4.5 函数的应用(二)（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

4.5　函数的应用(二) 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 误解函数零点的定义致误 例1 函数f(x)=x2-9x的零点是 (　 ) A.0和9 B.0和-9 C.(0,0)和(9,0) D.(0,0)和(-9,0) [答案] A [解析] 令f(x)=x2-9x=0,解得x=0或x=9,故函数f(x)的零点是0和9.故选A. 解题方法拓展 【方法解读】 数形结合解决函数零点问题 例2 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数⇔方程|log0.5x|==的根的个数⇔函数y=|log0.5x|与y=的图象的交点个数.作出两个函数的图象,如图①所示,由图可知两个函数的图象有2个交点.故选B. 例3 设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则a,b,c的大小关系为　　　　(用“<”连接).  [答案] a<b<c [解析] 作出函数y=2x,y=lox,y=,y=log2x的图象,如图②所示.由题知,a,b,c分别为函数y=2x与y=lox,y=与y=lox,y=与y=log2x的图象的交点的横坐标.由图可知,a<b<c. 例4 已知函数f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1有　　　　个零点.  [答案] 5 [解析] 函数y=2t2-3t+1=(2t-1)(t-1)的零点为t1=1,t2=.画出函数y=f(x)的图象与直线y=1,y=,如图③所示.由图得,y=f(x)的图象与直线y=1有3个交点,与直线y=有2个交点,故函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1有5个零点. [总结] 第1步:求(定量)或判断(定性)外层函数的零点;第2步:画出内层函数的图象;第3步:用数形结合得出结论. 【教材拓展】 强基固本 例5 求方程x(-1)+(ex-1)(x4-1)=0的解的个数. 解:假设原方程有一个满足x(x4-1)≠0的根m,则+=0.令f(t)=,则f(m4-1)+f(m)=0.当t<0时,et-1<0,则>0;当t>0时,et-1>0,则>0. 所以对任意t≠0,都有f(t)>0,则f(m4-1)+f(m)>0恒成立,所以+=0无解. 令x(x4-1)=0,解得x=-1,0,1,直接验证可知-1,0,1都是原方程的解, 故方程x(-1)+(ex-1)(x4-1)=0一共有3个解. 学科网（北京）股份有限公司 $