯白虎”， 所以“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的充分不必要条件． 故选：A 5. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【解析】 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 6. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可. 【详解】因为时,,是假命题； 因为时，,是真命题； 故选：C. 7. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，进行求解 【详解】当时，由，， 当时，若， 则，， 综上，的取值范围为. 8. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 二、多选题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 中最小的元素是0 C. 的近似值的全体构成一个集合 D. 一个集合中不可以有两个相同的元素 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合的概念及集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性即可判断四个选项的正误. 【详解】若，则－a也是整数，即，故A正确； 因为实数集中没有最小的元素，所以B错误； 因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误； 同一集合中的元素是互不相同的，故D正确. 故选：AD. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，” C. 设、，则“且”是“”的充分不必要条件 D. 设、，则“”的必要不充分条件是“” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断ACD，由命题的否定的定义判断B． 【详解】选项A，时一定有，但时，如，不一定有，A正确； 选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意，则”的否定是“存在，”，B错误； 选项C，且时一定有，但时，且不一定成立，如，C正确； 选项D，时，且，但反之，时，若仍然有，所以是的必要不充分条件，D正确， 故选：ACD． 11. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AD：利用基本不等式直接判断即可；对于B：利用乘“1”法结合基本不等式分析判断；对于C：根据消元，结合基本不等式分析判断. 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 即，故C错误； 对于选项D：，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知集合，且，则实数的值为________. 【答案】1或2 【解析】 【分析】分别讨论或,并根据元素的互异性检验即可 【详解】因为集合，且， 所以或，解得或， 当，集合，满足题意； 当，集合，满足题意； 故答案为：1或2 13. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 又命题“，”为假命题， 即，即． 14. 定义集合运算：.若集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由集合新定义结合交集的运算可得. 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设集合，，，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的概念，求解即可得出答案； （2）先根据补集的概念求出，然后根据交集的概念，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知，， 可得. 【小问2详解】 由题意，得或， 所以. 16. 设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）转化为，由二次方程最多两个根可得，由韦达定理可解； （2）由，得，根据是否为空集分类讨论. 【小问1详解】 ∵∴， 又∵， ∴，又中最多有两个元素，∴， ∴是方程的两个根， 由韦达定理得， 解得，验证知满足题意； 【小问2详解】 ∵∴， ∵， 又由，得． ①当时，，即，满足； ②当时，即，或； 当，此时，满足； 当，此时，不合题意； 当或时，则方程有两个不等的实数根， 即中有两个元素， 要使，则，由可知； 综上所述或. 17. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）令，求出、的值，即可得到，再利用不等式的性质计算可得； （2）由，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）令，则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设． （1）当时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？ 【答案】（1） （2）选择长宽分别为的海报纸. 【解析】 【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积； （2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：， 由图像知：， 【小问2详解】 由（1）知： ，当且仅当即， 即等号成立. 综上，选择长宽分别为的海报纸. 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由为： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； （2） （i）证明：由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立；（ii） 【解析】 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $