4.2 指数函数（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

4.2　指数函数 知识易错易混 【知识导图】 指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1? 提示:将a分为a<0,a=0,0<a<1,a=1和a>1五部分进行讨论. ①如果a<0,如y=(-4)x,这时对于x=,x=等,ax无意义. ②如果a=0,当x>0时,ax恒等于0;当x≤0时,ax无意义. ③如果a=1,y=1x=1,是常函数, 没有研究的必要. ④如果0<a<1或a>1,即a>0且a≠1,x可以是任意实数. 【易错易混1】 不能正确理解指数函数的概念致错 例1 若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=　　　　.  [答案] 2 [解析] 由指数函数的定义可得解得a=2. 【易错易混2】 指数函数问题忽略底数的两种情况致错 例2 若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　.  [答案] 2或 [解析] 若a>1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,所以f(1)=a=2;若0<a<1,则f(x)在[-1,1]上单调递减,所以f(-1)=a-1=2,解得a=.故a的值为2或. 解题方法拓展 【方法解读1】 比较指数的大小 (1)构造函数法: 要点是利用函数的单调性,若底数是参变量要注意分类讨论. (2)搭桥比较法: 用特殊值,如0或1为桥梁. 例3 已知a=30.2,b=30.3,c=20.2,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b [答案] A [解析] 因为y=3x为增函数,且0.3>0.2,所以30.3>30.2,则b>a;因为y=x0.2为增函数,且3>2,所以30.2>20.2,则a>c.综上,b>a>c.故选A. 【方法解读2】 指数函数图象的应用 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)常见的图象变换: (1)平移变换(φ>0),如图所示. (2)对称变换,如图所示. (3)翻折变换. 函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方,去掉原x轴下方的部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上方及x轴上的部分即可得到. 函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左侧的部分,并保留y=f(x)的图象在y轴右侧及y轴上的部分即可得到. 例4 若直线y=与函数y=|ax-1|(a为常数,a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　　　.  [答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 当a>1时,函数y=|ax-1|的大致图象如图①所示,若直线y=与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<<1,即0<a<2,所以1<a<2;当0<a<1时,函数y=|ax-1|的大致图象如图②所示,若直线y=与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<<1,即0<a<2,所以0<a<1.综上可知,a的取值范围为(0,1)∪(1,2). 【方法解读3】 复合函数的单调性与最值 复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时递增,单调性相异时递减. 因此判断复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤操作: (1)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x); (2)分别确定各个函数的定义域; (3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间; (4)如下表所示,根据两函数的单调区间确定f[g(x)]的单调区间. u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 例5 函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.  [答案] [解析] 设t=x2-x,则该函数在上单调递减,在上单调递增,且t≥-=-.又y=2t在上单调递增,所以函数f(x)=的单调递增区间为. 例6 已知函数f(x)=4x-a·2x. (1)若f(x)在[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若f(x)在[1,2]上的最大值为0,求a的值. 解:(1)令t=2x,x∈[1,2],则t∈[2,4],函数t=2x,x∈[1,2]为增函数, 因为f(x)在[1,2]上单调递增,所以函数y=t2-at在[2,4]上单调递增,故≤2,解得a≤4. (2)令t=2x∈[2,4],则函数y=h(t)=t2-at(t∈[2,4])的最大值为0. ①当≤3,即a≤6时,h(t)max=h(4)=16-4a=0,解得a=4; ②当>3,即a>6时,h(t)max=h(2)=4-2a=0,解得a=2,舍去. 综上可得,a=4. 【教材拓展】 指数函数为背景的奇偶函数 (1)y=型:y=,y=,y=. (2)y=型:y=,y=,y=. 它们均为奇函数. 例7 (多选题)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的值域为(-1,1) D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0 [答案] AC [解析] 对于A,B,因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,则函数f(x)的图象关于原点对称,故A正确,B错误;对于C,设y=,则3x=,所以>0,即<0,解得-1<y<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1),故C正确;对于D,由∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0,可得函数f(x)为减函数,而f(x)==1-为增函数,故D错误.故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $