精品解析：浙江金华市第四中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

金华四中2026学年第一学期九年级数学第一次作业检查 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 2. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 3. 下列二次函数的图象通过平移能与的图象重合的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 5. 两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与的周长比是 D. 与的面积比是 7. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 8. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 10. 点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 12. 已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ______． 13. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 14. 黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 15. 已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为，则的值为________． 16. 如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，为上一点，连接、，与交于点，则_____；若，则_____． 三、解答题（本题共8题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 19. 如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中找到格点D（不与点A重合），使，连接、； （2）在图2中的边上找到一点E，使得平分； （3）在图3中的上找到一点E（不与点C重合），使得． 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 21. 如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 22. 发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 23. 已知关于的二次函数（，为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线，求的值． （2）若该函数解析式可以写成，求证：． （3）设，，在（2）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为10，求的最大值． 24. 如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． （1）求证：． （2）如图2，若，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华四中2026学年第一学期九年级数学第一次作业检查 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，点P到圆心O的距离为7，， ∴点P在圆外． 故选：A． 2. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 3. 下列二次函数的图象通过平移能与的图象重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线平移不改变的值，逐项判断即可求解，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过平移后，二次项系数的值不会改变，四个选项中只有选项二次项系数与的二次项系数相等， ∴的图象通过平移能与二次函数的图象重合， 故选：． 4. 如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：图①中，∵， ∴相似； 图②中，只有，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，只有，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确． 故选：D． 5. 两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边之比为， ∴它们的周长之比为， 设较大三角形的周长为， ∵较小三角形的周长为， ∴， 解得， ∴较大三角形的周长为. 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与的周长比是 D. 与的面积比是 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，再根据对应线段的比和周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，． 相似比为， ，与的周长比是，与的面积比是， ， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 7. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 8. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 9. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算，即可得到n的值． 【详解】解：连接OA、OD、OF，如图， ∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOD==90°，∠AOF==120°， ∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°， ∴n==12， 即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念是解题的关键． 10. 点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，理解题意，掌握二次函数最值的计算是关键． 由二次函数开口向下及条件可知，顶点在点 处，故对称轴为，根据条件当 时，结合顶点坐标，推导出t必须小于2． 【详解】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时 ， ∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为 ， ∵ 当 时 ，且函数开口向下， ∴ 在 时，， 设函数顶点式为 ， 则当时，， 即 ， ∵ 且（因）， ∴ 该不等式恒成立， ∴ ， 故 t 的取值范围为， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：线段是线段，的比例中项， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 12. 已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=，得R=． 【详解】根据扇形的面积公式，得 R===6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式． 13. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求． 【详解】在函数式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m． 故答案为10． 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离． 14. 黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 15. 已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的对称轴为．开口向上的抛物线，在对称轴右侧随的增大而增大．时，的最大值在处取到． 【详解】解：（其中是自变量）是二次函数式， 对称轴是直线． 当时，随的增大而增大， ． 时，的最大值为9， 把代入函数式得， ， 移项得，， ，或（不合题意舍去）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 16. 如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，为上一点，连接、，与交于点，则_____；若，则_____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】如图，作半径于D，连结、． 证明，可得．进一步可得．如图，连接，过作于，证明为等边三角形，设，而，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作半径于D，连接、． ∵将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，，，过作于， 由对折可得：，， ∴， ∴所在的圆的圆心为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴设，而， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（本题共8题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把代入进行计算即可； （2）设，则，代入，求出k的值，从而得出a的值． 【详解】解：（1）∵a，b，c，d是成比例线段 ∴， 即， ∴a=1cm； （2）设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了成比例线段，关键是理解成比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将和代入二次函数进行计算求解和的值即可 （2）根据二次函数的图像性质，由于开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间． 【小问1详解】 解：根据题意得： 解方程组得： ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、， 因此，当时，x的取值范围为：． 19. 如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中找到格点D（不与点A重合），使，连接、； （2）在图2中的边上找到一点E，使得平分； （3）在图3中的上找到一点E（不与点C重合），使得． 【答案】（1） 如图，点D即为所求（不唯一）： （2） 如图，点E即为所求： （3） 如图，点E即为所求： 【解析】 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角找点D即可； （2）利用格线找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点E； （3）利用相似或全等在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， 弧弧， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可． （2）连接，过点作于点，证明为等边三角形，由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 22. 发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①； ②石块能飞跃防御墙， 理由如下：由题意知，点B的坐标为； 由于防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，则； 对于，当时，， ∴石块能飞跃防御墙； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键； （1）①由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； ②确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； （2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围； 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且， ∴函数的最大值为10，即； ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴； ②略 【小问2详解】 解：由于抛物线过原点，则， 即； ∴， 当抛物线过点时，，解得， 当抛物线过点时，，解得， ∴， 故要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），a的取值范围为． 23. 已知关于的二次函数（，为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线，求的值． （2）若该函数解析式可以写成，求证：． （3）设，，在（2）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为10，求的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：， ，， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）根据二次函数的对称轴为求出结果即可； （2）先将函数解析式展开，得到，从而得到，，即可得出结论； （3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为，解出，，得到，，从而得出结果． 【小问1详解】 解：， 对称轴为直线， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，，， 当时，函数最大值为1， 函数的最大值与最小值差为10， 函数最小值为， ， ， ，， ， ，，且两个等号至少有一个可取， ，， 的最大值为． 24. 如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． （1）求证：． （2）如图2，若，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】（1） 证明： 解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）证明： ， ， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， ， ， ， ∴，设， 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $