第三章位置与坐标【素养培优卷・单元卷 3】2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

第三章位置与坐标【素养培优卷・单元卷 3】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．海上有一座灯塔 ，灯塔的南偏东 40° 方向、距离灯塔 6 km 处有一艘船 A；灯塔的北偏东 50° 方向、距离灯塔 6 km 处有一艘船 B．则船 A 与船 B 之间的距离是（　　） A．6 km B． km C． km D．12 km 2．在平面直角坐标系中，点 在第二象限，它到 轴的距离是 3，到 轴的距离是 4，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．在坐标系中， 的三个顶点是 A、B、C．把 沿 轴翻折后，点 B 的对应点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．点 是坐标原点，点 A、B 的坐标分别是 、，则 的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 5．在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ．若点 在坐标轴上，则 的值是（　　） A．2 或 B．2 C． D．0 6．在平面直角坐标系中，对于任意两点 、，我们把 与 中较大的一个叫做点 与点 的「非常距离」．例如，点 与点 的横坐标相差 2、纵坐标相差 3，较大的一个是 3，所以它们的「非常距离」是 3．已知点 A 的坐标是 ，点 B 在 轴上，且点 A 与点 B 的「非常距离」是 4，则点 B 的坐标是（　　） A． B． C． 或 D． 或 7．已知 A、B、C 是 的三个顶点，则 的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 8．在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点是 ， 关于 轴的对称点是 ．若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，点 从原点 出发，第 1 次向右移动 1 个单位长度到 ，第 2 次向上移动 2 个单位长度到 ，第 3 次向左移动 3 个单位长度到 ，第 4 次向下移动 4 个单位长度到 ，……，移动的方向依次是右、上、左、下、右、上、……，每次移动的长度依次增加 1 个单位长度．则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．四边形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 、、、，则四边形 的面积是（　　） A．18 B．20 C．24 D．22 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．在平面直角坐标系中，已知图书馆的坐标是 ，博物馆的坐标是 ，则博物馆在图书馆的 ______ 方向（填「正东」「正西」「正南」或「正北」），它们之间的距离是 ______ 个单位长度． 12．在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ．若点 在 轴上，则 的值是 ______；若点 在 轴上，则点 的坐标是 ______． 13．在平面直角坐标系中，点 A 关于 轴的对称点是点 B，点 C 的坐标是 ，则 的面积是 ______． 14．在平面直角坐标系中， 的顶点 A、B、C 的坐标分别是 、、．若一条直线 经过点 C，且把 的面积分成相等的两部分，则直线 与边 的交点坐标是 ______． 15．点 A、B、C 是 的三个顶点． 的面积是 ______；把 沿 轴翻折得到 ， 的面积是 ______． 16．在平面直角坐标系中，先把点 放在原点，然后按规律依次放置点：，，，，，，，……，即从 起每 4 个点围成「一圈」，每一圈的边长都比上一圈大 1 个单位长度．则点 的坐标是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）以学校为原点建立平面直角坐标系，规定方向为「上北下南、左西右东」，每个小方格的边长表示 100 m．已知教学楼的坐标是 ，实验楼的坐标是 ，图书馆的坐标是 ． (1) 图书馆在教学楼的什么方向？距离是多少米？ (2) 求教学楼与实验楼之间的距离（结果保留根号，写成「多少米」）； (3) 若体育馆在教学楼的正北方向 400 m 处，求体育馆的坐标． 18．（6 分）在平面直角坐标系中，已知点 A、B、C． (1) 判断 的形状，并说明理由； (2) 求 的面积； (3) 求 的周长． 19．（6 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ，点 C 的坐标是 ． (1) 求 的面积； (2) 点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标； (3) 点 在 轴上，且 的面积是 面积的 2 倍，求点 的坐标． 20．（6 分）如图， 的三个顶点的坐标分别是 A、B、C． (1) 直接写出点 A、B、C 关于 轴的对称点 、、 的坐标，并在图中作出 ； (2) 求 的面积； (3) 求四边形 的面积． 21．（6 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ，点 是坐标原点．点 从点 A 出发，沿 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设运动时间是 秒（）． (1) 用含 的代数式表示点 的坐标； (2) 当 时，求 的面积； (3) 当 的面积等于 的面积时，求 的值． 22．（6 分）新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作 轴、 轴的垂线，若这两条垂线与两条坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，就称这个点为「优美点」．例如点 ：围成的长方形周长是 ，面积是 ，两者不相等，所以 不是「优美点」． (1) 判断点 是不是「优美点」，并说明理由； (2) 若点 是第一象限内的「优美点」，求 的值； (3) 若点 是「优美点」，求 的值． 23．（8 分）在平面直角坐标系中，把若干个边长为 1 的正方形按下列规律摆放：第 1 行摆 1 个正方形，第 2 行摆 2 个正方形，第 3 行摆 3 个正方形，……，第 行摆 个正方形；每一行都从直线 开始向正东方向依次紧靠摆放，第 行的下边在直线 上． (1) 求第 行最右边那个正方形的右上顶点的坐标（用含 的式子表示），并写出 时这个顶点的坐标； (2) 摆到第 行为止（共摆了 行），所有正方形一共有多少个？当 时一共有多少个？ (3) 求第 1 行到第 10 行所摆正方形覆盖的图形的面积． 24．（8 分）如图，已知 的三个顶点是 A、B、C． (1) 求 的面积； (2) 作出点 A 关于 轴的对称点 ，并写出点 的坐标； (3) 点 是 轴上的一个动点，求 的最小值，并求出此时点 的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章位置与坐标【素养培优卷・单元卷 3】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．海上有一座灯塔 ，灯塔的南偏东 40° 方向、距离灯塔 6 km 处有一艘船 A；灯塔的北偏东 50° 方向、距离灯塔 6 km 处有一艘船 B．则船 A 与船 B 之间的距离是（　　） A．6 km B． km C． km D．12 km 2．在平面直角坐标系中，点 在第二象限，它到 轴的距离是 3，到 轴的距离是 4，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．在坐标系中， 的三个顶点是 A、B、C．把 沿 轴翻折后，点 B 的对应点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．点 是坐标原点，点 A、B 的坐标分别是 、，则 的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 5．在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ．若点 在坐标轴上，则 的值是（　　） A．2 或 B．2 C． D．0 6．在平面直角坐标系中，对于任意两点 、，我们把 与 中较大的一个叫做点 与点 的「非常距离」．例如，点 与点 的横坐标相差 2、纵坐标相差 3，较大的一个是 3，所以它们的「非常距离」是 3．已知点 A 的坐标是 ，点 B 在 轴上，且点 A 与点 B 的「非常距离」是 4，则点 B 的坐标是（　　） A． B． C． 或 D． 或 7．已知 A、B、C 是 的三个顶点，则 的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 8．在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点是 ， 关于 轴的对称点是 ．若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，点 从原点 出发，第 1 次向右移动 1 个单位长度到 ，第 2 次向上移动 2 个单位长度到 ，第 3 次向左移动 3 个单位长度到 ，第 4 次向下移动 4 个单位长度到 ，……，移动的方向依次是右、上、左、下、右、上、……，每次移动的长度依次增加 1 个单位长度．则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．四边形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 、、、，则四边形 的面积是（　　） A．18 B．20 C．24 D．22 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．在平面直角坐标系中，已知图书馆的坐标是 ，博物馆的坐标是 ，则博物馆在图书馆的 ______ 方向（填「正东」「正西」「正南」或「正北」），它们之间的距离是 ______ 个单位长度． 12．在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ．若点 在 轴上，则 的值是 ______；若点 在 轴上，则点 的坐标是 ______． 13．在平面直角坐标系中，点 A 关于 轴的对称点是点 B，点 C 的坐标是 ，则 的面积是 ______． 14．在平面直角坐标系中， 的顶点 A、B、C 的坐标分别是 、、．若一条直线 经过点 C，且把 的面积分成相等的两部分，则直线 与边 的交点坐标是 ______． 15．点 A、B、C 是 的三个顶点． 的面积是 ______；把 沿 轴翻折得到 ， 的面积是 ______． 16．在平面直角坐标系中，先把点 放在原点，然后按规律依次放置点：，，，，，，，……，即从 起每 4 个点围成「一圈」，每一圈的边长都比上一圈大 1 个单位长度．则点 的坐标是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）以学校为原点建立平面直角坐标系，规定方向为「上北下南、左西右东」，每个小方格的边长表示 100 m．已知教学楼的坐标是 ，实验楼的坐标是 ，图书馆的坐标是 ． (1) 图书馆在教学楼的什么方向？距离是多少米？ (2) 求教学楼与实验楼之间的距离（结果保留根号，写成「多少米」）； (3) 若体育馆在教学楼的正北方向 400 m 处，求体育馆的坐标． 18．（6 分）在平面直角坐标系中，已知点 A、B、C． (1) 判断 的形状，并说明理由； (2) 求 的面积； (3) 求 的周长． 19．（6 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ，点 C 的坐标是 ． (1) 求 的面积； (2) 点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标； (3) 点 在 轴上，且 的面积是 面积的 2 倍，求点 的坐标． 20．（6 分）如图， 的三个顶点的坐标分别是 A、B、C． (1) 直接写出点 A、B、C 关于 轴的对称点 、、 的坐标，并在图中作出 ； (2) 求 的面积； (3) 求四边形 的面积． 21．（6 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ，点 是坐标原点．点 从点 A 出发，沿 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设运动时间是 秒（）． (1) 用含 的代数式表示点 的坐标； (2) 当 时，求 的面积； (3) 当 的面积等于 的面积时，求 的值． 22．（6 分）新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作 轴、 轴的垂线，若这两条垂线与两条坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，就称这个点为「优美点」．例如点 ：围成的长方形周长是 ，面积是 ，两者不相等，所以 不是「优美点」． (1) 判断点 是不是「优美点」，并说明理由； (2) 若点 是第一象限内的「优美点」，求 的值； (3) 若点 是「优美点」，求 的值． 23．（8 分）在平面直角坐标系中，把若干个边长为 1 的正方形按下列规律摆放：第 1 行摆 1 个正方形，第 2 行摆 2 个正方形，第 3 行摆 3 个正方形，……，第 行摆 个正方形；每一行都从直线 开始向正东方向依次紧靠摆放，第 行的下边在直线 上． (1) 求第 行最右边那个正方形的右上顶点的坐标（用含 的式子表示），并写出 时这个顶点的坐标； (2) 摆到第 行为止（共摆了 行），所有正方形一共有多少个？当 时一共有多少个？ (3) 求第 1 行到第 10 行所摆正方形覆盖的图形的面积． 24．（8 分）如图，已知 的三个顶点是 A、B、C． (1) 求 的面积； (2) 作出点 A 关于 轴的对称点 ，并写出点 的坐标； (3) 点 是 轴上的一个动点，求 的最小值，并求出此时点 的坐标． 参考答案与详细解析 1．【答案】 B 【解析】 「南偏东 40°」与「北偏东 50°」这两条方向线与正东方向的夹角分别是 50° 和 40°，且都在正东的同一侧； 所以 ； 又 km，由勾股定理得 km．选 B． 【解题提示】方位角问题先用图把两条方向线的夹角算出来，再看这个夹角是不是直角，是直角就可以直接用勾股定理求距离． 2．【答案】 D 【解析】 点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，所以 ；点到 轴的距离等于横坐标的绝对值，所以 ； 点 在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，所以 ，； 点 的坐标是 ．选 D． 【解题提示】到 轴的距离看纵坐标，到 轴的距离看横坐标；先用距离定出绝对值，再按象限定出符号． 3．【答案】 A 【解析】 沿 轴翻折就是作关于 轴的对称图形，横坐标变为原来的相反数、纵坐标不变； 点 的横坐标 的相反数是 1，纵坐标仍是 ； 所以点 的坐标是 ．选 A． 【解题提示】「沿 轴翻折」与「关于 轴对称」是同一件事：横坐标变号；不要与「关于 轴对称」混淆． 4．【答案】 B 【解析】 点 、 都在 轴上，所以 ； 点 到 轴的距离是 3，它就是 边上的高； ．选 B． 【解题提示】三角形有一边落在坐标轴上时，就把这一边当作底，另一个点的纵坐标（或横坐标）的绝对值就是这条底边上的高． 5．【答案】 A 【解析】 点 在 轴上时纵坐标为 0：，解得 ，此时点 的坐标是 ； 点 在 轴上时横坐标为 0：，解得 ，此时点 的坐标是 ； 所以 或 ．选 A． 【解题提示】「点在坐标轴上」要分两种情形：在 轴上则纵坐标为 0，在 轴上则横坐标为 0，不要只讨论一种． 6．【答案】 C 【解析】 点 B 在 轴上，设 ，此时 ； 要使「非常距离」是 4，必须是 ，即 ； 所以 或 ，解得 或 ； 点 B 的坐标是 或 ．选 C． 【解题提示】新定义题先把定义「翻译」成算式；本题要注意「非常距离」取的是两者中较大的一个，既然纵坐标之差只有 1，就只能由横坐标之差达到 4． 7．【答案】 A 【解析】 被由 、、、 围成的长方形框住，这个长方形的面积是 ； 长方形外面有三个直角三角形：以 与 为顶点的那个直角边为 5 和 3，面积 ；以 与 为顶点的那个直角边为 2 和 2，面积 ；以 与 为顶点的那个直角边为 5 和 3，面积也是 7.5； ．选 A． 【解题提示】三边都不平行于坐标轴的三角形，用「长方形面积减去四周三个直角三角形面积」的割补法求面积最省力． 8．【答案】 B 【解析】 关于 轴的对称点是 ，说明 的纵坐标是 4、横坐标是 3，即 ； 是点 关于 轴的对称点，所以点 的横坐标是 3、纵坐标是 ； 点 的坐标是 ．选 B． 【解题提示】连续两次轴对称可以「倒着推」：先由后一次对称求中间点的坐标，再由前一次对称求原来的点． 9．【答案】 C 【解析】 观察前几个点：，再移动 4 次得到 ，……，可见每移动 4 次，横、纵坐标都减少 2； ，所以经过 次移动后得到 ； 第 2025 次向右移动 2025 个单位长度，得到 ； 第 2026 次向上移动 2026 个单位长度，得到 ．选 C． 【解题提示】周期型规律题：先写出前几个点弄清楚「几次一循环、每循环坐标怎样变化」，再把目标下标写成「若干个完整循环 + 余数」． 10．【答案】 D 【解析】 点 、 的纵坐标相同，所以 轴，； 点 、 的纵坐标相同，所以 轴，； 与 之间的距离是 ，它就是梯形的高； 所以四边形 是梯形，．选 D． 【解题提示】坐标系中求四边形面积，先看有没有平行于坐标轴的边：有平行边就可能是梯形，可以直接用梯形面积公式． 11．【答案】 正西；4 【解析】 博物馆与图书馆的纵坐标相同，说明它们在平行于 轴的同一条直线上； 博物馆的横坐标 小于图书馆的横坐标 3，所以博物馆在图书馆的正西方向； 它们之间的距离是 个单位长度． 【解题提示】纵坐标相同，两点在同一水平方向上（正东或正西）；横坐标相同，两点在同一竖直方向上（正南或正北）． 12．【答案】 ； 【解析】 点 在 轴上时横坐标为 0：，解得 ； 点 在 轴上时纵坐标为 0：，解得 ，此时横坐标 ； 所以点 的坐标是 ． 【解题提示】在 轴上则横坐标为 0；在 轴上则纵坐标为 0． 13．【答案】 【解析】 点 A 关于 轴的对称点 B 的坐标是 ； 点 A、C 的横坐标都是 ，所以 轴，； 点 到直线 （即直线 ）的距离是 ，它就是 边上的高； ． 【解题提示】先由对称求出点 B 的坐标，再观察 A、C 两点的横坐标相同，于是 是一条竖直的线段，可以直接当作底． 14．【答案】 【解析】 三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分，所以直线 就是 中 边上的中线所在直线； 因为 经过点 C，所以它与边 的交点就是 的中点； 点 、 的纵坐标相同，中点的纵坐标是 ，横坐标是 ； 所以交点的坐标是 ． 【解题提示】「平分三角形面积」的常用结论：三角形的中线平分三角形的面积；本题只要找到边 的中点即可． 15．【答案】 ； 【解析】 点 A、B 的纵坐标都是 2，所以 轴，； 点 到直线 （即直线 ）的距离是 ，它就是 边上的高； ； 关于 轴对称的两个图形全等，面积相等，所以 的面积也是 6． 【解题提示】关于坐标轴对称的两个图形全等，对应边、对应角都相等，面积自然也相等；本题先求出面积，第二空直接写同一个数即可． 16．【答案】 【解析】 从 起每 4 个点为一组：、、、……，下标每增加 4，横、纵坐标都增加 1； 因为 ，所以 与 属于同一位置（每一圈的第一个点）； 从 到 一共经过了 506 圈，所以横、纵坐标都是 ； 点 的坐标是 ． 【解题提示】规律题先写出前几个点并分组，弄清楚「几个点一圈、每圈坐标怎样变化」，再用除法把目标下标拆成「完整圈数 + 余数」． 17．【答案】 (1) 正南方向，500 m；(2) m；(3) 【解析】 (1) 图书馆与教学楼的横坐标相同，图书馆的纵坐标比教学楼小，所以图书馆在教学楼的正南方向；两点相差 个单位长度，每个单位长度是 100 m，所以距离是 500 m． (2) 教学楼与实验楼的横坐标相差 个单位长度，纵坐标相差 个单位长度；由勾股定理，两点间的距离是 个单位长度，即 m． (3) 正北方向就是 轴的正方向，400 m 相当于 4 个单位长度，所以体育馆的坐标是 ，即 ． 【解题提示】描述位置要同时说清「方向」和「距离」；坐标系中两点间的距离可以用勾股定理求：把横坐标之差与纵坐标之差当作两条直角边． 18．【答案】 (1) 直角三角形（）；(2) 12；(3) 【解析】 (1) 点 A、B 的纵坐标都是 3，所以 轴；点 B、C 的横坐标都是 4，所以 轴； 轴与 轴互相垂直，所以 ，即 ， 是直角三角形． (2) ，，所以 ． (3) 由勾股定理 ；所以 的周长是 ． 【解题提示】判断三角形的形状，先看各边与坐标轴的位置关系；边平行于坐标轴时，边长就是两个端点横坐标（或纵坐标）之差的绝对值． 19．【答案】 (1) 12；(2) 或 ；(3) 或 【解析】 (1) 点 A、B 都在 轴上，；点 到 轴的距离是 4，它就是 边上的高；． (2) 设 ，点 到 轴的距离是 ，所以 ；由 得 ，所以 或 ；点 的坐标是 或 ． (3) 设 ，则 ，点 C 到 轴的距离是 4，所以 ；由 得 ，即 或 ，解得 或 ；点 的坐标是 或 ． 【解题提示】「面积相等或成倍数」的问题：先算出已知三角形的面积，再设未知点的坐标，用绝对值表示高，最后解绝对值方程，注意一般有两解． 20．【答案】 (1) ，，；(2) 7；(3) 4 【解析】 (1) 关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，所以 ，，；在图中描出这三点并依次连接，即得 ． (2) 用「割补法」： 被由 、、、 围成的长方形框住，该长方形面积是 ； 长方形外面有三个直角三角形：以 与 为顶点的那个直角边为 2 和 4，面积 ；以 与 为顶点的那个直角边为 2 和 3，面积 ；以 与 为顶点的那个直角边为 4 和 1，面积 ； 所以 ． (3) 四边形 中， 在直线 上， 在直线 上，两条边平行，，，它们之间的距离是 1； 所以四边形 是梯形，面积是 ． 【解题提示】作轴对称图形只要作出各个顶点的对称点再连线；「关于 轴对称」时纵坐标不变、横坐标变号，关于 轴对称时正好相反． 21．【答案】 (1) ；(2) 2；(3) 【解析】 (1) 点 从 出发沿 轴的正方向运动，每秒移动 1 个单位长度， 秒后纵坐标增加 ，所以 ． (2) 当 时，，； 中点 、 都在 轴上， 可以作底，点 到 轴的距离是 4，就是 边上的高；． (3) ；由 得 ，所以 ； 由 得 ，即 或 ；解得 或 ，因为 ，所以 ． 【解题提示】动点问题先把动点坐标写成含 的式子，再用坐标表示线段长度；点在 轴上时线段的长度等于纵坐标的绝对值，列方程后要按题目的取值范围取舍． 22．【答案】 (1) 是；(2) ；(3) 或 【解析】 (1) 点 到 轴、 轴的距离都是 4，围成的长方形周长是 ，面积是 ，两者相等，所以点 是「优美点」． (2) 点 在第一象限，；围成的长方形周长是 ，面积是 ；由 得 ，解得 ． (3) 点 到 轴的距离是 3，到 轴的距离是 ；围成的长方形周长是 ，面积是 ； 由 得 ，所以 ，解得 或 ． 【解题提示】新定义题的关键是把定义「翻译」成式子；点到 轴的距离是 、到 轴的距离是 ，符号不确定时一定要加绝对值． 23．【答案】 (1) ，；(2) 个，2016 个；(3) 55 【解析】 (1) 第 行有 个正方形，从 摆到 ，下边在 、上边在 ；所以这一行最右边正方形的右上顶点的坐标是 ；当 时，这个顶点是 ． (2) 正方形的总个数是 ；当 时，（个）． (3) 每个正方形的面积都是 1，第 1 行到第 10 行共有 个正方形，所以覆盖图形的面积是 ． 【解题提示】把图形放进坐标系，先找出「第 个图形的位置」与 之间的关系；再求和时注意 ． 24．【答案】 (1) 6；(2) ；(3) 最小值 ，此时 【解析】 (1) 点 A、B 的纵坐标都是 1，所以 轴，；点 B、C 的横坐标都是 5，所以 ，； ． (2) 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，所以 ． (3) 点 与点 A 关于 轴对称，所以 ，于是 ； 当 、、 三点在同一条直线上时 最小，最小值就是线段 的长； ，所以 的最小值是 ； 直线 上横坐标每增加 1，纵坐标就增加 ；从 到纵坐标为 0 的点，纵坐标增加 1，横坐标就增加 2，所以这个点是 ，即点 的坐标是 ． 【解题提示】求两条线段和的最小值，用轴对称把折线「拉直」：动点在 轴上，就作其中一个点关于 轴的对称点，再连结它与另一点，线段的长就是最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $