3.3 轴对称与坐标变化 分层卷2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

3.3分层卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各点中，与点 关于 轴对称的点是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，与点 关于 轴对称的点是（　　） A． B． C． D． 3．已知点 关于 轴对称的点是 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，把 各顶点的横坐标都乘以 、纵坐标不变，所得的图形与原图形（　　） A．关于 轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线 对称 D．关于 轴对称 5．点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将点 沿 轴翻折，所得点的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．已知点 和点 关于 轴对称，则 的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图是蜡烛在平面镜中成像的示意图，以镜面所在的直线为 轴、过镜面的竖直线为 轴建立平面直角坐标系（镜面的厚度忽略不计）。若某时刻火焰顶尖点 的坐标是 ，它对应的虚像点 的坐标是 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 、、。先作出 关于 轴对称的 ，再作出 关于 轴对称的 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，对点 作如下变换：第 1 次作点 关于 轴的对称点，第 2 次作所得点关于 轴的对称点，第 3 次作所得点关于 轴的对称点，第 4 次作所得点关于 轴的对称点，……如此循环往复。若点 的初始坐标是 ，则第 2026 次变换后所得点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．剪纸艺术中常出现轴对称图案。一幅蝴蝶剪纸图案关于 轴对称，图案上的点 的对应点是 。若点 的坐标是 ，则点 的坐标是 ______． 12．若点 与点 关于 轴对称，则 的值是 ______． 13．已知点 关于 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围是 ______． 14．在平面直角坐标系中，把点 沿 轴翻折得到点 ，则 的值是 ______． 15．在平面直角坐标系中，已知点 、，点 关于 轴的对称点为 ，则 的面积是 ______． 16．已知点 的坐标满足 ，则点 关于 轴的对称点 的坐标是 ______，点 与点 之间的距离是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知点 ． (1) 分别写出点 关于 轴、关于 轴的对称点的坐标； (2) 若点 与点 关于 轴对称，求 、 的值． 18．（6 分）在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 、、． (1) 求 关于 轴对称的 的各顶点坐标； (2) 说明 与 的形状、大小关系，并指出对应顶点连线与 轴的位置关系． 19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点是点 A、点 B，它们的坐标分别是 、． (1) 作出线段 关于 轴对称的线段 ，并写出 、 的坐标； (2) 作出线段 关于 轴对称的线段 ，并写出 、 的坐标． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，长方形 ABCD 的四个顶点是点 A、B、C、D，它们的坐标依次是 、、、． (1) 求长方形 关于 轴对称的长方形 的各顶点坐标； (2) 求长方形 的面积，并说明长方形 与长方形 的面积关系． 21．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是 1 个单位长度， 的三个顶点 A、B、C 都在格点上，它们的坐标分别是 、、． (1) 作出 关于 轴对称的 ； (2) 写出点 、、 的坐标； (3) 求 的周长． 22．（6 分）【新定义】把点 关于 轴的对称点称为点 的「一次反射点」，把点 的「一次反射点」关于 轴的对称点称为点 的「二次反射点」． (1) 点 的一次反射点是 ______，二次反射点是 ______； (2) 若点 的一次反射点与点 的二次反射点重合，求 的值． 23．（8 分）在平面直角坐标系中，已知点 、、、． (1) 分别写出点 、、、 关于 轴的对称点 、、、 的坐标； (2) 四边形 与四边形 是否全等？请说明理由； (3) 求四边形 的面积． 24．（8 分）在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别是 、． (1) 写出点 A 关于 轴的对称点 的坐标，以及点 B 关于 轴的对称点 的坐标； (2) 说明点 A 与点 B 关于某条直线 对称，并求出直线 （要求写出这条直线上两个点的坐标）； (3) 若点 与点 关于直线 对称，求 的值． 参考答案与详细解析 1．【答案】 A 【解析】 关于 轴对称的两个点，横坐标相同、纵坐标互为相反数； 点 的横坐标是 2、纵坐标是 ，所以它的对称点是 ．选 A． 【解题提示】口诀：关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号；关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号． 2．【答案】 B 【解析】 关于 轴对称的两个点，纵坐标相同、横坐标互为相反数； 点 的横坐标是 、纵坐标是 ，所以它的对称点是 ．选 B． 【解题提示】先判断是「关于哪条坐标轴对称」，再决定改横坐标还是改纵坐标，不要把两条规律记混． 3．【答案】 C 【解析】 点 与 关于 轴对称，所以它们的横坐标相同、纵坐标互为相反数； 于是点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，即 ．选 C． 【解题提示】「由对称点反求原坐标」时，把已知点的横坐标照抄、纵坐标变号即可；对称关系是相互的， 的对称点是 ，则 的对称点就是 ． 4．【答案】 D 【解析】 把每一点的横坐标乘以 、纵坐标不变，就是横坐标变为相反数、纵坐标保持相同； 这正是「关于 轴对称」的坐标变化规律，所以所得图形与原图形关于 轴对称．选 D． 【解题提示】横坐标变号、纵坐标不变 关于 轴对称；纵坐标变号、横坐标不变 关于 轴对称． 5．【答案】 A 【解析】 点 关于 轴对称的点 的坐标是 ； 再把 关于 轴对称，得 ．选 A． 【解题提示】连续两次对称要一步一步来：先写出第一个对称点的坐标，再对它作第二次对称，切忌两次规律一起套用而出错． 6．【答案】 A 【解析】 把点沿 轴翻折，就是作这个点关于 轴的对称点； 关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以所得点的坐标是 ．选 A． 【解题提示】「沿某条坐标轴翻折」与「关于某条坐标轴对称」是同一件事，先把它翻译成轴对称语言，再用坐标变化规律求解． 7．【答案】 B 【解析】 点 与点 关于 轴对称，则横坐标相同、纵坐标互为相反数； 所以 ，，解得 ，； 于是 ，．选 B． 【解题提示】列式时先定「哪两个坐标相等」：关于 轴对称，横坐标相等；再定「哪两个坐标互为相反数」：纵坐标互为相反数． 8．【答案】 D 【解析】 火焰顶尖点 与它的虚像点 关于镜面（即 轴）对称，所以它们的横坐标相同、纵坐标互为相反数； 由 、 得 ，； 所以 ，．选 D． 【解题提示】平面镜成像的物理规律与数学规律一致：物点与像点关于镜面对称，所以看到「成像」「倒影」「镜像」就想到轴对称． 9．【答案】 C 【解析】 点 关于 轴对称的点 的坐标是 ； 再把 关于 轴对称，得 ．选 C． 【解题提示】两次变换的顺序不同，结果可能不同；本题只要求点 的对应点，抓住点 逐步变换即可，不必画出整个三角形． 10．【答案】 B 【解析】 按顺序计算：初始 ；第 1 次得 ；第 2 次得 ；第 3 次得 ；第 4 次得 ，回到初始坐标； 可见每 4 次变换所得点的坐标循环一次，周期是 4； 因为 ，所以第 2026 次所得点与第 2 次所得点相同，为 ．选 B． 【解题提示】「循环往复变换」的常规解法是先手算前几次、找出周期，再用「次数除以周期看余数」确定落在循环中的哪一步；余数为 0 时对应的是一个周期的最后一步． 11．【答案】 【解析】 图案关于 轴对称，所以图案上任意一点与它的对应点关于 轴对称； 关于 轴对称时纵坐标相同、横坐标互为相反数，故 的坐标是 ． 【解题提示】图案对称 对应点关于同一条直线对称；先判断对称轴是 轴还是 轴，再决定哪一个坐标变号． 12．【答案】 【解析】 点 与点 关于 轴对称，则纵坐标相等、横坐标互为相反数； 所以 ，； 于是 ． 【解题提示】这类题先把两个字母的值分别求出来，再代入所要求的式子；注意负号不要漏． 13．【答案】 【解析】 点 关于 轴的对称点 的坐标是 ； 点 在第四象限，则横坐标大于 0、纵坐标小于 0，即 且 ； 由 得 ，由 得 ；两个条件同时成立，所以 ． 【解题提示】先把对称点的坐标写出来，再用「象限符号」列不等式组；最后取各个不等式的公共部分． 14．【答案】 【解析】 把点沿 轴翻折，就是作这个点关于 轴的对称点； 所以点 的坐标是 ，即 ，； 于是 ． 【解题提示】负整数指数幂要化成分式：；底数为负数时平方后为正，不要写成 ． 15．【答案】 【解析】 点 关于 轴对称的点 的坐标是 ； 点 、 的纵坐标都是 2，所以 平行于 轴，； 点 到直线 （即直线 ）的距离为 ，所以 ． 【解题提示】求三角形面积时，若有一条边平行于坐标轴，就以它为底，用另一个点到这条直线的距离作高． 16．【答案】 ； 【解析】 因为 ，，而它们的和为 0，所以 且 ； 解得 ，，即 ； 点 关于 轴的对称点 的坐标是 ； 点 与点 的横坐标相同，纵坐标分别是 1 与 ，所以两点的距离是 ． 【解题提示】两个非负数之和为 0，则它们分别都为 0，这是求字母值的常用方法；关于 轴对称的两点连线垂直于 轴，两点的距离等于两个纵坐标之差的绝对值． 17．【答案】 (1) 点 关于 轴的对称点是 ，关于 轴的对称点是 ；(2) ， 【解析】 (1) 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，所以点 关于 轴的对称点是 ；关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以点 关于 轴的对称点是 ． (2) 点 与点 关于 轴对称，则横坐标相同、纵坐标互为相反数； 所以 ，． 【解题提示】写对称点坐标时先确定对称轴，再决定改哪一个坐标；「横坐标相同」与「纵坐标互为相反数」是同一个条件的两句话，分别对应两个方程． 18．【答案】 (1) ，，；(2) 两个三角形形状相同、大小相等（全等）；对应顶点的连线垂直于 轴，且被 轴垂直平分 【解析】 (1) 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，所以 ，，． (2) 把一个图形沿 轴翻折就能与它的对称图形完全重合，所以两个三角形的形状相同、大小相等，它们是全等图形； 对应顶点的横坐标相同，连线垂直于 轴；两个对应点的纵坐标互为相反数，所以连线段的中点落在 轴上，即对应顶点的连线被 轴垂直平分． 【解题提示】轴对称的性质：对应线段相等、对应角相等，两个图形全等；对应点连线垂直于对称轴，并被对称轴垂直平分． 19．【答案】 (1) ，；(2) ， 【解析】 (1) 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，所以 ，；在图中描出 、 并连接，即得线段 ． (2) 关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以 ，；在图中描出 、 并连接，即得线段 ． 【解题提示】作一个图形的轴对称图形，只要作出各个关键点的对称点，再按原图的方式依次连接；线段的对称图形仍是线段． 20．【答案】 (1) ，，，；(2) 长方形 的面积是 12，长方形 与长方形 的面积相等 【解析】 (1) 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，所以 ，，，． (2) 长方形 的长 ，宽 ，面积 ； 长方形 与长方形 关于 轴对称，两个图形全等，所以它们的面积也相等． 【解题提示】求矩形（长方形）的面积要分清长和宽，用两个顶点的坐标之差分别求两条邻边的长；轴对称的两个图形是全等图形，所以周长相等、面积相等． 21．【答案】 (2) ，，；(3) 周长为 【解析】 (1) 关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以 ，，；在网格中描出这三点并依次连接，即得 ． (2) 点 、、 的坐标如上． (3) 由坐标可知 ，，且 与 分别平行于 轴、 轴，所以 ； 由勾股定理得 ； 所以 的周长为 ． 【解题提示】在网格中作图，先把三个顶点的对称点标出来，再连线；求周长时注意哪里有直角，可以用勾股定理求斜边． 22．【答案】 (1) ；；(2) ，， 【解析】 (1) 点 关于 轴的对称点是 ，所以它的一次反射点是 ； 再把 关于 轴对称，得 ，所以它的二次反射点是 ． (2) 点 的一次反射点是 ，再关于 轴对称得二次反射点 ； 点 的一次反射点是 ； 由题意得 ，，解得 ，； 所以 ． 【解题提示】新定义题的关键是「按定义一步一步算」：先求一次反射点，再在它的基础上求二次反射点，不要跳步． 23．【答案】 (1) ，，，；(2) 全等，理由见解析；(3) 面积为 10 【解析】 (1) 关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以 ，，，；其中点 在 轴上，所以它的对称点 与它重合． (2) 四边形 与四边形 关于 轴对称，沿 轴翻折后能完全重合； 所以它们的形状相同、大小相等，两个四边形全等． (3) 用「割补法」求面积：四边形 恰好被由 、、、 围成的长方形框住，该长方形的面积是 ； 长方形四周多出的四个直角三角形面积依次为 （左上）、（右上）、（右下）、（左下）； 所以 ． 【解题提示】求坐标系中不规则四边形的面积，常用「割补法」：先求出能把四边形框住的最小长方形面积，再减去四周三角形的面积． 24．【答案】 (1) ，；(2) 对称轴是过点 且垂直于 轴的直线 （例如它经过 、）；(3) 【解析】 (1) 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，所以 的对称点是 ；关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以 的对称点是 ． (2) 点 与点 的纵坐标相同，所以线段 与 轴平行； 线段 的中点是 ； 线段 的垂直平分线就是它的对称轴，所以直线 是经过点 且垂直于 轴的直线，即 ；它经过 、 两点． (3) 点 与点 关于直线 对称，则它们的纵坐标相同，横坐标之和等于 ； 所以 ，，解得 ； 所以 ． 【解题提示】判断两点关于哪条直线对称：纵坐标相同时，对称轴是过它们的中点且垂直于 轴的直线（横坐标等于中点的横坐标）；横坐标相同时，对称轴是过中点且垂直于 轴的直线；关于直线 对称的两点，纵坐标相同、横坐标之和等于 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3分层卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各点中，与点 关于 轴对称的点是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，与点 关于 轴对称的点是（　　） A． B． C． D． 3．已知点 关于 轴对称的点是 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，把 各顶点的横坐标都乘以 、纵坐标不变，所得的图形与原图形（　　） A．关于 轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线 对称 D．关于 轴对称 5．点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将点 沿 轴翻折，所得点的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．已知点 和点 关于 轴对称，则 的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图是蜡烛在平面镜中成像的示意图，以镜面所在的直线为 轴、过镜面的竖直线为 轴建立平面直角坐标系（镜面的厚度忽略不计）。若某时刻火焰顶尖点 的坐标是 ，它对应的虚像点 的坐标是 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 、、。先作出 关于 轴对称的 ，再作出 关于 轴对称的 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，对点 作如下变换：第 1 次作点 关于 轴的对称点，第 2 次作所得点关于 轴的对称点，第 3 次作所得点关于 轴的对称点，第 4 次作所得点关于 轴的对称点，……如此循环往复。若点 的初始坐标是 ，则第 2026 次变换后所得点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．剪纸艺术中常出现轴对称图案。一幅蝴蝶剪纸图案关于 轴对称，图案上的点 的对应点是 。若点 的坐标是 ，则点 的坐标是 ______． 12．若点 与点 关于 轴对称，则 的值是 ______． 13．已知点 关于 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围是 ______． 14．在平面直角坐标系中，把点 沿 轴翻折得到点 ，则 的值是 ______． 15．在平面直角坐标系中，已知点 、，点 关于 轴的对称点为 ，则 的面积是 ______． 16．已知点 的坐标满足 ，则点 关于 轴的对称点 的坐标是 ______，点 与点 之间的距离是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知点 ． (1) 分别写出点 关于 轴、关于 轴的对称点的坐标； (2) 若点 与点 关于 轴对称，求 、 的值． 18．（6 分）在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 、、． (1) 求 关于 轴对称的 的各顶点坐标； (2) 说明 与 的形状、大小关系，并指出对应顶点连线与 轴的位置关系． 19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点是点 A、点 B，它们的坐标分别是 、． (1) 作出线段 关于 轴对称的线段 ，并写出 、 的坐标； (2) 作出线段 关于 轴对称的线段 ，并写出 、 的坐标． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，长方形 ABCD 的四个顶点是点 A、B、C、D，它们的坐标依次是 、、、． (1) 求长方形 关于 轴对称的长方形 的各顶点坐标； (2) 求长方形 的面积，并说明长方形 与长方形 的面积关系． 21．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是 1 个单位长度， 的三个顶点 A、B、C 都在格点上，它们的坐标分别是 、、． (1) 作出 关于 轴对称的 ； (2) 写出点 、、 的坐标； (3) 求 的周长． 22．（6 分）【新定义】把点 关于 轴的对称点称为点 的「一次反射点」，把点 的「一次反射点」关于 轴的对称点称为点 的「二次反射点」． (1) 点 的一次反射点是 ______，二次反射点是 ______； (2) 若点 的一次反射点与点 的二次反射点重合，求 的值． 23．（8 分）在平面直角坐标系中，已知点 、、、． (1) 分别写出点 、、、 关于 轴的对称点 、、、 的坐标； (2) 四边形 与四边形 是否全等？请说明理由； (3) 求四边形 的面积． 24．（8 分）在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别是 、． (1) 写出点 A 关于 轴的对称点 的坐标，以及点 B 关于 轴的对称点 的坐标； (2) 说明点 A 与点 B 关于某条直线 对称，并求出直线 （要求写出这条直线上两个点的坐标）； (3) 若点 与点 关于直线 对称，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $