第三章位置与坐标【单元进阶卷・单元卷 2】2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

第三章位置与坐标【单元进阶卷・单元卷 2】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，点 位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若点 是第二象限的点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列各点中，到 轴的距离等于 3 的是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点 、、， 是 关于 轴对称的图形，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．已知点 到 轴的距离是 5，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 或 6．如果点 在第二象限，那么点 在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．【阅读】在平面直角坐标系中，任意两点 、 之间的距离可以用公式 计算。例如：已知 、，则 。根据上述材料，点 与点 之间的距离是（　　） A． B． C． D． 8．已知点 ，有下列说法：① 点 关于 轴的对称点的坐标是 ；② 点 关于 轴的对称点的坐标是 ；③ 点 关于 轴的对称点在第四象限．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．在平面直角坐标系中，已知点 、，点 在 轴上，且 的面积等于 14，则点 的坐标是（　　） A． 或 B． C． D． 或 10．在平面直角坐标系中，将若干个整点按下列规律依次排列：，，，，，，……，即第 1 个点是 ，第 2 个点是 ，……，第 个点中「横坐标与纵坐标之和」等于 的最小可能值。按此规律，第 2026 个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若点 的横坐标是 、纵坐标是 2，则点 的坐标记作 ______，它到 轴的距离是 ______． 12．已知点 在第四象限，则点 在第 ______ 象限． 13．在平面直角坐标系中，点 与点 关于某条垂直于 轴的直线对称，则这条直线的表达式是 ______；若点 关于这条直线的对称点是 ，则点 的坐标是 ______． 14．在平面直角坐标系中，点 在第二、四象限的角平分线上，则 的值是 ______． 15．在平面直角坐标系中，直线 是第一、三象限的角平分线（即直线 ）。已知点 关于直线 的对称点为 ，则点 关于直线 的对称点 的坐标是 ______． 16．在平面直角坐标系中，直线 经过点 且与 轴平行。点 关于直线 的对称点 的坐标是 ______，点 与点 之间的距离是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）在由 25 个点组成的 点阵中，同一行、同一列中相邻两个点之间的距离都是 1 个单位长度。已知点 的位置用 表示，点 的位置用 表示． (1) 若点 在点 的正东方向 3 个单位长度处，写出点 的位置； (2) 若点 的位置用 表示，说明点 相对于点 的位置； (3) 求点 、 之间的距离． 18．（6 分）在平面直角坐标系中，已知点 、、、． (1) 在平面直角坐标系中描出点 、、、，并依次连接点 、、、、，判断所得四边形的形状； (2) 求这个四边形的面积； (3) 若点 的坐标是 ，求 的面积． 19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的四个顶点 A、B、C、D 的坐标分别是 、、、． (1) 求四边形 的面积； (2) 作出四边形 关于 轴对称的四边形 ，并写出顶点 、、、 的坐标； (3) 求点 与点 之间的距离． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B、C，它们的坐标分别是 、、． (1) 求 的面积； (2) 若点 与点 关于 轴对称，求点 的坐标，并求 的面积； (3) 比较 与 的面积，你能得到什么结论？请用一句话说明． 21．（6 分）在平面直角坐标系中，解答下列各题． (1) 若点 在第一、三象限的角平分线上，求 的值； (2) 已知点 、，若直线 与 轴平行，且 ，求 、 的值． 22．（6 分）中国象棋文化历史悠久。在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，棋盘上每个小方格的边长都是 1 个单位长度。已知「炮」位于点 、「马」位于点 ． (1) 若「车」在「炮」的正东方向 3 个单位长度处，写出「车」的坐标； (2) 若「卒」的坐标是 ，说明「卒」相对于「炮」的位置； (3) 求「炮」与「马」之间的距离． 23．（8 分）在平面直角坐标系中，按下列规律依次产生点：，，，，……，即第 个点的横坐标是 ，纵坐标按 1、、1、、…… 交替出现． (1) 写出点 、 的坐标； (2) 求点 的坐标； (3) 依次连接 、、、，求 与 的面积之和． 24．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别是 、， 是坐标原点。点 从点 出发，沿 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设运动时间是 秒． (1) 求 的面积； (2) 用含 的代数式表示点 的坐标，并求 的面积； (3) 当 的面积是 面积的 2 倍时，求 的值． 参考答案与详细解析 1．【答案】 A 【解析】 因为 ，所以 ，即纵坐标为正数； 点 的横坐标 3 也是正数，横、纵坐标都为正； 所以点 在第一象限．选 A． 【解题提示】遇到含字母的坐标，先用非负性判断这个式子的正负，再结合象限的符号规律作答． 2．【答案】 B 【解析】 点 在第二象限，则横坐标小于 0、纵坐标大于 0； 所以 且 ； 由 得 ，由 得 ； 所以 ．选 B． 【解题提示】由「点在第二象限」列出「横坐标小于 0、纵坐标大于 0」两个不等式，再取它们的公共部分． 3．【答案】 C 【解析】 点 到 轴的距离等于 ，与纵坐标无关； A、B 两点的横坐标都是 0，到 轴的距离是 0；D 点的横坐标是 ，到 轴的距离是 2； C 点的横坐标是 3，到 轴的距离是 3．选 C． 【解题提示】到 轴的距离看纵坐标的绝对值，到 轴的距离看横坐标的绝对值，不要看反． 4．【答案】 D 【解析】 关于 轴对称的两个点，横坐标相同、纵坐标互为相反数； 点 的横坐标是 、纵坐标的相反数是 ； 所以 ．选 D． 【解题提示】作关于 轴对称的图形时，各顶点的横坐标不变、纵坐标变号；本题只需处理点 一个点． 5．【答案】 C 【解析】 点 到 轴的距离等于横坐标的绝对值，所以 ； 即 或 ； 由 得 ；由 得 ； 所以 或 ．选 C． 【解题提示】「到 轴的距离是 5」只能说明横坐标的绝对值是 5，横坐标可能是 5，也可能是 ，不要漏解． 6．【答案】 B 【解析】 点 在第二象限，所以 且 ； 由 知 、 同号；再由 知 、 都是负数； 所以 ，； 点 的横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限．选 B． 【解题提示】由「两个数的积为正、和为正或为负」可以判断这两个数的符号，这是判断含字母的点所在象限的常用方法． 7．【答案】 C 【解析】 把 、 的坐标代入公式，得 ； ．选 C． 【解题提示】这类「阅读理解」题只要按给出的公式把数据代进去算即可，注意作差后先平方再相加，不要漏掉负号． 8．【答案】 A 【解析】 点 关于 轴的对称点，横坐标不变、纵坐标变号，是 ，①正确； 点 关于 轴的对称点，横坐标变号、纵坐标不变，是 ，②正确； 的横、纵坐标都是负数，它在第三象限，③错误．选 A． 【解题提示】判断「关于哪条轴对称」，只要看哪一个坐标变号：关于 轴对称纵坐标变号，关于 轴对称横坐标变号；判断象限看横、纵坐标的正负． 9．【答案】 A 【解析】 点 、 都在 轴上，； 设点 的坐标是 ，则点 到 轴的距离是 ，它就是 中 边上的高； 由 得 ； 所以 或 ，即点 的坐标是 或 ．选 A． 【解题提示】已知三角形的面积求动点坐标时，先把未知坐标设为 或 ，再把「高」写成绝对值的式子，最后解绝对值方程． 10．【答案】 B 【解析】 观察数列：第 1、2 个点分别是 、；第 3、4 个点分别是 、；第 5、6 个点分别是 、； 可以发现：第 个点是 ，第 个点是 ； 因为 ，取 ，所以第 2026 个点的坐标是 ．选 B． 【解题提示】「整点按规律排列」的题，先写出前几个点、找清「相邻两个点相差多少」以及「奇偶位置的表达式」，再用除法确定落在哪一个位置上． 11．【答案】 ； 【解析】 点的坐标要按「横坐标在前、纵坐标在后」的次序书写，所以点 的坐标记作 ； 点 到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，即 ． 【解题提示】坐标的书写顺序不能颠倒；点到 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到 轴的距离是横坐标的绝对值． 12．【答案】 二 【解析】 点 在第四象限，所以 ，； 点 的横坐标 中，、，所以 ； 点 的纵坐标 中，、，所以 ； 横坐标为负、纵坐标为正，点 在第二象限． 【解题提示】由已知点所在象限写出各字母的正负号，再逐项判断新点横、纵坐标的正负，最后定象限． 13．【答案】 ； 【解析】 点 、 的纵坐标都是 2，它们在同一条水平直线上，所以对称轴是垂直于 轴的竖直直线； 关于竖直直线对称的两点，横坐标的平均数等于对称轴的横坐标，，所以对称轴的表达式是 ； 点 的对称点 的纵坐标仍是 2，设 ，由 解得 ，所以 ． 【解题提示】关于垂直于 轴的直线（即竖直直线）对称的两点：纵坐标相同，横坐标的平均数等于对称轴的横坐标． 14．【答案】 【解析】 第二、四象限的角平分线是直线 ，它上面的点横坐标与纵坐标互为相反数； 所以 ； 解得 ．（此时点 的坐标是 ．） 【解题提示】第一、三象限的角平分线是直线 （横、纵坐标相等），第二、四象限的角平分线是直线 （横、纵坐标互为相反数）． 15．【答案】 【解析】 观察 与 可以发现：关于直线 对称时，两个点的横、纵坐标正好交换位置； 把这个规律用在点 上，交换横、纵坐标得 ； 验证：线段 的中点坐标是 ，恰好在直线 上，所以 正确． 【解题提示】关于直线 对称，两点的横、纵坐标互换；求一个点关于某条直线对称的点，可以先由特例找规律，再验证中点在对称轴上． 16．【答案】 ； 【解析】 直线 经过点 且与 轴平行，所以直线 是 直线 ； 关于与 轴平行的直线对称时，横坐标不变，两个纵坐标的平均数等于 ，即 ，解得 ，所以 ； 点 、 的横坐标相同，所以 ． 【解题提示】关于与 轴平行的直线 对称时，横坐标不变，两个纵坐标的平均数等于 ；关于 轴对称是 的特例． 17．【答案】 (1) ；(2) 点 在点 的正东方向 1 个单位长度、正北方向 3 个单位长度处；(3) 【解析】 (1) 点 的位置是 ，点 在点 的正东方向 3 个单位长度处，所以点 的位置是 ． (2) 点 的位置是 ，与 比较：横坐标大 1，说明它在点 的正东方向 1 个单位长度处；纵坐标大 3，说明它在点 的正北方向 3 个单位长度处． (3) 点 、 的坐标差为 2 与 1，由勾股定理得 ． 【解题提示】用有序数对表示位置时，先确定「原点」和「哪一个数在前面」；由坐标差就能判断两点之间的方向与距离． 18．【答案】 (1) 所得四边形是长方形（矩形）；(2) 15；(3) 6 【解析】 (1) 由坐标可知 轴、 轴，且 ； 轴、 轴，且 ； 又 ，所以四边形 是长方形（矩形）． (2) 长方形的长是 5、宽是 3，面积 ． (3) 点 、 的横坐标相同，所以 轴，； 点 到直线 （即直线 ）的距离是 ，它就是 边上的高； ． 【解题提示】由坐标判断四边形形状，先看边与坐标轴的位置关系（是否平行、是否垂直），再比较边长；求面积时把平行于坐标轴的边作为底最省事． 19．【答案】 (1) 12；(2) ，，，；(3) 6 【解析】 (1) 点 、 的纵坐标相同，所以 轴，；点 、 的纵坐标相同，所以 轴，； 与 之间的距离是 ，所以四边形 是梯形，； (2) 关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以 ，，，； (3) 点 与点 的纵坐标相同，． 【解题提示】求四边形面积时先看有没有平行的边：有平行边就是梯形，可以直接用梯形面积公式；关于 轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数． 20．【答案】 (1) 12；(2) ，；(3) 关于 轴对称的两个三角形面积相等 【解析】 (1) 点 、 的纵坐标都是 ，所以 轴，；点 到直线 的距离是 ； ． (2) 点 关于 轴的对称点是 ；点 到直线 （即直线 ）的距离是 ； ． (3) 由计算可知 ，即关于 轴对称的两个三角形面积相等． 【解题提示】关于坐标轴对称的两个图形是全等图形，对应边相等、对应角相等，面积自然也相等；本题两个三角形同底，高的变化一眼可见． 21．【答案】 (1) ；(2) ， 或 【解析】 (1) 第一、三象限的角平分线上点的横坐标与纵坐标相等，所以 ； 解得 ，． (2) 直线 与 轴平行，所以点 、 的纵坐标相等，即 ； ，而 ，所以 或 ； 解得 或 ． 【解题提示】第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；与 轴平行的线段，长度等于两端点横坐标之差的绝对值，去绝对值时有两种情况． 22．【答案】 (1) ；(2) 「卒」在「炮」的正西方向 3 个单位长度、正南方向 2 个单位长度处；(3) 【解析】 (1) 「车」在「炮」的正东方向 3 个单位长度处，所以它的纵坐标与「炮」相同、横坐标比「炮」大 3； 「车」的坐标是 ，即 ． (2) 把「卒」的坐标 与「炮」的坐标 比较：横坐标小 3，说明在正西方向 3 个单位长度处；纵坐标小 2，说明在正南方向 2 个单位长度处． (3) 两点坐标之差为 1 与 2，由勾股定理得 ，所以「炮」与「马」之间的距离是 ． 【解题提示】把实际问题「翻译」成坐标问题后，方向对应坐标的增减：向东横坐标增大，向北纵坐标增大． 23．【答案】 (1) ，；(2) ；(3) 4 【解析】 (1) 奇数个点的纵坐标是 1，偶数个点的纵坐标是 ；所以 ，． (2) 2026 是偶数，所以点 的纵坐标是 ，横坐标是 2026，即 ． (3) 点 、 的纵坐标相同，所以 轴，；点 到直线 （即直线 ）的距离是 2； 所以 ； 同理，点 、 的纵坐标相同， 轴且 ，点 到直线 的距离是 2，； 所以两个三角形的面积之和是 ． 【解题提示】「横坐标递增、纵坐标按周期交替」的规律题，关键是先分清奇、偶位置；再求面积时，利用平行于 轴的边作底、用点到这条直线的距离作高． 24．【答案】 (1) 4；(2) ，；(3) 【解析】 (1) 点 、 都在 轴上，所以 ；点 到 轴的距离是 4，它就是 边上的高； ． (2) 点 从 出发沿 轴正方向运动，每秒 1 个单位长度， 秒后横坐标增加 ，所以 ； 中，点 、 都在 轴上，；点 到 轴的距离是 4，即 边上的高为 4； ． (3) 由题意得 ，即 ； 解得 ． 【解题提示】动点问题的常规套路：先用含 的式子表示动点坐标，再用坐标表示线段的长度，最后列出关于 的方程；注意横坐标增加还是减少，决定线段长度变大还是变小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章位置与坐标【单元进阶卷・单元卷 2】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，点 位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若点 是第二象限的点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列各点中，到 轴的距离等于 3 的是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点 、、， 是 关于 轴对称的图形，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．已知点 到 轴的距离是 5，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 或 6．如果点 在第二象限，那么点 在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．【阅读】在平面直角坐标系中，任意两点 、 之间的距离可以用公式 计算。例如：已知 、，则 。根据上述材料，点 与点 之间的距离是（　　） A． B． C． D． 8．已知点 ，有下列说法：① 点 关于 轴的对称点的坐标是 ；② 点 关于 轴的对称点的坐标是 ；③ 点 关于 轴的对称点在第四象限．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．在平面直角坐标系中，已知点 、，点 在 轴上，且 的面积等于 14，则点 的坐标是（　　） A． 或 B． C． D． 或 10．在平面直角坐标系中，将若干个整点按下列规律依次排列：，，，，，，……，即第 1 个点是 ，第 2 个点是 ，……，第 个点中「横坐标与纵坐标之和」等于 的最小可能值。按此规律，第 2026 个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若点 的横坐标是 、纵坐标是 2，则点 的坐标记作 ______，它到 轴的距离是 ______． 12．已知点 在第四象限，则点 在第 ______ 象限． 13．在平面直角坐标系中，点 与点 关于某条垂直于 轴的直线对称，则这条直线的表达式是 ______；若点 关于这条直线的对称点是 ，则点 的坐标是 ______． 14．在平面直角坐标系中，点 在第二、四象限的角平分线上，则 的值是 ______． 15．在平面直角坐标系中，直线 是第一、三象限的角平分线（即直线 ）。已知点 关于直线 的对称点为 ，则点 关于直线 的对称点 的坐标是 ______． 16．在平面直角坐标系中，直线 经过点 且与 轴平行。点 关于直线 的对称点 的坐标是 ______，点 与点 之间的距离是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）在由 25 个点组成的 点阵中，同一行、同一列中相邻两个点之间的距离都是 1 个单位长度。已知点 的位置用 表示，点 的位置用 表示． (1) 若点 在点 的正东方向 3 个单位长度处，写出点 的位置； (2) 若点 的位置用 表示，说明点 相对于点 的位置； (3) 求点 、 之间的距离． 18．（6 分）在平面直角坐标系中，已知点 、、、． (1) 在平面直角坐标系中描出点 、、、，并依次连接点 、、、、，判断所得四边形的形状； (2) 求这个四边形的面积； (3) 若点 的坐标是 ，求 的面积． 19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的四个顶点 A、B、C、D 的坐标分别是 、、、． (1) 求四边形 的面积； (2) 作出四边形 关于 轴对称的四边形 ，并写出顶点 、、、 的坐标； (3) 求点 与点 之间的距离． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B、C，它们的坐标分别是 、、． (1) 求 的面积； (2) 若点 与点 关于 轴对称，求点 的坐标，并求 的面积； (3) 比较 与 的面积，你能得到什么结论？请用一句话说明． 21．（6 分）在平面直角坐标系中，解答下列各题． (1) 若点 在第一、三象限的角平分线上，求 的值； (2) 已知点 、，若直线 与 轴平行，且 ，求 、 的值． 22．（6 分）中国象棋文化历史悠久。在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，棋盘上每个小方格的边长都是 1 个单位长度。已知「炮」位于点 、「马」位于点 ． (1) 若「车」在「炮」的正东方向 3 个单位长度处，写出「车」的坐标； (2) 若「卒」的坐标是 ，说明「卒」相对于「炮」的位置； (3) 求「炮」与「马」之间的距离． 23．（8 分）在平面直角坐标系中，按下列规律依次产生点：，，，，……，即第 个点的横坐标是 ，纵坐标按 1、、1、、…… 交替出现． (1) 写出点 、 的坐标； (2) 求点 的坐标； (3) 依次连接 、、、，求 与 的面积之和． 24．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别是 、， 是坐标原点。点 从点 出发，沿 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设运动时间是 秒． (1) 求 的面积； (2) 用含 的代数式表示点 的坐标，并求 的面积； (3) 当 的面积是 面积的 2 倍时，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $