山东省新泰市第一中学2025-2026学年高二上学第二次质量检测数学试题

新泰一中东校高二上学期第二次质量检测 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分.在每小题只有一项是符合题目要求。 1.在平面直角坐标系Oy中，直线x-√3y-1=0的倾斜角等于() A. B. C. D. 2.若向量a=(（1-12),b=(2,1-3),则2a+d=（) A.万 B.22 C.3 D.3√2 3.在△ABC中，已知A(3,2,6),B(5,4,0),C(0,7,1),点D为线段AB的中点，则AB边上的 中线CD的长为() A.6 B.42 C.√42 D.7 4.己知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C,:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A,B两点， 则两圆公共弦所在直线的方程为（) A.3x-3y-4=0B.3x-3y+4=0C.X+y-3=0D.x+y+3=0 5。设椭圆m2+02=1的一个焦点与抛物线y2-8x的焦点相同，高心率为是，则此椭圆的 方程为() A+后=1B2+号=1C后+=1D.2+号=1 3 12 3 6.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑 料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双 曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√0的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到 的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为62cm,下底直径为 92cm,喉部（中间最细处)的直径为8cm,则该塔筒的高为（) A.18cm B.18v2cm C. 27 D.272 7.如图①，在Rt△ABC中，AB=2BC=6,∠ABC=90°，E,F分别为AB,AC上的点，EF∥BC, AE=2EB.如图②，将△AEF沿EF折起，当四棱锥A-BCFE的体积最大时，点E到平面 ACF的距离为（) A.46 B.2V6 3 3 C.6 D.6 2 图① 图② 8。已知椭圆C若若=a~0与圆C:r6,若在椭圆G上存在点卫，过P作圆的 切线PA,PB,切点为A,B使得∠BPA=,则椭圆C的离心率的取值范围是() A.(0 B. D.@9 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.己知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7-4=0.则以下命题正确的有 () A.直线1恒过定点(3,0)B.y轴被圆C截得的弦长为4W5 C.直线1与圆C恒相交D.直线1被圆C截得弦长最长时，1的方程为x+2y-5=0 10。已知，月为双曲线c号--1的丙个焦点，P为双曲线c上任意一点，则() A.PR-PF,=2V3 B.双曲线C的离心率为2 C.双曲线c的渐近线方程为y=士5， D.PR+PF2≥2V3 3 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，M,N分别是AB,AD的中点，P为线 C 段CD上的动点，则下列说法正确的是() A /B A.PM,B,C一定是异面直线 B.存在点P,使得MN⊥PM C.直线NP与平面BCCB,所成角的正切值的最大值为√5 M B D.过MN,P三点的平面截正方体所得裁面面积的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,1,1),b=(0,-1,-1),若(a+b)/1(a-b),则2 13.已知点P6,)在焦点为F的抛物线C:y2=2m>0)上，若P5,则D= 14.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射， 其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:名一，1(a>0,6>0》 的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经 过点C和D,其中A,F,B三点共线，且cos∠CAB=一号ABLBD,则双曲线E的 离心率为 B→D 图2 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.（13分) 已知两直线：x+y+2=0和1：3x-2y+1=0的交点为P. (1)直线1过点P且与直线x+3y+1=0平行，求直线1的一般式方程： (2)圆C过点(1,0)且与11相切于点P,求圆C的一般方程. 16.(15分) 如图，平行六面体ABCD-AB,CD,中，CB⊥BD,∠CCD=45°，∠CCB=60°， CC=CB=BD=1. C1 B (I)以向量{CB,CD,CC)为基底表示向量CA,求对角线CA1的长度； (2)求异面直线CA与DA所成角的余弦值. 17.(15分) 己知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，且椭圆C经过点(0,1)，长轴长为2√2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M(L,0)且斜率为1的直线1与椭圆C交于A,B两点，求弦长|AB|: (3)若直线1与椭圆相交于C,D两点，且弦CD的中点为P 11 22 求直线1的方程 18.(17分) 在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC, ACL BC,BC=2AC=4,M为AB的中点， B (1)求证：AC⊥PM: (2)求平面CPA与平面PAB所成角的余弦值； 3)在线段PB上是否存在点N使得平面CWL平面PAB?若存在，求出W的值，若不 PB 存在，说明理由 19.(17分) 知4，B分别是双曲线C无广1a>0,b>0)的左、右顶点，点P(22,)是双曲线C 上的一点，直线PA,PB的斜率分别为k,k2,且kk2=AB卡4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点(4,0)的直线1：x=y+4,交C的左，右两支于D,E两点（异于A,B). (i)求的取值范围： (ii)设直线AD与直线BE交于点Q,求证：点Q在定直线上.高二数学试卷答案 选择题： 题号 1 5 6 7 马 0 10 11 答案 0 D W C CD BD AD 填空题： 29 12. -1 13.3 14. 3 15【解析】(1)直线l与直线x+3y+1=0平行，故设直线l为x+3y+C=0,(1分) x+y+2=0 x=-1 联立方程组 3x-2y+1=0'(2分)解得 y=-1 (3分) .直线l:x+y+2=0和l,:3x-2y+1=0的交点P(-1,-1). 又直线l过点P,则-1-3+C=0,解得C=4,(4分) 即直线1的方程为x+3y+4=0.(5分) (2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,(6分) I:x+y+2=0的斜率为-1，故直线CP的斜率为1，(7分) 1 a=- (-1-a)2+(-1-b)2=r2 6 由题意可得 (1-a)2+(0-b)2=r2, (9分)解得b=- ,(11分) b+1=1 6 a+1 r2= 25 18 故所求圆的方程为 5 6=1 (12分) =0.(13分) 16【解析】(1)以向量cBCD,CC为基底，则有CA=CB+BA+AA=CB+cD+CC,(2分) 因为CB=BD=1,CB⊥BD,以三角形BCD为等腰直角三角形，所以CD=√2，(3分) 又因为CC=CB=1,∠CCB=60°，所以三角形CCB为边长为1的等边三角形，(4分) CA-(CB+CD+CC)2=CB2+CD2+CC2+2CB.CD+2CB.CC+2CC.CD (5分) =1+2+25.92K2x9-, (6分) 2 2 所以CA1=3,(7分) 所以|CA=3,即对角线CA的长度为3. (8分) (2)因为CA1=CB+CD+CC,1CA=3, DA=CB,DA=CB=1,(9) 所以CA1·DA=CA1·CB=(CB+CD+CC)·CB=CB2+CD·CB+CC·CB (11分) -1+5x1k9-1号号 15 (12分) 2 所以cos<C,A>=A=号(14分》) ICAlIDAI 即异面直线与DA所成角的余弦值为。 (15分) 17【解析】(1)由题意设椭圆C的方程为子+上 +6京=1(a>b>0), 因为椭圆经过点(0,1)所以b=1(1分) 又因为长轴长为22，a=√2(3分) 所以椭圆C的标准方程为)+y=1.(4分) (2)由己知设直线I的方程为y=x-1,设A(x,y),B(x4,y4) 将宜线)1代入艺+y尸=1,5分) 得3x2-4x=0,(6分) 4 所以：+x=号，x4=0,(7分) 3 AB=+k+x)-x=+ 4 4×0= 42 (9分) 3 3 质操交点标4-)間） (8分) o+ 459分) 3 (3)法一：设C,,D),则cD中点是P月 (2'2 1是生--分0分) 即x+x2=y+y2=1,(11分) 2 由于C,D在椭圆上，放号+X=1,兰+=1，(12分) 两式相减得到，+-好=0，即任+-)+0+0-为)=0，(13分) 2 2 故S,)+0y-)=0,显然5+5≠0，于是2=)ko,14分) 2 x-22 放直线c0的方程是y古式》 整理得2x+4y-3=0(15分) 经检验直线2x+4)-3=0与双曲线亏+)=1有两个交点，合乎愿意。（床检验，扣一分） 法二：①当直线1的斜率不存在时，CD的中点在x轴上，不符合题意.(10分) ②当直线1的斜率存在时设直线1的方程为y弓k-分，(1分) 设C,X.则c中点是P传》于是2-回写+6=1.（2分》 +y=1 联立2 化简符(22)-(2：2必x(2是多-0.（B分) 由于A>0,根卡达完理与七-2-1解得=-专14分) 2k2+1 故直线CD的方程是y方乱-》整理符2x4-30(15分) 18【解析】(1)若D为AC中点，连接MD、PD,又M为AB的中点..MD/1BC,(1分) 由AC⊥BC,则MD⊥AC,(2分) 又△PAC为等腰直角三角形， PA⊥PC,有PD⊥AC,(3分) B 由MDO PD=D,则AC⊥面PMD,(4分) M ,PMc面PMD,.AC⊥PM.(5分) (2)由(1)可构建以D为原点，DA,DM,DP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， .A(1,0,0),B(-1,4,0,C(-1,0,0),P(0,0,1）,(6分) 则CP=1,0,1),AP=(-1,0,1),BP=1,-4,1), (7分) 若n=(x,y,z)为面PAB的一个法向量， AP.n=-x+=0 即i=-4y+=0'令=，即i=a》,(8分) 则 若=(x,y,乙)为面PAC的一个法向量， A APn=-x+3=0 则 ,令y=1,即n=(01,0),(9分) CP.=x=0 .cosm, 2 (10分) +4+ 则平面CPA与平面PAB所成角的余弦值为】.(11分) (3)若存在N使得平面CWM⊥平面PAB,且PN=元，0≤≤1， PB 则N(-,42,1-2),M(0,2,0),(12分) CN=1-元，42,1-)，CM=(1,2,0),(13分) 若m=(a,b,c)是面CNM的一个法向量， 则 CN:m=0-如+4+1-2c=0,令b=1,则m=(←2,12-63，(14分) CM.m=a+2b=0 1- :m-n=-2++2-61=0,（15分) 2+1-元 可得元=g 1 (16分) PN 1 .存在N使得平面CNM⊥平面PAB,此时 (17分) PB 9 19【解析】(1)由题意可知A(-a,0),B(a,0),因为ABF2a=4,所以a=2.(1分) 限有N后2后@后香4粉 n n n2 文因为P22,2在双曲线上，则242②P,3分) 所以b2=16 (4分) 所以双曲线C的方程为号二=1，(5分) 416 (2)(i)由题意知直线1的方程为x=y+4,D(x,),E(x2,y2). AO B [x2y2 =1 联立416，(6分)化简得(4m2-1)y2+32my+48=0,( x=y+4 因为直线1与双曲线左右两支相交，所以yy>0,(8分) 4m2-1≠0 即m满足： (32m2-192(4m2-1)>0,(10分) 48 y2=4m2-1 >0 听以m<二2或m>号 (11分) -32m 48 (）y+为4mF4-'(12分） 直线AD的方程为y=》2X-2,直线BE的方程为产2-2. (13分) x-2 联立直线AD与跳的方程，得+242)产红-2引，4分) x2-2 所以 x=2y+2y2 人m+2+6m+6+m2+2,所以(6-2)x=4my+4y+12,(15分) 2 48 +2 -32m） 2m. +4y2 321m +4y2 所以x= 2my+2y+6y2=2myy+2(y+y2)+4y 4m2-1 气4m2-1 4m2-1 —=1 3y2-y -(y+y2)+4% -32m） 32m 4m2-1 +4y2 4m2- +4y2 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上.(17分)新泰一中东校高二上学期第二次质量检测数学答题卡 姓名： 粘贴条码处 班级： 注意事项： 准考证 1、考生答题前，在规定的地方准确 填写考号和姓名。 [o][0] 01 [01 「0101 [01 2、选择题作答时，须用2B铅笔填 [1] 11 「1 [2] [21 [2][2] [2] 涂，如对答案进行修改，用橡皮 3][3] [3][3)[3][3][3][3] 轻擦干净，注意不要擦破答题 [4[4[4[4[4[4[4[4 [4] 卷。 [[][[][[[][[] 3、在答题卷对应题号指定的答题 [6[6 61 「61 「61 [61「61[61 「61 [7 [71 7 「71[71 [71 区域内答题，切不可超出黑色边 [8[8J[8][8][8[81[8[8[8J 框，超出黑色边框的答案无效。 [9][9[9][9][9][9][9[9][9] 第一题选择题(1-8题单选，每题5分；9-11多选，每题6分) 1、[A][B][C][D] 5、[A][B][C][D] 9、[A][B][C][D] 2、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 10、[A][B][C][D] 3、[A][B][C][D] 7、[A][B][C][D] 11、[A][B][C]D] 4、[A][B][C][D] &、[A][B][C][D] 第二题.【每空5分】(15分) 12 13 14 15.(13分) 15.（续) Bi 16(15分) C D D 数学答题卡第1页（共2页） ■ 17.(15分) 口 18.(17分) N C B M A 数学答题卡 19.（17分) ■ ■ 第2页（共2页)