4.4.2 对数函数的图象和性质 02 第2课时 对数函数的图象和性质的综合应用（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

第2课时　对数函数的图象和性质的综合应用 1.D　[解析] 函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1).因为反函数的图象过点(1,3),所以a1=3,解得a=3,所以f(x)=log3x,所以f(27)=log327=log333=3.故选D. 2.A　[解析] 因为曲线C2与曲线C1关于y轴对称,且曲线C1是函数y=ax(0<a<1)的图象,所以曲线C2对应的函数解析式为y=a-x.因为曲线C2与曲线C3关于直线y=x对称,所以曲线C3对应的函数解析式为y=lox=-logax.因为曲线C3与曲线C4关于x轴对称,所以曲线C4对应的函数解析式为-y=-logax,即y=logax.故选A. 3.ABC　[解析] f(x)=ax,g(x)=logax互为反函数,关于直线y=x对称,B正确;由于a相同,所以f(x)=ax,g(x)=logax在各自定义域上单调性相同,且都是非奇非偶函数,A,C正确;由于f(x)=ax的定义域为R,值域为(0,+∞),g(x)=logax的定义域为(0,+∞),值域为R,所以f(x)与g(x)的定义域和值域都不相同,D错误.故选ABC. 4.A　[解析] 令t=log2x,则t∈[1,2],所以原函数转化为y=t2-3t+6=+,t∈[1,2],所以当t=时,函数取得最小值,当t=1或t=2时,函数取得最大值4.故所求函数的值域为.故选A. 5.(-1,0)∪(0,2)　　[解析] 要使函数y=log(x+1)(16-4x2)有意义,需满足解得-1<x<0或0<x<2,故所求函数的定义域为(-1,0)∪(0,2).要使函数y=有意义,需满足 即解得x≥,故所求函数的定义域为. 6.[-4,4]　[解析] 易知y=lg x在定义域上单调递增,由复合函数的单调性可知y=x2-ax+3a在区间(2,+∞)上单调递增,所以解得-4≤a≤4,故实数a的取值范围为[-4,4]. 7.解:(1)由3+2x-x2>0,得x2-2x-3<0,解得-1<x<3, 所以函数f(x)的定义域为{x|-1<x<3}. (2)证明:任取x1,x2∈(1,3),且x1<x2, 则3+2x2--(3+2x1-)=(x1-x2)(x1+x2-2), 因为1<x1<x2<3, 所以x1-x2<0,x2+x1>2,所以x1+x2-2>0, 所以3+2x2--(3+2x1-)<0, 所以3+2x2-<3+2x1-, 又y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log2(3+2x2-)<log2(3+2x1-),即f(x2)<f(x1). 故f(x)在区间(1,3)上单调递减. (3)由(1)可知函数f(x)的定义域为{x|-1<x<3}, 令t=3+2x-x2(-1<x<3),则y=log2t, 因为t=3+2x-x2=-(x-1)2+4,-1<x<3, 所以0<t≤4,所以log2t≤log24=2, 所以函数f(x)的值域为(-∞,2]. 8.B　[解析] 因为函数f(x)=在R上单调递减,所以解得<a≤.故选B. 9.解:(1)由题得>0,则(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1, 所以f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数f(x)为奇函数,理由如下: 因为f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,f(-x)=log2=-log2=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. (3)方法一:因为函数f(x)为奇函数,且f(m)-f(-m)<2,所以f(m)+f(m)<2,得f(m)<1, 则log2<1,故<2, 因为m∈(-1,1),所以1+m>0,可得1-m<2(1+m),解得m>-, 故m的取值范围为. 方法二:f(m)-f(-m)=log2-log2=log2=log2=2log2, 由f(m)-f(-m)<2,得log2<1,故<2, 因为m∈(-1,1),所以1+m>0,可得1-m<2(1+m),解得m>-,故m的取值范围为. 10.A　[解析] y=2x+1的反函数满足x=2y+1,即log2x=log22y+1=y+1,所以y=log2x-1,因为反函数的图象关于直线y=x对称,所以y=2x+1与y=log2x-1的图象关于直线y=x对称.故选A. 11.A　[解析] 由题图知,函数f(x)=loga(2x+b-1)在定义域上单调递增,∵y=2x+b-1在定义域上单调递增,∴a>1,∴0<<1.∵f(0)=logab,-1<f(0)<0,∴-1<logab<0,∴<b<1,∴0<a-1<b<1.故选A. 12.ACD　[解析] 对于函数f(x)=ln x+ln(2-x),由解得0<x<2,即函数f(x)的定义域为(0,2),则f(x)=ln[x(2-x)](x∈(0,2)),令t=x(2-x)=-(x-1)2+1(x∈(0,2)),则t∈(0,1],则y=ln t∈(-∞,0],所以y=f(x)的值域为(-∞,0],故D正确;函数t=x(2-x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,而函数y=ln t为增函数,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故A正确,B错误;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确.故选ACD. 13.　[解析] 因为a>1,所以f(x)=loga(8-ax)在其定义域上单调递减.因为f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,所以f(2)=loga(8-2a)>1=logaa恒成立,所以解得1<a<,即a的取值范围是. 14.8　[解析] 当x<0时,f(x)=3-x2∈(-∞,3).因为f(x)的值域为R,所以当x≥0时,f(x)min≤3.当x≥0时,f(x)=log2(x2+2x+a),y=log2u为增函数,u=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在[0,+∞)上单调递增,故f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(0)≤3,即log2a≤3,解得0<a≤8,即a的最大值为8. 15.解:(1)因为函数y=lo(x2-2x+a)的定义域为R, 所以x2-2x+a>0对x∈R恒成立,则Δ=4-4a<0,解得a>1, 故实数a的取值范围为(1,+∞). (2)因为函数y=lo[(a+3)x2+ax+1]的值域为R, 所以y=(a+3)x2+ax+1能取所有的正数. 当a+3=0,即a=-3时,y=-3x+1,满足题意. 当a+3≠0时,解得a≥6或-3<a≤-2,故实数a的取值范围为[-3,-2]∪[6,+∞). 16.B　[解析] 由已知得f(x)=log2,令3x-1=t,则不等式f(3x-1)+1<log25即为f(t)+1<log25,即log2<log25-1=log2,∴<,即(2t)2-·2t+1<0,即(2t-2)<0,解得<2t<2,∴-1<t<1,∴-1<3x-1<1,解得0<x<.故选B. 17.解:(1)由题意,函数y=f(x)的定义域为(0,+∞), f(x)=(log2x-2)log2=(log2x-2)(log2x-1), 令t=log2x,则t∈R,则y=(t-2)(t-1)=t2-3t+2. 因为二次函数y=t2-3t+2的图象开口向上,且对称轴方程为t=, 所以函数y=t2-3t+2在上单调递减,在上单调递增. 由log2x=,得log2x=log2=log2(2),解得x=2,又因为对数函数t=log2x是增函数, 所以函数y=f(x)在(0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增. 因此当x=2时,f(x)有最小值,最小值为f(2)=-. (2)由f(x)<mlog4x,得(log2x-2)(log2x-1)<log2x. 令t=log2x,由x∈[2,16],得t∈[1,4]. 由题意可知,对于t∈[1,4],(t-2)(t-1)<t恒成立,即t+-3<恒成立. 令h(t)=t+-3,t∈[1,4],则h(t)max<. 由对勾函数的单调性可知h(t)在[1,]上单调递减,在[,4]上单调递增,又h(1)=0,h(4)=, 所以当t∈[1,4]时,h(t)max=h(4)=. 因此<,解得m>3,即m的取值范围为(3,+∞). (3)结合(1)可画出函数|f(x)|=的大致图象,如图所示. 由图可知,函数y=|f(x)|在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,2)上单调递增,在区间(2,4)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递增, 又|f(2)|=|f(4)|=0,|f(2)|=, 所以当关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解时,b的取值范围为{0}∪. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　对数函数的图象和性质的综合应用 考点一　反函数 1.[2026·陕西西北工业大学附中高一月考] 若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(27)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-1 B.1 C.2 D.3 2.已知曲线C1是函数y=ax(0<a<1)的图象,曲线C2与曲线C1关于y轴对称,曲线C2与曲线C3关于直线y=x对称,曲线C3与曲线C4关于x轴对称,则曲线C2,C3,C4对应的函数解析式分别是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.y=a-x,y=-logax,y=logax B.y=logax,y=a-x,y=-logax C.y=logax,y=-logax,y=a-x D.y=-logax,y=a-x,y=logax 3.(多选题)设a>0且a≠1,函数f(x)=ax,g(x)=logax,下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)与g(x)在各自的定义域内有相同的单调性 B.f(x)与g(x)两者的图象关于直线y=x对称 C.f(x)与g(x)两者都既不是奇函数,又不是偶函数 D.f(x)与g(x)有相同的定义域和值域 考点二　对数复合函数的定义域、单调性与最值 4.函数y=(log2x)2-3log2x+6,x∈[2,4]的值域为 (　 ) A. B.[4,6] C. D. 5.函数y=log(x+1)(16-4x2)的定义域为　　　　　,函数y=的定义域为　　　　.  6.[2026·潍坊高一检测] 若函数f(x)=lg(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.  7.已知函数f(x)=log2(3+2x-x2). (1)求函数f(x)的定义域; (2)求证f(x)在区间(1,3)上单调递减; (3)求函数f(x)的值域. 考点三　对数型函数的综合性质 8.函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 9.已知函数f(x)=log2. (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若f(m)-f(-m)<2,求m的取值范围. 10.函数y=2x+1的图象与函数y=log2x-1的图象关于 (　 ) A.直线y=x对称 B.y轴对称 C.x轴对称 D.原点对称 11.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的条件是 (　 ) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 12.(多选题)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 (　 ) A.f(x)在(0,1)上单调递增 B.f(x)在(1,2)上单调递增 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的值域为(-∞,0] 13.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.  14.已知函数f(x)=的值域是R,则实数a的最大值是　　　　.  15.(1)若函数y=lo(x2-2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围. (2)若函数y=lo[(a+3)x2+ax+1]的值域为R,求实数a的取值范围. 16.已知函数f(x)=log2(4x+1)-x,则使得f(3x-1)+1<log25成立的x的取值范围为 (　 ) A. B. C. D.(-∞,0)∪(1,+∞) 17.已知函数f(x)=(log2x-2)log2. (1)求函数f(x)的最小值; (2)若对于x∈[2,16],f(x)<mlog4x恒成立,求m的取值范围; (3)若关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解,求实数b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $