3.3 轴对称与坐标变化（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到中考衔接，覆盖坐标系对称、图形变化等核心知识点，梯度合理，适配新授课分层教学与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|单一知识点（坐标对称、图形变化）|单选填空夯实基础，解答题强化作图与计算，培养几何直观| |B组能力进阶|综合应用（折叠、最值问题）|结合图形变换的中档题，提升空间观念与推理能力| |C组思维拔高|复杂问题（动点、等腰三角形存在性）|多知识点融合题，发展创新意识与批判性思维| |拓展链接中考|中考题型（对称综合、动态问题）|对接中考真题，强化应用意识与问题解决能力|

分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 坐标系内的对称 题型02 坐标系内关于直线对称 题型03 坐标系内最值问题 题型04 图形坐标的变化 题型05 折叠问题求坐标 题型06 坐标系内动点问题 题型07 坐标系内确定等腰三角形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 3.3 轴对称与坐标变化 坐标系内的对称题型01 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 4．点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 5．已知点，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 6．在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 7．已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 8．已知点和点关于轴对称，则___________． 9．在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 10．已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 11．在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则_____． 三、解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使与关于y轴对称； （2）在（1）的条件下，写出点A、B、C的对应点、、的坐标． 13．如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 坐标系内关于直线对称题型02 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 3．在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则________． 4．若，B是平面直角坐标系内的两个点，且它们关于直线对称，则点B的坐标是________． 5．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则_________． 坐标系内最值问题题型03 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 二、填空题 2．如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为________． 三、解答题 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)画出关于轴对称的，并直接写出各顶点的坐标；________；________；________； (2)直接写出的面积是________； (3)在轴上找一点，使最小，最小值为多少？ 4．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴对称的，其中点的对应点是点，点的对应点是点； (2)请分别写出点的坐标，并求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，点的坐标为___________． 图形坐标的变化题型04 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，以，为端点的线段关于y轴的对称图形为线段，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 5．如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 6．若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，与关于直线（直线上各点的横坐标都为1）成轴对称，则点的坐标为______． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为______． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 10．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，四边形四个顶点都在格点上，已知点的坐标是，点的坐标是； (1)建立适当的平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)若四边形各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘－1，请在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这四个点，则所得四边形与四边形有怎样的位置关系？ (3)计算四边形的面积． 11．如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)作关于直线对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； (2)直接写出点，，的坐标及的面积． 折叠问题求坐标题型05 一、填空题 1．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，点D在边上．将沿折叠，点B落在边上的点E处，则的长为____．    4．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为_________． 坐标系内动点问题题型06 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 4．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 6．如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是________． 三、解答题 7．如图，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，过点A作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两垂线交于点B，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动． (1)点B的坐标为_______； (2)当点P移动了4秒时，求点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，B的坐标分别为，，D是的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)点B坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)当点P在上(包含端点)运动时，求点P的坐标是 ，t的取值范围为 ． (3)当的面积为9时，求出点P的坐标； 9．在平面直角坐标系中，． (1)线段 ， ； (2)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与点O、B点重合） 速度为每秒2个单位长度，连接，当运动的时间t为几秒时，? 并求出此时点P的坐标． 坐标系内确定等腰三角形题型07 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（    ） A．（0，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（4，2） 二、填空题 3．在平面直角坐标系中，点、，点在轴正半轴上，若是等腰三角形，则点坐标是_______________________． 4．如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标是______． 5．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个． 三、解答题 6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形中，点，D为的中点，P为边上一点．若为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． 7．（1）在平面直角坐标系中描出下列3个点，， （2）在中，边上的高为___________． （3）在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，则的坐标为___________． 一、单选题 1．已知，那么A点关于直线对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．点和点关于x轴对称，则（    ） A．1 B． C． D．0 二、填空题 4．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第变换后所得的点坐标是________． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是4，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右移动，设运动时间为（单位：秒）． (1)点的坐标为________； (2)当时，点的坐标为________，点的坐标为________； (3)当点，满足轴时，求的值； (4)当点移动到轴左侧，且四边形的面积为10时，求点的坐标． 8．如图，已知，，P、M关于直线的对称点为，． (1)写出的坐标______，的坐标______； (2)思考：写出关于的对称点的坐标______； (3)推广：写出点关于直线的对称点的坐标______． 9．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的（点与点A是对称点，点与点B是对称点）； (2)点B关于x轴对称的点的坐标为______； (3)点B关于y轴对称的点的坐标为______； (4)点B关于直线对称的点的坐标为______． 10．如图所示，在平面直角坐标系中．    (1)分别写出两点的坐标；：_____ ； ：_____； (2)在平面直角坐标系中找一点，使其坐标为； (3)平面直角坐标系内的点关于轴的对称点的坐标为_______；关于轴的对称点的坐标为______； (4)已知点在轴上，则点的坐标为_____； (5)在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是1，则点的坐标为_________． 11．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于y轴成轴对称，作出，写出点B的对称点，的坐标：（   ）； (2)若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出P点，并写出P点的坐标（   ）； (3)点Q在x轴上，且满足为等腰三角形，则这样的Q点有（   ）个． 12．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点． （1）用含x的式子表示线段的长是_____； （2）结合图形，判断式子的最小值是____． 二、解答题 2．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出A﹑B、C三点的坐标____________、___________、_________． (2)的周长为_________，面积为_________； (3)画出关于x轴的对称图形． (4)已知点P为x轴上一动点，则的最小值为_________． 3．在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的<，>双反图形．例如：点的轴，轴>双反图形是点． (1)点的轴，轴>双反图形点的坐标为 ； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的轴，双反图形点的坐标为 ； ②当直线经过原点时，若的轴，双反图形上只存在两个与轴的距离为1的点，直接写出的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们定义它们的“横纵差”为：．若，则称，两点互为“平衡点”例如：若点，，则，所以点，不是“平衡点”；若点，，则，所以点，互为“平衡点”． (1)若点的坐标是，下列各点中，与点互为“平衡点”的是 ； ①；②；③ (2)已知点，点，互为“平衡点”，小慧认为这样的点有无数个，请判断小慧的说法是否正确？若正确，请在平面直角坐标系中描出一些符合要求的点，并通过观察，写出你的一个猜想；若错误，请说明理由； (3)已知点，的坐标分别是，，点是轴上的一个动点．当点，互为“平衡点”，三角形的面积为3时，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．如图所示，在平面直角坐标系中．    (1)分别写出两点的坐标；：_____ ； ：_____； (2)在平面直角坐标系中找一点，使其坐标为； (3)平面直角坐标系内的点关于轴的对称点的坐标为_______；关于轴的对称点的坐标为______； (4)已知点在轴上，则点的坐标为_____； (5)在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是1，则点的坐标为_________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 坐标系内的对称 题型02 坐标系内关于直线对称 题型03 坐标系内最值问题 题型04 图形坐标的变化 题型05 折叠问题求坐标 题型06 坐标系内动点问题 题型07 坐标系内确定等腰三角形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 3.3 轴对称与坐标变化 坐标系内的对称题型01 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 2．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 4．点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与对称，熟练掌握以上知识是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，分别求解即可. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，且， 解得：，， ∴， 故选；B． 5．已知点，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【答案】B 【详解】已知点 ， ， ∵点和点的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A不符合题意，B符合题意． 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，与不互为相反数，故C不符合题意． 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D不符合题意． 选B． 6．在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【答案】B 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称． 7．已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中对称点的坐标特征，关键掌握关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 先与关于轴对称推出点和点也关于轴对称，再通过平面直角坐标系得到点坐标，然后求解点的坐标即可． 【详解】解： ∵与关于轴对称， ∴点和点也关于轴对称， ∵由图可知点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 二、填空题 8．已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 9．在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，关于轴对称的点的坐标特征． 根据折叠的性质和关于轴对称的点的坐标特征，可知点和点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得点的坐标． 【详解】解：∵将点沿轴折叠，得到对应点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 10．已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 11．在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使与关于y轴对称； （2）在（1）的条件下，写出点A、B、C的对应点、、的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）（3，2）、（4，-3）、（1，-1） 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标为相反数，画出即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标为相反数，写出各顶点坐标即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）（3，2）、（4，-3）、（1，-1） 【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，熟知关于对称轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 13．如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)最大值，的坐标为 【分析】（1）依据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点的坐标并作图；（2）利用轴对称性质将转化为，再结合三角形三边关系确定的最大值，进而求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图， ∵，其关于轴对称的点的横坐标保持3不变，纵坐标为2的相反数， 因此的坐标为． 在直角坐标系中，找到横坐标为、纵坐标为的位置，标记该点即为． （2）解：由于点是关于轴的对称点，且点在轴上， ． ． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边， 即． 当且仅当点在直线的延长线与轴的交点时，等号成立， 此时， 即的最大值为的长度． ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 坐标系内关于直线对称题型02 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 二、填空题 2．在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的对称，正确把握对称的性质是解题关键． 点关于点对称时，对称中心是两点的中点，利用中点公式列方程求解． 【详解】解：设对称点的坐标为，则点是点和点的中点． 根据中点公式，得： 对于坐标：，解得； 对于坐标：，解得． 故对称点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于成轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相加等于4，求解. 【详解】已知，两点关于直线对称， ， ， ， 故答案为：-2. 【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律. 4．若，B是平面直角坐标系内的两个点，且它们关于直线对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于直线对称的点，横坐标相同，纵坐标之和等于，求解． 【详解】解：，B 关于直线对称，横坐标相同，纵坐标相加等于 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则_________． 【答案】0 【分析】直接利用关于直线对称点的坐标特点：横坐标不变，是两个点的纵坐标的中点，得出的值，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于直线对称 故答案为：0． 坐标系内最值问题题型03 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 二、填空题 2．如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为________． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先将点向下平移1个单位长度得到点，连接，易得四边形是平行四边形，因此， 可得四边形的周长，作点关于直线的对称点，连接，易得当、、三点共线时，取最小值，由，，求出直线所在的解析式为，即可求出点，点，求出此时该四边形的面积即可． 【详解】解：将点向下平移1个单位长度得到点，连接， C，D是直线上的两动点，且， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形的周长， 作点关于直线的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值，如图所示， ，， 设直线所在的解析式为， 把点，代入解析式， 得，解得， 直线所在的解析式为， 当时，点， ， 点， ． 三、解答题 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)画出关于轴对称的，并直接写出各顶点的坐标；________；________；________； (2)直接写出的面积是________； (3)在轴上找一点，使最小，最小值为多少？ 【答案】(1)画图见解析；，， (2) (3)画图见解析； 【分析】本题考查了关于 y 轴对称的图形变换、三角形面积计算及最短路径问题（利用轴对称求线段和的最小值），解题关键是掌握轴对称的坐标规律、割补法求面积，以及利用轴对称转化线段和求最小值的方法． （1）根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数”，确定三角形各顶点的对称点，连接得并写坐标即可； （2）用割补法（矩形面积减周围三角形面积）计算的面积即可； （3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于，此时，计算的长度即最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 ，，， 故答案为：，，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：如图所示，点即为所求 由图可知， 由勾股定理得， 最小值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴对称的，其中点的对应点是点，点的对应点是点； (2)请分别写出点的坐标，并求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2)，；的面积为； (3) 【分析】本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、坐标与图形变化，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称的定义画出图形，即可求解； （2）根据图形写出点的坐标，的面积等于长方形的面积减去周围3个三角形的面积，即可求解； （3）根据题意，利用轴对称的性质，找到点B关于x轴的对称点，连接，即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所作的图形； （2）解：由图，可得 ，． ． （3）解：连接，与x轴的交点即为点P，由图可得，点P的坐标为．理由如下： ∵点B与点关于x轴对称， ∴， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，可得此时的值最小． 故答案为：． 图形坐标的变化题型04 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 2．如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵和关于轴对称， 点与点Q关于x轴对称． 又点P的坐标是， 点Q的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，以，为端点的线段关于y轴的对称图形为线段，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用规律即可求出对称点的坐标． 【详解】解：∵ 平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 而点的坐标为， ∴ 点的纵坐标为，横坐标为， 即的坐标为． 二、填空题 4．如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出、的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：物体与像关于平面镜对称， 可得：， 解得：， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵与关于轴对称， 点在的边上， ∴点在上的对应点的坐标是． 6．若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 【答案】 【分析】根据坐标变换得到点与点的坐标特征，结合对称点的坐标特征判断对称轴即可． 【详解】解：设点的坐标为 由题意得，变换后点的坐标为 根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于轴对称． 可得点与点关于轴对称． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，与关于直线（直线上各点的横坐标都为1）成轴对称，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-对称，能根据题意画出图形是解题的关键． 根据题意，画出的位置，据此可解决问题． 【详解】解：如图所示， 所以点的坐标为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， 它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴， 点的坐标为， 点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解； （2）按要求画出点D，再由图写出点D的坐标； （3）根据题意，可知点E到的距离等于，在y轴上到的距离等于的点有两个，先画出点E，再由图写出点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点C与点A关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点C的坐标是； （2）解：点D如图所示， ∵，，， ∴； 由图可得，点D的坐标是； （3）解：∵在y轴上存在一点E，使得， ∴点E到的距离等于， 如图，在y轴上到的距离等于的点有两个，点E的坐标是或，即或． 10．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，四边形四个顶点都在格点上，已知点的坐标是，点的坐标是； (1)建立适当的平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)若四边形各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘－1，请在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这四个点，则所得四边形与四边形有怎样的位置关系？ (3)计算四边形的面积． 【答案】(1)坐标系见解析；； (2)图见解析，四边形与四边形关于轴对称． (3) 【分析】本题主要考查建立直角坐标系，轴对称图形的判断，利用网格求四边形的面积等知识． （1）按照点的坐标和点的坐标建立直角坐标系，然后再写出点，的坐标即可． （2）根据四边形各顶点的横坐标不变，横坐标都乘，描出对应的点，，，，进而可判断四边形与四边形的位置关系． （3）把四边形分成两个三角形面积和一个梯形的面积求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示， 点的坐标为； （2）解：由题意可知： ，，，四边形如图所示， 四边形与四边形关于轴对称． （3）解： 11．如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)作关于直线对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； (2)直接写出点，，的坐标及的面积． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作的三角形； (2)，，；5 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，求三角形的面积，作出对应点的位置，是解题的关键． （1）先作出点A、B、C关于直线的对称点，，，然后顺次连接即可； （2）根据作出的图形写出点，，的坐标，利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得：，，； ． 折叠问题求坐标题型05 一、填空题 1．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为___________． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、坐标与图形、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．作于点D，于点G，根据折叠的性质得到，，则，则，即可得到点F的坐标． 【详解】解：如图，作于点D，于点G， 正方形的点的坐标为， ， 正方形中，，沿折叠后点落在点处， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，点D在边上．将沿折叠，点B落在边上的点E处，则的长为____．    【答案】3 【分析】本题考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据矩形顶点坐标及勾股定理求出长，进而得到长，设，则，利用勾股定理得，解方程后即可得出答案． 【详解】解：矩形的边在x轴上，且， ，， 由折叠性质得，， 在中，， ， 设，则， ，即， 解得：， ， 故答案为：3． 4．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 坐标系内动点问题题型06 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， 当与全等时，或， 当时，，但此时； 当时，，即点的坐标为； 故选：D． 3．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 4．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 二、填空题 5．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 6．如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是________． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形，利用“一线三垂直”模型证明三角形全等，进而根据对应边相等求点的坐标． 过点分别作x轴的垂线，垂足为构造和；利用推导出结合证明根据全等三角形对应边相等，得到结合点的坐标计算点B的坐标（分两种情况）． 【详解】解：过点A作轴于过点B作轴于E， 则 ∵， ∴． 又∵， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ∴（全等三角形对应边相等） 已知点点 则． ∴． 分两种情况： ①当点E在点C右侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即 ②当点E在点C左侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即． 故答案为：或． 三、解答题 7．如图，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，过点A作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两垂线交于点B，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动． (1)点B的坐标为_______； (2)当点P移动了4秒时，求点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)2.5秒或5.5秒 【分析】（1）根据点的坐标的定义即可得出； （2）先求出点P移动了4秒时的路程，再结合坐标即可推断点P此时的位置并求出其坐标； （3）根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出，再根据时间=路程÷速度列式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴点B的横坐标为4， 又∵点C的坐标为， ∴点B的纵坐标为6， ∴点B的坐标为． （2）解：由题意知，，， 当点P移动了4秒时，点P共移动了个单位， ∴， ∴此时点P在线段的中点处，点P的坐标为． （3）解：点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5， 当点P在上时，则， ∴（秒）； 当点P在上时，则， ∴（秒）， 综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒． 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，B的坐标分别为，，D是的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)点B坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)当点P在上(包含端点)运动时，求点P的坐标是 ，t的取值范围为 ． (3)当的面积为9时，求出点P的坐标； 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形，一元一次方程的几何应用，解答的关键是分类讨论； （1）利用长方形的性质以及坐标与图形性质求出、两点坐标，再利用中点坐标公式即可求得点D坐标； （2）点在线段上，求出的长，进而即可求解； （3）分三种情形分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形，，， ∴，，，， ∴，，， 是的中点， ∴， ． 故答案为：；； （2）解：当在上运动时，, ∴，， 故答案为：，； （3）解：分三种情况： ①当时，点在上运动，坐标为，如图， 由题意得：， 解得：， 点的坐标为； ②当时，点在上运动，坐标为，如图， 由题意得：， ， 解得：， 点的坐标为； ③当时，点在上运动，坐标为，，如图， ， 解得：不合题意，舍去， ∵， ∴点P不可能在上， 综上所述，当或时，的面积为． 9．在平面直角坐标系中，． (1)线段 ， ； (2)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与点O、B点重合） 速度为每秒2个单位长度，连接，当运动的时间t为几秒时，? 并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)2，6 (2)t为1秒或3秒；点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，两点之间的距离，根据三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据面积比确定底边的比，得出，分情况进行讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴, 故答案为：2，6； （2）解：根据得，两个三角形同高，面积比等于底边的比， ∴, ∵， ∴当点位于轴正半轴时，或， 此时，或， ∴或； 当点位于轴负半轴时，不符合题意； ∴的值为1或3，点坐标为或． 坐标系内确定等腰三角形题型07 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q在轴上，是等腰三角形，分3种情况讨论，利用勾股定理表示出和的长，再列方程求出所有满足条件的点Q坐标即可解答． 【详解】解：是等腰三角形，点Q在轴上， 分3种情况讨论： ①若，则； ②若， ， ， 则或， ③若，设，则，， ， 解得：， 则； 综上所述，满足条件的点Q有，，和，共4个． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（    ） A．（0，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（4，2） 【答案】D 【分析】利用描点法，描出各个点即可判断． 【详解】观察图象可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题 3．在平面直角坐标系中，点、，点在轴正半轴上，若是等腰三角形，则点坐标是_______________________． 【答案】或 【分析】当时，作的垂直平分线，与轴正半轴交于点，在中，应用勾股定理，即可求解， 当时，以点为圆心，长为半径作圆，与轴正半轴交于点，由，即可求解， 本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：分情况讨论． 【详解】解：，， ，， 当时，过中点作，交轴于点， ，点是中点， ， 设，， 在中，，即：，解得：， ， 当时，在点右侧，截取，使， 在中，， ， ， ， 当时，不存在， 故答案为：或． 4．如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标是______． 【答案】(2，0) 或(4，0)或（2，0）或(-2，0) 【分析】（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，②以OA为底边时，（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，分别画出图形，结合图形，根据勾股定理与等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】(1)当点P在x轴正半轴上， ①以OA为腰时， ∵A的坐标是(2，2)， ∴∠AOP=45°，OA=2， ∴P的坐标是(4，0)或(2，0)； ②以OA为底边时， ∵点A的坐标是(2，2)， ∴当点P的坐标为：(2，0)时，OP=AP； (2)当点P在x轴负半轴上， ③以OA为腰时， ∵A的坐标是(2，2)， ∴OA=2， ∴OA=AP=2， ∴P的坐标是(−2，0)． 故答案为(2，0)或(4，0)或(2，0)或(−2，0)． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 5．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个． 【答案】8 【分析】根据等腰三角形的性质作图即可； 【详解】解：如图， 以AB为腰的三角形有6个， 分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6； 以AB为底的三角形有两个， 分别是△ABP7，△ABP8． 因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键． 三、解答题 6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形中，点，D为的中点，P为边上一点．若为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． 【答案】点P的坐标为或或或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，关键是要分情况讨论． 根据等腰三角形的定义，利用勾股定理分情况讨论即可． 【详解】解：∵长方形，， ∴， ∵D为的中点， ∴． （1）当时，点P在的垂直平分线上，点P的横坐标是，点P坐标是； （2）当时， ， ∴点P的坐标是； （3）当时， ①点P在点D左侧，作于E， ， ∴， ∴点P的坐标是； ②点P在点D右侧，作于F， ， ∴， ∴点P的坐标是． 7．（1）在平面直角坐标系中描出下列3个点，， （2）在中，边上的高为___________． （3）在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，则的坐标为___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中描点即可； （2）利用割补法求出的面积，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可求出边上的高； （3）分2种情况讨论：①；②，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，点即为所求： （2）如图， ， ，， ∴边上的高． 故答案为：； （3）由（2）得， ①当， 则点的横坐标为或， ∴点的坐标为或； ②当， 则点与点关于点对称， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为； ∴综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 一、单选题 1．已知，那么A点关于直线对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对坐标与图形变换-对称的理解和掌握，能正确画出图形并根据图形进行计算是解此题的关键．过A作A关于直线的对称点B，根据，推出B的横坐标是，纵坐标是，求出即可． 【详解】解：过A作A关于直线的对称点B，如图： ∵， ∴B的横坐标是，纵坐标是， ∴B的坐标是． 故选C． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间线段最短，先在轴上找到PA+PB有最小值时的点P所在的位置，然后求出直线A′B的解析式，即可得到P′的坐标，从而可以解答本题． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，作轴于点， 则有最小值就是线段的值， ∵A（0，2），B（4，2）， ∴点A′的坐标为（0，-2）， ∴OA′=BC， 在△OA′P′和△CBP′中， ， ∴△OA′P′≌△CBP′（AAS）， ∴OP′=CP′， OC=4， ∴OP′=2， ∴点P′的坐标为（2，0）， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路径、坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．点和点关于x轴对称，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据关于x轴对称的两点的横坐标不变,纵坐标互为相反数可求出a和b的值，进一步可计算的值． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，解之得 ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称，有理数的乘方，解题的关键是根据两点关于x轴对称求出a、b的值． 二、填空题 4．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据点坐标求出矩形周长，计算出循环一周时间，再进行判断秒循环的次数，即可确定坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴矩形周长为， ∵机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度移动， ∴机器人每秒完成一次循环， ∴， ∴机器人处于第圈的第秒的位置， ∴点沿着到达点时，用时秒， 点沿着到达点，用时秒， 点沿着运动时，第秒位置是点向左平移个单位，到达， ∴当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第变换后所得的点坐标是________． 【答案】 【分析】观察不难发现，4次变换为一个循环组依次循环，用2016除以4，根据正好整除可知点A与原来的位置重合，从而得解． 【详解】解：由图知，次变换为一个循环组依次循环， ∵＝， ∴第变换后为第循环组的第四次变换， 变换后点与原来的点重合， ∵原来点坐标是， ∴经过第变换后所得的点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称，准确识图，观察出4次变换为一个循环组依次循环是解题的关键． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是4，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右移动，设运动时间为（单位：秒）． (1)点的坐标为________； (2)当时，点的坐标为________，点的坐标为________； (3)当点，满足轴时，求的值； (4)当点移动到轴左侧，且四边形的面积为10时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)2 (4)点P的坐标为 【分析】（1）根据点到轴距离求出点纵坐标，根据点横坐标和轴，求出横坐标，即可求出点坐标． （2）观察图形判断点的纵坐标和点纵坐标一样，点纵坐标是0，利用点的运动时间和运动速度，求出对应线段和长度，从而知道坐标． （3）根据轴，确定，列关于的方程，解出方程即可求出答案． （4）设移动时间为秒，根据四边形的面积为10，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离是4，是第一象限的点 点的纵坐标是4， 过点作轴的平行线，点的坐标为， 点的横坐标是6， ． （2）解：由题意可知，， ， ，，则． ，点横坐标是3， 轴， 的纵坐标等于的纵坐标即4， ． （3）解：轴， 的横坐标相等，即， ， ． （4）解：点移动到轴左侧，且四边形的面积为10， ，， 到的距离等于到的距离，即， ， ， ， 在第二象限，即， ． 8．如图，已知，，P、M关于直线的对称点为，． (1)写出的坐标______，的坐标______； (2)思考：写出关于的对称点的坐标______； (3)推广：写出点关于直线的对称点的坐标______． 【答案】(1)（4，4），（3，1） (2)（0，4） (3)（2n-a，b） 【分析】（1）根据轴对称的性质可设P′（x，4），可得1-（-2）=x-1，解方程求出x的值可得P′坐标，同理可得M′坐标； （2）同（1）方法即可得答案； （3）设点关于直线的对称点的坐标为（m，b），根据中点坐标公式用a表示出m即可得答案． 【详解】（1）∵P关于直线的对称点为，， ∴PP′//x轴， ∴设P′（x，4）， ∴1-（-2）=x-1， 解得：x=4， ∴P′（4，4）， 同理：设M′（t，1）， ∴1-（-1）=t-1， 解得：t=3， ∴M′（3，1）， 故答案为：（4，4），（3，1） （2）设关于的对称点的坐标为（k，4）， ∴-1-（-2）=k-（-1）， 解得：k=0， ∴关于的对称点的坐标为（0，4）， 故答案为：（0，4） （3）设点关于直线的对称点的坐标为（m，b）， ∴两对称点的连线与直线的交点坐标为（n，b）， ∴n=， 解得：m=2n-a， ∴点关于直线的对称点的坐标为（2n-a，b）， 故答案为：（2n-a，b） 【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握两对称点到对称轴的距离相等是解题关键． 9．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的（点与点A是对称点，点与点B是对称点）； (2)点B关于x轴对称的点的坐标为______； (3)点B关于y轴对称的点的坐标为______； (4)点B关于直线对称的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴对称的对称点位置，再连接即可； （2）利用坐标系可直观得到答案； （3）利用坐标系可直观得到答案； （4）利用坐标系可直观得到答案． 【详解】（1）解：如图：即为所求 （2）解：点B关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：； （3）解：点B关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：； （4）解：点B关于直线对称的点的坐标为， 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点对称点位置． 10．如图所示，在平面直角坐标系中．    (1)分别写出两点的坐标；：_____ ； ：_____； (2)在平面直角坐标系中找一点，使其坐标为； (3)平面直角坐标系内的点关于轴的对称点的坐标为_______；关于轴的对称点的坐标为______； (4)已知点在轴上，则点的坐标为_____； (5)在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是1，则点的坐标为_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) (5)或 【分析】（1）直接根据平面直角坐标系读出点的坐标即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中找出坐标为的点即可； （3）根据点关于坐标轴对称的原则：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可得到答案； （4）根据在轴上的坐标的特征为纵坐标为零即可得到，求出的值即可得到的坐标； （5）根据点到轴的距离是1，可得，求出的值即可得到的坐标． 【详解】（1）解：由图可知： 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：找出点如图所示：   ； （3）解：根据题意可得： 平面直角坐标系内的点关于轴的对称点的坐标为， 关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：，； （4）解：点在轴上， ， ， ， 故答案为：； （5）解：点到轴的距离是1， ， ， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，轴对称，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征；点关于坐标轴对称的原则：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键． 11．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于y轴成轴对称，作出，写出点B的对称点，的坐标：（   ）； (2)若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出P点，并写出P点的坐标（   ）； (3)点Q在x轴上，且满足为等腰三角形，则这样的Q点有（   ）个． 【答案】(1)作图见解析; (2)作图见解析; (3)3 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征、利用轴对称解决最短路径问题以及等腰三角形的定义，解题的关键是掌握轴对称的性质分类讨论思想的应用． （1）利用轴对称变换的性质分别做出A、B、C的对应点即可；根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，直接确定B坐标； （2）作A关于y轴的对称点连接与y轴交点即为； （3）分、、三种情况画图即可求解x轴上Q点的个数． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 关于y轴对称的点的坐标特征为横坐标互为相反数，纵坐标相同． ∵点B的坐标为， ∴其关于y轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （2）解：要使周长最小，需使最小为定值）． 作点A关于y轴的对称点连接与y轴交点P即为所求点． 从图示来看，当点P与点、点C位于同一直线时，最小， 此时P点坐标为． 故答案为： （3）如图： 当时，有两个点Q满足条件； 当时，只有一个点Q满足条件； 当时，不存在． 综上，符合条件的Q点共3个． 故答案为：3． 12．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的范围是且 (3)存在，的值是3或9 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论． 一、填空题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点． （1）用含x的式子表示线段的长是_____； （2）结合图形，判断式子的最小值是____． 【答案】 5 【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可； （2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值， 作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示： PA+PB=AB’=， 即的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 二、解答题 2．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出A﹑B、C三点的坐标____________、___________、_________． (2)的周长为_________，面积为_________； (3)画出关于x轴的对称图形． (4)已知点P为x轴上一动点，则的最小值为_________． 【答案】(1)A(1,4)/B(4,2)/C(3,5) (2)/3.5 (3)见详解 (4) 【分析】（1）根据点A、B、C在平面直角坐标系中的位置写出其坐标； （2）用勾股定理算出△ABC三边的长，而后相加得到其周长，再用梯形DEBC的面积减去△ACD的面积减去△ABE的面积即得△ABC的面积； （3）根据点A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，写出其关于x轴的对称点A1(1,-4)，B1(4,-2)，C1(3,-5)，在平面直角坐标系网格中描出格点顺次连线； （4）连接AB1， PB1，根据对称轴上一点到两个对称点的距离相等，得到BP=B1P，根据AP+BP=AP+B1P≥AB1，得到点P运动到AB1上时，AP+BP=AP+B1P= AB1，AP+BP取得最小值，用勾股定理求出AB1 的值即得． 【详解】（1）解：A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)； 故答案为，A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)； （2）解：∵， ， ， ∴； 过点A作DE∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则CD∥BE， ∴四边形DEBC是梯形， ∴ =3.5； （3）解：∵点A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)关于x轴的对称点为A1(1,-4)，B1(4,-2)，C1(3,-5)， ∴在平面直角坐标系网格中描出各格点，而后顺次连线，即得，如图所示： （4）解：连接AB1， PB1， ∵点B、B1关于x轴对称， ∴BP=B1P，∵AP+BP=AP+B1P≥AB1， 当点P运动到AB1上时， AP+BP=AP+B1P=AB1，AP+BP取得最小值， 过点A作AF∥y轴，过点B1作B1F⊥AF于点F， 则AF=6，B1F=3， ∴， ∴AP+BP的最小值为． 故答案为，． 【点睛】本题考查了格点三角形周长和面积，轴对称，线段和的最小值，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，一些图形面积公式，熟悉将军饮马问题． 3．在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的<，>双反图形．例如：点的轴，轴>双反图形是点． (1)点的轴，轴>双反图形点的坐标为 ； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的轴，双反图形点的坐标为 ； ②当直线经过原点时，若的轴，双反图形上只存在两个与轴的距离为1的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）点Q关于x轴对称的点坐标为，再关于y轴对称的点坐标为，故可得点的双反图形点坐标； （2）①时，C点坐标为，直线m为，此时点C先关于x轴对称的点坐标为，再关于m轴对称的点坐标为，进而得到点的双反图形点坐标； ②由题意得，直线为，、、三点的轴，双反图形点坐标依次表示为：、、，由题意可得或，解出的取值范围即可 【详解】（1）解：由题意知沿x轴翻折得点坐标为； 沿y轴翻折得点坐标为， 故答案为：； （2）解：①时，C点坐标为，直线m为， 沿x轴翻折得点坐标为， 沿直线翻折得点坐标为， 故答案为：； ②直线经过原点，且经过点， 直线为， 、、三点沿轴翻折点坐标依次表示为：、、， 、、三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：、、， 由题意可知：或， 解得：或 【点睛】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来． 4．在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们定义它们的“横纵差”为：．若，则称，两点互为“平衡点”例如：若点，，则，所以点，不是“平衡点”；若点，，则，所以点，互为“平衡点”． (1)若点的坐标是，下列各点中，与点互为“平衡点”的是 ； ①；②；③ (2)已知点，点，互为“平衡点”，小慧认为这样的点有无数个，请判断小慧的说法是否正确？若正确，请在平面直角坐标系中描出一些符合要求的点，并通过观察，写出你的一个猜想；若错误，请说明理由； (3)已知点，的坐标分别是，，点是轴上的一个动点．当点，互为“平衡点”，三角形的面积为3时，求的值． 【答案】(1)①，③； (2)如图所示：猜想：这样的点在两条直线上. (3)的值为或或或． 【分析】（1）根据新定义逐一判断即可； （2）设，根据新定义可得或，再画图并给出猜想； （3）设点的坐标为，可得，可得或．再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴点，互为“平衡点”． ②∵，， ∴， ∴点，不是互为“平衡点”． ③∵，， ∴， ∴点，互为“平衡点”． （2）解：小慧的说法是正确的．理由：设， 由“平衡点”定义可得：， ∴， ∴或， ∴或， 画图略：猜想：这样的点在两条直线上. （3）解：设点的坐标为． ∵，互为“平衡点”， ∴． 解得或． ∴或． 当时，．解得． 当时，．解得． ∴的值为或或或． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的范围是且 (3)存在，的值是3或9 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论． 6．如图所示，在平面直角坐标系中．    (1)分别写出两点的坐标；：_____ ； ：_____； (2)在平面直角坐标系中找一点，使其坐标为； (3)平面直角坐标系内的点关于轴的对称点的坐标为_______；关于轴的对称点的坐标为______； (4)已知点在轴上，则点的坐标为_____； (5)在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是1，则点的坐标为_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) (5)或 【分析】（1）直接根据平面直角坐标系读出点的坐标即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中找出坐标为的点即可； （3）根据点关于坐标轴对称的原则：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可得到答案； （4）根据在轴上的坐标的特征为纵坐标为零即可得到，求出的值即可得到的坐标； （5）根据点到轴的距离是1，可得，求出的值即可得到的坐标． 【详解】（1）解：由图可知： 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：找出点如图所示：   ； （3）解：根据题意可得： 平面直角坐标系内的点关于轴的对称点的坐标为， 关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：，； （4）解：点在轴上， ， ， ， 故答案为：； （5）解：点到轴的距离是1， ， ， 或， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $