4.5.1 函数的零点与方程的解 02 第2课时 函数零点的综合问题（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

第2课时　函数零点的综合问题 考点一　分段函数零点 1.函数f(x)=的零点的个数为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 2.函数f(x)=lg|x|-|x2-2|的零点个数为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.(多选题)若函数f(x)=恰有三个零点,则a的值可能为 (　 ) A.-1 B.6 C.1 D.2 4.[2026·兰州西北中学高一月考] 已知函数f(x)=且点(1,1)在函数f(x)的图象上. (1)求函数f(x)的解析式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象; (2)若方程f(x)-2m=0有三个不相等的实数根,求实数m的取值范围. 考点二　与零点有关的求值、范围问题 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2m-1=0的两个不相等的实数根,且满足+=18,则实数m的值是 (　 ) A.-3 B.5 C.-5或3 D.5或-3 6.[2026·大连二十四中高一期中] 已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是 (　 ) A.(2,8] B.(2,8) C.[2,8] D.[2,8) 7.已知f(x)=|x2-2x|,则函数y=f(x)-2026的所有零点之和为　　　　.  考点三　复合函数零点 8.已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)]的所有零点之和为 (　 ) A.0 B.3 C.10 D.13 9.(多选题)已知函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　 ) A.方程f[g(x)]=0有且仅有6个不同的解 B.方程g[f(x)]=0有且仅有3个不同的解 C.方程f[f(x)]=0有且仅有5个不同的解 D.方程g[g(x)]=0有且仅有4个不同的解 10.已知函数f(x)=则函数g(x)=2[f(x)]2-3f(x)-2的零点个数为　　　　.  11.函数y=0.5|x|-|log0.5x|的零点个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.[2026·浙江嘉兴一中高一月考] 已知函数f(x)=若存在四个不相等的实数x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则x1x2x3x4的取值范围是 (　 ) A.(-∞,4] B.[0,4] C.[0,4) D.[0,3) 13.已知奇函数f(x)(x∈[-1,1])和偶函数g(x)(x∈[-2,2])的图象分别如图①②所示,方程f[g(x)]=0,g[f(x)]=0的实根的个数分别为a,b,则a+b= (　 ) A.14 B.10 C.7 D.3 14.已知函数f(x)=|log2x|,若f(x1)=f(x2)(x1<x2),则4x1+x2的最小值为　　　　.  15.已知函数f(x)=2x+-1(a∈R). (1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)讨论f(x)的零点个数. 16.已知正实数α,β满足α+ln α=ln β+ln(ln β)=2,则αβ=　　　　.  17.已知函数f(x)=x2-2mx+m-1,g(x)=e-x-1. (1)若m=0,求证:函数h(x)=f(x)-g(x)恰有一个正零点; (2)若函数φ(x)=f[|g(x)|]恰有三个零点,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数零点的综合问题 1. C　[解析] 当x≤0时,令f(x)=0,得2x=1,解得x=0;当x>0时,令f(x)=0,得=2,解得x=.综上,函数f(x)的零点的个数为2.故选C. 2.C　[解析] 本题可转化为求函数y=lg|x|和函数y=|x2-2|的图象的交点个数,作出两个函数的图象,如图所示.由图可得两个函数的图象的交点个数为4,所以函数f(x)=lg|x|-|x2-2|的零点个数为4.故选C. 3.BCD　[解析] 当x≥0时,f(x)=x2-6x=x(x-6),此时函数f(x)有两个零点0和6,所以当x<0时,f(x)=x+a有一个零点-a,所以-a<0,解得a>0.故选BCD. 4.解:(1)由f(1)=a-1=1,解得a=2, 所以f(x)=即f(x)= f(x)的图象如图所示. (2)因为方程f(x)-2m=0有三个不相等的实数根, 所以0<2m≤1,解得0<m≤, 故实数m的取值范围为. 5.A　[解析] 因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2m-1=0的两个不相等的实数根,所以x1+x2=m+1,x1x2=2m-1,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(m+1)2-2(2m-1)=m2-2m+3=18,解得m=5或m=-3.当m=5时,不符合题意;当m=-3时,符合题意.故选A. 6.A　[解析] 不妨设x1<x2<x3,作出函数f(x)的图象,如图所示.设f(x1)=f(x2)=f(x3)=m,当x>0时,f(x)=x2-8x+8=(x-4)2-8≥-8,由图可知,-8<m≤4,则f(x1)=2x1+4∈(-8,4],所以-6<x1≤0.因为二次函数y=x2-8x+8的图象的对称轴为直线x=4,所以x2+x3=8,所以2<x1+x2+x3≤8.故选A. 7.2　[解析] 作出函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示,由图可知y=f(x)-2026共有2个零点,且2个零点关于直线x=1对称,所以函数y=f(x)-2026的所有零点之和为2. 8.D　[解析] 令t=f(x),由f(t)=0,得或解得t=0或t=3.当t=f(x)=0时,x=0或x=3;当t=f(x)=3时,或解得x=10.综上,函数y=f[f(x)]的所有零点之和为0+3+10=13.故选D. 9.ACD　[解析] 对于A,令t=g(x),由题图可得f(t)=0有3个不同的解t1,t2,t3,不妨设t1<t2<t3,则-2<t1<-1,t2=0,1<t3<2,由图可知g(x)=t1有2个不同的解,g(x)=t2有2个不同的解,g(x)=t3有2个不同的解,所以f[g(x)]=0有且仅有6个不同的解,故A正确;对于B,令m=f(x),由题图可得g(m)=0有2个不同的解m1,m2,不妨设m1<m2,则-2<m1<-1,0<m2<1,由图可知f(x)=m1有1个解,f(x)=m2有3个不同的解,所以g[f(x)]=0有且仅有4个不同的解,故B错误;对于C,令n=f(x),由题图可得f(n)=0有3个不同的解n1,n2,n3,不妨设n1<n2<n3,则-2<n1<-1,n2=0,1<n3<2,由图可知f(x)=n1有1个解,f(x)=n2有3个不同的解,f(x)=n3有1个解,所以f[f(x)]=0有且仅有5个不同的解,故C正确;对于D,令s=g(x),由题图可得g(s)=0有两个不同的解s1,s2,不妨设s1<s2,则-2<s1<-1,0<s2<1,由图可知g(x)=s1有2个不同的解,g(x)=s2有2个不同的解,所以g[g(x)]=0有且仅有4个不同的解,故D正确.故选ACD. [方法归纳] 判断函数f(x)零点个数的常用方法:①直接法:可利用判别式的正负直接判定一元二次方程的根的个数;②转化法:函数f(x)的零点个数就是方程f(x)=0的根的个数,结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;③数形结合法:一是转化为两个函数g(x),h(x)的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为直线y=a与函数g(x)的图象的交点个数问题. 10.5　[解析] 令2t2-3t-2=(2t+1)(t-2)=0,解得t1=-,t2=2.令x2+2x=-,解得x1=或x2=,因为x1<0,x2<0,所以x1,x2是函数g(x)的零点;令x2+2x=2,解得x3=-1+或x4=-1-,因为x3>0,x4<0,所以x4是函数g(x)的零点;令2x-2=-,解得x5=log2,因为x5>0,所以x5是函数g(x)的零点;令2x-2=2,解得x6=2,因为x6>0,所以x6是函数g(x)的零点.综上所述,g(x)的零点个数为5. 11.B　[解析] 函数y=0.5|x|-|log0.5x|的零点个数即为函数f(x)=0.5|x|与g(x)=|log0.5x|的图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中,作出函数f(x)=0.5|x|与g(x)=|log0.5x|的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)=0.5|x|与g(x)=|log0.5x|的图象的交点个数为2,所以函数y=0.5|x|-|log0.5x|的零点个数为2.故选B. 12.D　[解析] 如图所示,设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=a,x1<x2<x3<x4,则2<a≤5,又x1+x2=2×(-2)=-4,x3,x4是关于x的方程x+=a,即x2-ax+1=0的两个正根,所以x3x4=1.令x2+4x+5=2,解得x=-3或x=-1,所以-1<x2≤0,所以x1x2x3x4=x1x2=(-4-x2)x2=--4x2=-(x2+2)2+4(-1<x2≤0),所以0≤x1x2x3x4<3,故x1x2x3x4的取值范围是[0,3).故选D. 13.B　[解析] 由题图②可知方程g(x)=0有3个根,其中1个根为0,另外2个根记为m,n,且-2<m<-1,1<n<2.对于方程f[g(x)]=0,设g(x)=t,则f(t)=0,由题图①知t=-1或0或1,当g(x)=-1时,由题图②知x=-1或1;当g(x)=0时,由题图②知x=m或0或n;当g(x)=1时,由题图②知x=-2或2.所以a=7.对于方程g[f(x)]=0,设f(x)=k,则g(k)=0,由题图②知k=m,0,n,其中m∈(-2,-1),n∈(1,2),当f(x)=m时,由题图①知方程无解;当f(x)=0时,由题图①知x=-1或0或1;当f(x)=n时,由题图①知方程无解.所以b=3.综上可知a+b=10,故选B. 14.4　[解析] 作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示.因为f(x1)=f(x2),且x1<x2,所以log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0,可得x1x2=1,即x2=,且0<x1<1,则4x1+x2=4x1+≥2=4,当且仅当4x1=,即x1=时,等号成立,所以4x1+x2的最小值为4. 15.解:(1)依题意,得f(-x)=f(x),即2x+-1=2-x+-1,即(a-1)(2x-2-x)=0,可得a=1. (2)令f(x)=0,得a=-+2x, 设t=2x,则a=-t2+t=-+(t>0), 因为函数y=-+在上单调递增,在上单调递减,且最大值为, 所以当a>时,f(x)无零点; 当a=或a≤0时,f(x)有一个零点; 当0<a<时,f(x)有两个零点. 16.e2　[解析] ∵α+ln α=2,ln β+ln(ln β)=2,∴α,ln β均为方程x+ln x-2=0的根,∵f(x)=x+ln x-2在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,∴f(x)有唯一零点,∴α=ln β,则ln α+ln β=2,∴αβ=e2. 17.解:(1)证明:若m=0,则h(x)=f(x)-g(x)=x2-e-x, 易知h(x)在[0,+∞)上单调递增, 因为h(0)=-1<0,h(2)=4-e-2>0,所以存在唯一的x0∈(0,2)使得h(x0)=0, 所以函数h(x)=f(x)-g(x)恰有一个正零点. (2)设t=|g(x)|,作出函数t=|g(x)|的图象,如图所示, 因为函数φ(x)=f[|g(x)|]恰有三个零点, 所以关于t的方程t2-2mt+m-1=0必有两个根t1,t2(t1<t2),0<t1<1,t2≥1或t1=0,0<t2<1. 当0<t1<1,t2≥1时,解得m>1. 当t1=0,0<t2<1时,m=1,此时t2=2∉(0,1),不符合题意. 综上所述,实数m的取值范围为(1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $