4.4 对数函数（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

4.4　对数函数 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 忽略真数大于零致错 例1 函数f(x)=ln(x2-3x-4)的单调递增区间为　　　　.  [答案] (4,+∞) [解析] 由x2-3x-4>0,解得x<-1或x>4,则函数f(x)=ln(x2-3x-4)的定义域是(-∞,-1)∪(4,+∞).函数g(x)=x2-3x-4的单调递增区间是,而函数f(x)=ln(x2-3x-4)的单调递增区间就是在定义域内函数g(x)=x2-3x-4的单调递增区间,所以函数f(x)=ln(x2-3x-4)的单调递增区间是(4,+∞). 解题方法拓展 【方法解读1】 分类讨论解决对数函数问题 当底数a的范围没确定时,要分类讨论a的取值范围进而解题. 例2 若函数f(x)=loga(x2-ax+1)(a>0且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  [答案] (1,2) [解析] 当a>1时,函数y=logau在(0,+∞)上单调递增,要使f(x)=loga(x2-ax+1)(a>0且a≠1)有最小值,需使u=x2-ax+1的最小值大于0,则Δ=(-a)2-4×1×1<0,解得-2<a<2,又a>1,所以1<a<2;当0<a<1时,y=logau在(0,+∞)上单调递减,又u=x2-ax+1没有最大值,所以f(x)=loga(x2-ax+1)(a>0且a≠1)没有最小值,不符合题意.综上可得,实数a的取值范围是(1,2). 【方法解读2】 利用对数函数单调性比较大小 解决比较大小的问题经常利用0,1等中间值比较,当结构雷同的式子比较大小时,常构造函数比较大小. 类型 方法 底数相同,真数不同 利用对数函数的单调性 底数不同,真数相同 方法一:化为同底数;方法二:利用图象 底数不同,真数不同 利用中间量 指数值与对数值的比较 利用中间量 例3 比较下列各组数的大小: (1)log35,log53; (2)log32,log20.8; (3)log64,log74; (4)log53,log43. 解:(1)∵log35>log33=1,log53<log55=1,∴log35>log53. (2)∵log32>0,log20.8<0,∴log32>log20.8. (3)∵log64=,log74=,0=log41<log46<log47,∴>,∴log64>log74. (4)函数y1=log4x和y2=log5x的图象如图所示,由函数图象得到log53<log43. 例4 (1)已知a=log25,b=log827,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>c>b B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c (2)若正实数a,b满足ea-e2b=ln ,则 (　 ) A.a>2b B.a<2b C.a+b<2 D.a+b>2 [答案] (1)D　(2)B [解析] (1)b=log827=lo33=log23,因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log25>log23>log22=1,即a>b>1.因为函数y=在R上单调递减,所以<=1,即c<1.故a>b>c.故选D. (2)因为正实数a,b满足ea-e2b=ln ,所以ea-e2b=ln =ln b-ln a=ln 2b-ln a-ln 2,因为0<ln 2<ln e=1,所以ea-e2b<ln 2b-ln a,即ea+ln a<ln 2b+e2b.设f(x)=ex+ln x(构造法),则f(a)<f(2b),又f(x)=ex+ln x在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b.故选B. 【方法解读3】 对数函数为背景的奇偶函数 函数 y=loga(m>0) y=loga(m>0) 图象 a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 函数 y=loga(+x) y=loga(-x) 图象 a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 以上函数的共性是奇函数,在多数情况下,需要用到这一特性来解题. 例5 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=ln(-x)+x3; (2)h(x)=ln. 解:(1)f(x)的定义域为R.∵y=ln(-x)为奇函数,y=x3为奇函数, ∴f(x)为奇函数. (2)h(x)=ln=ln=ln e+ln=1+ln,h(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 将函数y=ln的图象向上平移1个单位长度得到h(x)的图象, ∴h(x)为非奇非偶函数,h(x)的图象关于点(0,1)对称. 例6 已知函数f(x)=lg(+x)+2,若f(-m)=3,则f(m)=　　　　.  [答案] 1 [解析] 易知函数f(x)=lg(+x)+2的定义域为R,因为f(-x)+f(x)=lg(-x)+2+lg(+x)+2=lg 1+4=4,所以f(-m)+f(m)=4,又f(-m)=3,所以f(m)=1. 例7 已知函数f(x)=log3(2+x)-log3(2-x). (1)判断f(x)的奇偶性,并证明; (2)若f(m)-f(-m)<2,求m的取值范围. 解:(1)f(x)为奇函数,证明如下: 由题意可得解得-2<x<2,所以函数f(x)的定义域为(-2,2). 又f(-x)=log3(2-x)-log3(2+x)=-[log3(2+x)-log3(2-x)]=-f(x), 所以函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数. (2)f(x)=log3(2+x)-log3(2-x)=log3=log3, 因为y=-1+在(-2,2)上单调递增,y=log3x在定义域上单调递增, 所以f(x)=log3在(-2,2)上单调递增, 又f(1)=1,所以不等式f(m)-f(-m)<2,即2f(m)<2,即f(m)<1,即f(m)<f(1), 则解得-2<m<1,所以m的取值范围为(-2,1). 【教材拓展】 教材习题——对数比较大小及推广 例8 [教材P141第13题] 比较log23,log34,log45的大小. 证明:方法一:作差法.∵log23-log34=-=, 显然lg 2,lg 3,lg 4>0,则lg 2lg 4<=<=(lg 3)2, 所以(lg 3)2-lg 2lg 4>0,即log23>log34. 同理可得log34>log45,故log23>log34>log45. 方法二:作商法. 显然log23,log34,log45>0,则==,又lg 2,lg 3,lg 4>0,所以lg 2lg 4<=<=(lg 3)2,显然lg 2lg 4>0,所以>1,所以log23>log34. 同理可得log34>log45,故log23>log34>log45. 方法三:不等式视角,有关糖水不等式的应用. log23=>=>=log34,同理log34=>=>=log45. 故log23>log34>log45. [推广]构造函数f(x)=logx(x+1),x∈(0,1)∪(1,+∞),作出f(x)的图象如图所示. 由图可知: ①函数f(x)在(0,1)上单调递减,当x从大于0的方向无限趋近于0时,函数f(x)的值无限趋近于0; 当x从小于1的方向无限趋近于1时,函数f(x)的值无限趋近于-∞; ②函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,当x从大于1的方向无限趋近于1时,函数f(x)的值无限趋近于+∞;当x无限趋近于+∞时,函数f(x)的值无限趋近于1. 利用函数f(x)=logx(x+1)的图象和性质易得f(2)>f(3)>f(4),即log23>log34>log45. 学科网（北京）股份有限公司 $