4.5 函数的应用（二）同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5 函数的应用（二） 1.已知函数则函数的零点为( ) A.，0 B.， C.0 D. 2.函数的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间x（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要的年数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知函数若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知函数若恰有3个零点，，（），则的取值范围是( ) A. B. C. D. （多选）7.已知函数是定义在R上的减函数，实数满足，若是函数的一个零点，则下列结论中可能成立的是( ) A. B. C. D. （多选）8.已知函数若有四个解，，，，且满足，则下列结论正确的是( ) A. B. C.的最小值为 D. 9.，，有零点，则的最小值为__________. 10.设方程的根为，方程的根为，则的值为___________. 11.已知函数，关于x的方程恰有2个不同实数解，则a的值为_____________. 12.已知函数为偶函数. （1）求实数k的值； （2）解关于m的不等式； （3）设，若函数有2个零点，求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为当时，令，解得，当时，令，解得（舍去），所以函数的零点为0.故选C. 2.答案：C 解析：由，得，在同一坐标系中，作出和的图象，观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为2.故选C. 3.答案：A 解析：当时，由，得，因为函数有两个不同的零点，所以当时，函数还有一个零点.因为，所以，所以实数的取值范围是.故选A. 4.答案：C 解析：依题意可得则解得. 在定义域上单调递减，且，又在区间上单调递减，在区间上单调递增，而，， 即，该植物的高度超过2.8米，至少需要5年.故选C. 5.答案：D 解析：作出分段函数的图象，如图所示，直线与函数图象有4个交点， 则a，b关于直线对称，所以， 而，所以， 所以，所以， 因为直线与函数图象有4个交点，所以，所以， 根据对勾函数性质可知在上单调递减，所以，所以，故选D. 6.答案：C 解析：由恰有3个零点，得方程有3个不同的实根， 即函数的图象与直线恰有3个交点. 画出函数的图象，如图所示，由图可知，，所以，所以.由，得， 因为，所以，所以，即， 即，所以. 因此，，即.故选C. 7.答案：AC 解析：因为函数是定义在R上的减函数，且，所以， 又，所以，，中有一个函数值为负两个函数值为正或三个函数值都为负. 若中有一个函数值为负，则，此时，故选项C正确； 若中三个函数值都为负，则，此时，选项A正确.若，则，此时不满足，故选项B错误；若，则只能得到，不满足，故选项D不正确.故选AC. 8.答案：ABD 解析：作出函数的图象，如图所示， 因为，，，是方程的四个互不相等的解，所以结合图象可知3，A选项正确； 由图可知，所以，是方程，的两个根，所以，又，所以，所以， 所以，B选项正确； ，因为，所以，所以， 又，所以，C选项错误； ，是方程，的两个不等实根，则， 即，所以， 整理得，当且仅当时等号成立， 又，所以，因为，，所以，所以，所以，D选项正确.故选ABD. 9.答案： 解析：由，知或， 在零点处，，当且仅当时等号成立， 所以，令，所以， 即有， 当且仅当，即，时等号成立， 经检验，当且仅当，，或，，时等号成立，且有零点. 10.答案：7 解析：由方程的根为，设函数与的图象的交点为， 由方程的根为，设函数与的图象的交点为. 又函数与函数互为反函数，所以两函数的图象关于直线对称， 而且直线与直线互相垂直， 则点与关于直线对称，则，得. 由题意得到，，则，， 所以. 11.答案：4 解析：令，则方程可化为， 因为方程恰有2个不同实数解， 所以有两组解. 因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，； 当时，. 所以当时，，又函数为偶函数，所以， 作出函数的图象如图所示， 所以当时，没有解； 当时，有两个解； 当时，有四个解； 当时，没有解. 因为有两组解， 所以2必须为方程的一个解， 所以，故，当时，由可得， 所以或，满足条件，所以. 12.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）易知函数的定义域为R， 函数为偶函数， ，即， ，. （2）， 设，任取， 则 ， ，，， ，， 当时，单调递增， 在上单调递增. 又函数为偶函数，函数在上单调递减. ，，解得或， 原不等式的解集为. （3）函数有2个零点， 有2个不同的解. 即有2个不同的解. 设，则， 即， 又在R上单调递增，方程有两个不等的正根， 解得. 实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $