4.4 对数函数同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4 对数函数 1.已知函数，则下列说法正确的是( ) A.是奇函数，且在上是增函数 B.是偶函数，且在上是增函数 C.是奇函数，且在上是减函数 D.是偶函数，且在上是减函数 2.已知不等式成立，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数，则( ) A. B.0 C.2 D. 4.已知，，，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数，则使成立的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. （多选）7.已知函数，若，且，则( ) A. B. C. D. （多选）8.已知函数和，则下列说法中正确的有( ) A.与的奇偶性相同 B.与在各自定义域上是增函数 C.与的图象关于直线对称 D.与的图象关于直线对称 9.A，B，C三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数解析式分别为，，，则下列结论中，所有正确的序号是______. ①当时，A总走在最前面； ②当时，C总走在最前面； ③当时，B一定走在C前面. 10.已知，，则的值域是______. 11.已知定义在R上的偶函数满足，当时，.设4，则与图象的所有交点的横坐标之和为_____________. 12.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数. （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由解得，所以的定义域为. 由于，所以函数为偶函数. 因为，所以根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是减函数，在区间上是增函数.故选D. 2.答案：B 解析：当时，不等式即为，由解得，又，所以； 当时，不等式即为，由解得或；又，所以. 综上，实数x的取值范围为.故选B. 3.答案：D 解析：， ，.故选D. 4.答案：D 解析：因为单调递减，所以， 又与在上均单调递增， 故，. ，，，其中，， 故，， 所以， 所以，即，故.故选D. 5.答案：C 解析：因为，且， 所以是偶函数.当时，单调递增，则当时，单调递减，所以原不等式可转化为，即，解得. 6.答案：D 解析：由恒成立，得的定义域为R，关于原点对称， ， 由，得为偶函数，则， 又，，，， 故. 当时，在上单调递增，，令，令，，由对勾函数性质可得该函数在上单调递增，而函数在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，则，即.故选D. 7.答案：BD 解析：对于，，且，所以， 即，即，所以，故A错误； 对于B：，所以，，当且仅当，且，即，时等号成立，又，所以，故B正确； 对于C：，当且仅当，且，即，时等号成立，又，所以，故C错误； 对于D：，且，函数在上单调递增，所以，即，故D正确.故选BD. 8.答案：ACD 解析：令，解得，故函数的定义域为， 因为的定义域为R，，所以是奇函数. 因为，所以是奇函数，所以与的奇偶性相同，故A正确； ， 易知在上单调递减，在定义域内单调递增，所以在上单调递减，故B错误； 设点为图象上一点，则点P关于直线对称的点为，即， 又， 所以点在的图象上，所以与的图象关于直线对称，故C正确； 设点为图象上一点，则点M关于直线对称的点为，即， 又. 所以点在的图象上，所以与的图象关于直线对称，故D正确. 故选ACD. 9.答案：①② 解析：在同一平面直角坐标系内画出，，的函数图象如图，当时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度和对数函数的增长速度， 当时，，，故当时，A总走在最前面，①正确；当时，由图象可知C总走在最前面，②正确；当时，，，当时，，，故时，B走在C前面，当时，B走在C后面，③错误.故答案为①②. 10.答案： 解析：因为，， 所以的定义域满足解得. 因为在区间上单调递增， 所以令，，又， 则，易知在区间上单调递增， 则当时，； 当时，，所以的值域为. 故答案为. 11.答案： 解析：由为偶函数，得，即， 由，得的图象关于直线对称， 且，即，即， 故是以4为周期的函数，则的图象也关于直线对称. 由，得， 因为， 所以的图象关于直线对称. 当时，，作出及的大致图象如图所示. 当时，，， 故当时，与的图象无交点， 由图象可知，当时，，有一个交点， 当时，与的图象有一个交点，设该点横坐标为m， 则结合函数图象的对称性可知，当，与图象必有两交点， 且两交点横坐标分别为，， 故与图象的所有交点的横坐标之和为. 12.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）因为函数的图象关于原点对称， 所以，即， 所以， 所以恒成立，即恒成立，即恒成立， 所以，解得. 又时，无意义，故. （2）由（1）知，所以当时，恒成立， 即恒成立， 所以在上恒成立， 由于是减函数，故在上，， 所以，即实数m的取值范围是. （3）方法一：方程，即， 所以，即. 设，， 因为在上单调递减， 所以，即，即. 故实数k的取值范围是. 方法二：在上单调递增. 令，则在上单调递减， 所以要保证关于x的方程在上有解， 只需即即解得. 故实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $